Mental Arifmetika

Mashq: beshta raqamli raqamlarni kvadrati 
“3-ni-3”ga ko’paytirish 
"5-ga-5" ko’paytmani yakuniga yetkazishimiz uchun “3-ga-3” 
misollarin biz uchun oxirgi to’siq. “3-ga-2” misolida bo'lgani kabi, umumuiy
jarayonni soddalashtirishga ishlatishimiz mumkin. 

---

Faktoring metodi
Faktoring metodini boshlaymiz. Afsuski, uch xonali sonlarning ko'pchiligi 
bitta raqamga ajratib bo’lmaydi, ammo ular hali dekompozitsiya qilinmasa, 
hisoblash jarayoni juda yomon bo'lmaydi. 
Amallar tartibiga e'tibor bering. Siz "3-ga-3" (829 x 288) vazifasini "3-on-
1-on-1-on-1" ko’rinishida soddalashtirasiz, 288 ni esa 9 x 8 x 4 dekompozitsiyasi 
bilan. Keyin "4-ga-1-ga-1" (7461 x 8 x 4) va oxirida, "5-ga-1" da 238 752 ning 
yakuniy javobni olish uchun. Ushbu jarayonning go'zalligi bu qo'shilishda hech 
qanday xatti-harakatlarning yo'qligi va xotirada hech narsa saqlash 
kerakmasligidir. "5-ga-1" misolini olganingizda, siz vazifadan bir qadam 
oldingiz. 
“5-ga-1” misolni ikkita amalda ishlanadi, agar 59 688 ni 59 000 + 688 kabi 
olsak, keyin “2-ga-1” (59 000 x4) va “3-ga-1” (688x4) natijalari, quyida 
ko'rsatilgandek: 
Har ikkala uch xonali sonlar "2-ga-1" dek ajralib qolsa, u holda “3-ga-3” 
vazifasi quyidagi vazifada bo'lgani kabi "2-ga-2-ga-1-ga-1" ga soddalashtirilishi 
mumkin: 

---

Odatdagidek, vazifaning og'ir qismini (2-ga-2) darhol yo'qotish 
yaxshidir. Buni qilganingizdan so'ng, u “4-ga-1”, keyin esa “5-ga-1” gacha 
kamayadi. 
Deyarli har doim raqamlarning faqat bittasi kengaytiriladi. Bu holda, 
quyidagi misolda bo'lgani kabi, vazifani "3-to-2-to-1" ga kamaytirish mumkin 
bo'ladi: 
Keyingi “3-ga-3” vazifasi, aslida, faqat “3-ga-2” yashiringan: 
435 ni ikki barobarga va 624 ni yarimga qisqartirish bilan biz misolimizga ga 
teng bo’ladi: 

---

Birgalikda qo’shish metodi
Biror onsonroqiga tayyormisiz? 0-bobda biz kiritgan quyidagi "kesish", 
quyidagi algebraik formulaga asoslangan: 
Quyidagi kabi qayta yozamiz: 
Ushbu formula z,a va larning istalgan qiymatida o’rinli. Biz bundan har safar 3 
xonali sonlarni ko’paytirish kerak bo’lgan foydalanamiz (z×a va z×b). Bunda z 
o’rinda qulayroq sonlar tanlab olinadi (odatda 10 ga karrali yoki ko’p nolli 
sonlar). Masalan:
Biz bu misolni (100+7)(100+11) ko’rinishaga keltirib olamiz. Bunda 
z=100, a=7, b=11 deb olsak, quyidagi ko’rinishga keladi: 
100(100+7+11)+7×11=100×118+77=11877 
Biz bu misolni quyidagi sxematik ko’rinishga keltiram
Qavs ichidagi sonlar bizning “bazaviy sonimiz” o’rtasidagi farq (ya’ni 
z=100). 118 soni yoki 111+7, yoki 107+11 sonlarini qo’shish 
orqali hosil qilinadi. Algebra qonunlariga asosan bu ikki summa bir-biriga 
ekvivalent hisoblanadi, xuddiki (z×a)b; (z×b)a kabi: 
Bu safar hech qanday so’zlarsiz, mana sizga yana bir “tezlashtirgich”. 

---

Hammasi oddiy 
Keling qiymatlarni yana oshiramiz va “bazaviy sonni” kattaroq qilamiz. 
Odatda bu usul 3 xonali sonlarni ko’paytirishda ishlatiladi, biz buni 2 xonali 
sonlar misolida ko’ramizю 
Bu yerda ba’zaviy son 70, biz uni 81(78+3)ga ko’paytiramiz. Xatto bu oson 
bo’lsa ham. Biz bu usulni 2 ta son ba’zaviy sondan kichik bo’lganda ham 
foydalanamiz. Masalan, keyingi misolda 2 ta son ham 400 dan kichik. 

