Mavzu: Foiz miqdorli masalalar

2. NATURAL SONLARGA VA PROGRESSIYAGA DOIR TUSHUNCHALAR

Bunda masalarni yechishda quydagilarni nazarda tutish kerak:

a) a natural sonining o’ng tomonida n xonali b son turgan bo’lsa, unda u 10𝑛a+b songa tengdir (masalan, a=4, b=123,n=3 (b uch xonali son) u holda 4123=103a+b=103∙4+123);
b) a>b va a soni b ga bo’linmasa, u holda shunday q va r natural sonlari topiladiki, ular uchun a=bq+r(rtenglik yagona tarzda bajariladi
1-masala. Ikki xonali sonning raqamlari kvadratlar yig’indisi 10 ga teng. u sondan 18 ayrilsa, natijada hosil bo’lgan son shu raqamlarning o’rnini almashtirib tuzilgan songa teng bo’ladi. U qanday son?
18
Yechish: 𝑥𝑦̅̅̅=10x+y izlanayotgan son (𝑥𝑦̅̅̅ – 2 xonali sonning belgilanishi) Masala shartiga ko’ra 𝑥2 + 𝑦2=10 va 𝑥𝑦̅̅̅ – 18= 𝑥𝑦̅̅̅ bo’lganidan
10x + y - 18 = y ∙ 10 + x
Endi ushbu sistema hosil bo’ladi va yechiladi:
{𝑥2+𝑦2=109𝑥−9𝑦=18 ⇔ {𝑥2+𝑦2 =10𝑥=𝑦+2 ⇔ {𝑥1,2=1±2,𝑦1,2=−1±2.
Javob: x=3 , y=1, yani 31, ikkinchi ildizlar masala shartiga mos emas (chunki x>0, y≥0)
2-masala. Qanday ikki xonali son o’z raqamlari yig’indisidan 4 marta , ko’paytmasidan 3 marta katta?
Yechish: Izlayotgan 𝑥𝑦̅̅̅ = 10x + y son masala shartiga ko’ra ushbu xossalarga ega:
{10𝑥+𝑦=4(𝑥+𝑦),10𝑥+𝑦=3𝑥𝑦,𝑥>0,𝑦>0.
Sistemani yechamiz ( 𝑥>0,𝑦>0):
{6𝑥=3𝑦10𝑥+𝑦=3𝑥𝑦 ⇔ {𝑦=2𝑥12𝑥=6𝑥2 ⇒ {𝑥1=2,𝑦1=4.
Javob:24 .
3-masala. Uch xonali sonni uning raqamlari yig’indisiga nisbatining eng katta qiymatini toping.
Javob: 100
4-masala. 1 dan n gacha bo’lgan sonlarni yozib chiqish uchun 2893 ta raqam kerak bo’ldi. N soni nechaga teng?
Javob: 1000.
Progressiyaga doir masalalar. Progressiya doir masalalar asosan sistema hosil bo’lishiga olib keladi.
Arifmetik progressiya -Ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi o’zidan oldingi hadga bir xil sonni qo’shilganiga teng bo’lga sonlar ketma- ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
Yoki sonlar ketma- ketligida ikkinchi haddan boshlab, har bir hadi o‘zidan oldingi hadga shu ketma-ketlik uchun o‘zgarmas bo‘lgan biror
19
𝑑 soni qo‘shish natijasida hosil bo‘lsa, bunday sonli ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.
Masalan, 1) 1,2,3,4,…; 2)10,12,14,16… ketma-ketliklar arifmetik progressiya tashkil qiladi. Chunki ketma-ketliklarning har bir hadi, ikkinchisidan boshlab o‘zidan oldingi hadga, mos ravishda 1 va 2sonlarini qo‘shish natijasida hosil bo‘ladi.
Arifmetik progressiyani tashkil etuvchilar uning hadlari deyiladi va umumiy ko‘rinishda 𝑎1,𝑎2,𝑎3,… ,𝑎𝑛−1,𝑎𝑛,…
yoziladi. Arifmetik progressiya keying hadini hosil qilish uchun qo‘shiladiga songa 𝑑 son arifmetik progressiya ayirmasi deyiladi. Agar 𝑑>0 progressiya o‘suvchi, 𝑑<0 bo‘lsa, kamayuvchi bo‘adi. Agar 𝑑=0 bo‘lsa barcha hadlari o‘zaro teng bo‘ladi.
Arifmetik progressiyaning 𝑛-hadi 𝑎𝑛 quyidagi formula yordamida topiladi:
𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑.
Arifmetik progressiya xossalari.
1-xossa. Arifmetik progressiya ikkinchi hadidan boshlab, istalgan hadi o‘ziga qo‘shni bo‘lgan ikki handing o‘rta arifmetik qiymatiga teng, ya’ni 𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+12
2-xossa. Chekli arifmetik progressiyada boshidan va oxiridan teng uzoqlikda turgan hadlar yig‘indisi chetki hadlar yig‘indisiga teng, ya’ni 𝑎1+𝑎𝑛=𝑎2+𝑎𝑛−1=⋯=𝑎𝑘+𝑎𝑛−𝑘+1
3-xossa. Arifmetik progressiya dastlabki 𝑛 ta hadlari yig‘indisi 𝑆𝑛=𝑎1+𝑎𝑛2𝑛
Arifmetik progressiya xossalarini jamlab quyidagi ko‘rinishga keltirmiz.
1. 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑; 𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑑.
2. 𝑎𝑛−𝑎𝑚=(𝑛−𝑚)𝑑.
3. 𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+12=𝑎𝑛−𝑘+𝑎𝑛+𝑘2, 1≤𝑘≤𝑛.
20
4. 𝑎𝑘+𝑎𝑚=𝑎𝑝+𝑎𝑞, 𝑘+𝑚=𝑝+𝑞.
5. 𝑆𝑛=𝑎1+𝑎𝑛2𝑛, 𝑆𝑛=2𝑎1+𝑑(𝑛−1)2𝑛.
6. 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=𝑎𝑛.