Mavzu: Foiz miqdorli masalalar

Geometrik progressiya –Birinchi hadi noldan farqli, ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi avvalgi hadini nolga teng bo’lmagan bir xil songa ko’paytirilganiga teng bo’lgan sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya deyiladi.
yoki birinchi hadi noldan farqli bo‘lib, ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi o‘zidan oldingi hadni shu ketma-ketlik uchun o‘zgarmas va noldan farqli bo‘lgan biror 𝑞 songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan sonlar ketma-ketligi geometrik proqressiya deyiladi. Masalan, 1)1,3,9,…; 2)20,10,5,…ketma-ketliklari geometrik progressiya tashkil qiladi. Birinchi misolda 𝑞=3, ikkinchisida 𝑞=0,5.
Geometrik progressiya tashkil qiluvchi sonlar uning hadlari deyiladi va umumiy ko‘rinishda 𝑏1,𝑏2,𝑏3,…,𝑏𝑛−1,𝑏𝑛,…
yoziladi. Geometrik progressiyaning keying hadini hosil qilish uchun oldingi hadiga ko‘paytiriladigan son 𝑞 geometrik progressiya maxraji deyiladi.
Agar 𝑏1>0 va 𝑞>1 bo‘lsa o‘suvchi, 𝑏1>0 va 𝑞∈(0;1) bo‘lsa, progressiya kamayuvchi, agar 𝑏1<0 va 𝑞>1 bo‘lsa kamayuchi, 𝑞=1 boʻlsa barcha hadlari oʻzaro teng boʻladi.
Agar 𝑞<0 bo‘lsa, progressiya ishorasi almashinuvchi bo‘ladi, |𝑞|<1 bo‘lsa progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.
Geometrik progressiyaning 𝑛-hadi 𝑏𝑛 quyidagi formula yordamida topiladi:𝑏𝑛=𝑏1𝑞𝑛−1.
Geometrik progressiyaning xossalari.
1-xossa. Agar geometrik progressiyaning barcha hadlari musbat bo‘lsa 𝑏𝑛=√𝑏𝑛−1𝑏𝑛+1
2-xossa. Chekli geometric progressiyada boshidan va oxiridan teng uzoqlikda turgan hadlar ko‘paytmasi chekli hadlar ko‘paytmasiga teng
21
𝑏1𝑏𝑛=𝑏2𝑏𝑛−1=𝑏3𝑏𝑛−2=⋯=𝑏𝑘𝑏𝑛−𝑘+1
3-xossa. Geometrik progressiyaning dastlabki 𝑛 ta hadi yig‘indisi 𝑆𝑛=𝑏1−𝑏𝑛𝑞1−𝑞,𝑆𝑛=𝑏𝑛𝑞−𝑏1𝑞−1,𝑆𝑛=𝑏1(𝑞𝑛−1)𝑞−1 𝑞≠1
4-xossa. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya barcha hadlar yig‘indisi 𝑆=𝑏11−𝑞
Geometrik progressiya asosiy xossalarini jamlab quyidagi ko‘rinishga keltirilamiz.
1. 𝑏𝑛=𝑏1𝑞𝑛−1, 𝑏𝑛=𝑞𝑏𝑛−1
2. 𝑏𝑛:𝑏𝑚=𝑞𝑛−𝑚
3. 𝑏𝑛2=𝑏𝑛−1𝑏𝑛+1, 𝑛≥2
4. 𝑏𝑘𝑏𝑚=𝑏𝑝𝑏𝑞,𝑘+𝑚=𝑝+𝑞
5. 𝑆𝑛=𝑏1−𝑏𝑛𝑞1−𝑞,𝑆𝑛=𝑏𝑛𝑞−𝑏1𝑞−1,𝑆𝑛=𝑏1(𝑞𝑛−1)𝑞−1 (𝑞≠1)
6. 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=𝑏𝑛
7. 𝑆=𝑏11−𝑞 ,|𝑞|<1