---

383 son 396-13 ayirmadan hosil bo’lgan yoki 387-4. Biz bu usuldan “2 ga 2” 
ko’rinishda ham foydalanamiz. 
Bizning keyingi misolimizda ba’zaviy son ko’paytiriladigan sonlar 
orasidan olinadi ya’ni: 
409 son 396+13 yig’indi yoki 413-4 ayirma orqali hosil qilinadi.
E’tibor qarating -4 va 13 qarama-qarshi ishorali bo’lganligi uchun 52 
ayriladi. 

---

Shunga e’tibor qaratish kerakki, yuqoridagi misolning dastlabki amali 
(600×658) oz’-o’zidan oqilona usul hisoblanadi. Bu usul sizni to’g’ri javobga 
olib boradi. 
Yana, yuqoridagi barcha misollar, biz birinchi amalda ko’paytirgan son 
bilan bir xil qiymat qabul qilishiga e’tibor qaratish lozim. Masalan; yuqoridagi 
misolda, 900+829=1729, xuddiki 876+853=1729 kabi. Shuning uchun: 
z+[(z+a)+b]=(z+a)+(z+b) 
Shuning uchun, 900 ga ko’paytirish kerak bo’lgan sonni topish uchun 
(800 dan katta bolgan oraliqda), uning so’nggi ikkita raqamiga e’tibor berish 
kifoya: 76×59=129, 829 ni topish uchun. 
Keyingi misolda, ushbu 827+761=1588 yig’indini hosil qilish uchun 
800×788 ko’paytmadan 27×39 ko’paytmani ayirish lozim: 

---

Bu usul shunchalik samaraliki, “3-ga-3”, ya’ni 3 xonali sonlar 
ko’paytmasi bir-biridan uzoqda joylashgan sonlar bo’lsa ham, o’z ahamiyatini 
yo’qotmayd. Bunda ko’paytuvchilarni bir vaqtda bir xil songa ko’paytirish 
hamda bo’lish orqali yechimga yaqinlashish mumkin (qolaversa berilgan sonlar 
bir-biriga yaqinlashadi). 
Masalan, 672×157 quyidagi tartibda ishlanishi mumkin: 
Ko’paytiriladigan sonlar (bir-biriga yaqin bo’lganda) “close together” usuli 
bilan hisoblanganda, siz oddiy kvadrat usulida hisoblaganingizdek aniqlikda 
hisoblanadi. 

---

Guruhlash usuli: 
Yuqorida hech bir usullar ish bermasa, biz guruhlash usulidan 
foydalanish imkoniyatini qidiramiz, asosan, 3 xonali sonning dastlabki 2 ta 
raqami muomala uchun oson bo’lganda; Masalan, quyidagi berilgan misolda: 
641 dagi “64”=8×8 ga ajraladi, shuning uchun quyidagi tartibda ishlaymiz: 
O’xshash tarzda, keyingi misolda 427 dagi “42”=7×6 ga ajraladi, demak, 
guruhlashdan foydalanib 427 ni 420+7 ko’rinishga keltirib olamiz: 
Biz odatda bu kabi misollarni quyidagicha ikkita qismga ajratib 
guruhlaymiz: 

---

Guruhlash usuli bilan yechiladigan masalalar o’ziga xos qiyinchilik talab 
etadi. Biz odatda berilgan misol oxir-oqibat oddiy hisob kitobga olib boradigan 
yo’ldan boramiz. Masalan, yuqorida keltirilgan misol faktor usuli bilan 
yechilishi mumkin. Lekin biz quyidagicha yechim tanlaymiz: 
Guruhlash usuli bilan yechilishi mumkin bo’lgan eng oddiy misollar quyida 
ko’rsatilgan kabi o’rtasida 0 soni qatnashadi: 
Bunday misollar qoida bo’yicha boshqa misollarga qaraganda osonroq bo’ib, bu 
misollarni ham shu tarzda yechish mumkin. Shuning uchun 3 ga 3 namunasiga 
qarab uni qiymatini shunday misolga o’zgartirish kerak. Masalan : 732x308ni 
quyidagi nol bo’lmagan misollarni qo’llash orqali erishish mumkin. 
yoki

---

Biz aytib o’tganimizdek, berilgan misolni yechishning boshqa yo’li 308 va 366 
yaqinligidan foydalanib, amalda308x366x2ni harakat qilib yechishdan tashkil 
topgan. Kelinglar yana bir qiyin misolni ko’ramiz: