Microsoft Word riyaziyyatin tedrisinde umumilesdirme 2009. doc

_____________Milli Kitabxana_____________ 

 116

Ümumiləşdirmə  və xüsusiləşdirmənin yuxarıda göstərilən təriflərinə  əsasən 

P

1

 anlayışına P

2

 anlayışının o vaxt ümumiləşdirilməsi deyəcəyik ki, elə çoxluq 

varsa ki, onda və bütün başqa çoxluqlarda ikinci anlayışın həcmi birincinin 

həcminin alt çoxluğu olsun (məxsusi olması  məcburi deyil). Həmin  şərtlə  P

2

 

anlayışına P

1

 anlayışının xüsusiləşməsi deyilir. Məsələn, paraleloqram anlayışı 

romb anlayışının ümumiləşdirilməsidir, çünki romb anlayışı  həcminin 

paraleloqram anlayışı  həcminin məxsusi alt çoxluğu olan çoxluq vardır, bütün 

başqa çoxluqlarda isə romb anlayışının həcmi paraleloqram anlayışı həcminin alt 

çoxluğudur. Bir cüt paralel tərəfi olan və bir cüt konqruyent tərəfi olan iki 

dördbucaqlıdan heç biri digərinin ümumiləşməsi deyildir, çünki bu anlayışlar üçün 

tərifin yalnız birinci hissəsi ödənilir (bir anlayışın həcminin digərinin həcminin 

məxsusi alt çoxluğu olduğu çoxluq vardır, məsələn trapesiyalar və paraleloqram-

lardan ibarət çoxluq); tərifin ikinci hissəsi isə ödənilmir.  

Fərz edək ki, ilk məzmunu 

{

}

n

a

a

a

...,

,

,

2

1

=

α

olan p

1

 anlayışı verilir. 

α

-ya 

1

+

n

a

 

xassəsini daxil edək və ilk məzmunu 

{

}

1

2

1

,

...,

,

,

+

=

n

n

a

a

a

a

β

 olan p

2

 anlayışına baxaq. 

β

 ilk  məzmunu ziddiyyətlidirsə, onda ixtiyari çoxluqda p

2

 anlayışının həcmi boş 

çoxluqdur. Başqa sözlə 

β

-dan olan bütün xassələrin ödənildiyi obyektlər yoxdur. 

β

 ilk  məzmunu ziddiyyətli deyildirsə, onda elə çoxluq vardır ki,, burada p

2

 

anlayışının həcmi boş çoxluq deyil. Başqa sözlə 

1

2

1

,

...,

,

,

+

n

n

a

a

a

a

 xassələrinin 

ödənildiyi model vardır. 

1

+

n

a

 xassəsi 

α

 ilk  məzmununun nəticəsidirsə, onda 

ixtiyari çoxluqda p

1

  və  p

2

 anlayışlarının həcmi üst-üstə düşür. 

1

+

n

a

 xassəsi 

α

 ilk 

məzmununun nəticəsi deyildirsə, onda ikinci anlayış  həcminin birinci anlayış 

həcminin məxsusi alt çoxluğu olduğu çoxluq vardır. Bu halda birinci anlayış 

ikincinin ümumiləşməsi, ikinci isə birincinin xüsusiləşməsidir (çünki bütün başqa 

çoxluqlarda ikinci anlayışın həcmi birincinin həcminin alt çoxluğudur). Deməli, 

anlayışların öyrənilməsi zamanı ümumiləşdirmə  və xüsusiləşdirmənin mənimsə-

nilməsi üzrə məsələlər sisteminə xassələrin ziddiyyətsizliyi və asılı olmamasına aid 

çalışmalar daxil edilməlidir. Xassələrin (aksiomların) ziddiyyətsizliyi bu xassələrin 

(aksiomların) ödənildiyi modellərin qurulması yolu ilə müəyyən edilir. Məsələn, 

---

_____________Milli Kitabxana_____________ 

 117

rombun ilk məzmununun ziddiyyətsizliyini müəyyənləşdirmək üçün qonşu tərəfləri 

konqruyent paraleloqramın qurulması kifayətdir. 

I

1-3

  mənsubluq aksiomlarının ziddiyətsizliyi  əvvəldə göstərdiyimiz misallar 

üzərində nöqtə (I

1-3

), düz xətt (I

1-3

)  anlayışlarının həcminin 

{

}

Δ

=

,

3

,

2

,

1

M

və 

{ } { } { } {

} { }

{

}

∅

=

,

3

,

2

,

1

,

3

,

2

,

1

N

 çoxluqlarında ayrılması yolu ilə müəyyən edildi. Beləliklə, 

I

1-3

 aksiomlarının ödənildiyi model quruldu. 

1

+

n

a

 xassəsinin (aksiomunun) 

n

a

a

a

...,

,

,

2

1

 xassələrindən (aksiomlarından) asılı olmaması 

1

2

1

,

...,

,

,

+

n

n

a

a

a

a

 

xassələrinin ödənildiyi modellərin qurulması yolu ilə  də müəyyən edilə bilər, 

burada 

1

+

n

a

 xassəsi (aksiomu) 

1

+

n

a

 -in  inkarıdır. Məsələn, “iki konqruyent qonşu 

tərəf vardır” xassəsinin “dördbucaqlı olmaq” və “qarşı  tərəflər paraleldir” 

xassələrindən asılı olmadığını müəyyən etmək üçün konqruyent qonşu tərəfləri 

olmayan paraleloqram qurmaq kifayətdir. 

I

2

 aksiomunun I

1,3

 aksiomlarından asılı olmadığı, məsələn, nöqtənin 

{

}

3

,

2

,

1

=

c

 çoxluğunun, düz xəttin isə (I

1-3

) 

{} {

} { }

{

}

2

,

1

,

3

,

2

,

1

,

1

=

D

 çoxluğunun elementi 

olduğu modeli qurmaqla müəyyən edilir. Bu modeldə I

1

, I

3

, I

2

 aksiomları ödənilir. 

Anlayışların ilk və törəmə  məzmunlarının, verilmiş çoxluqda həcmlərinin 

daxil edilməsi, xassələrin (aksiomların) ziddiyyətsizliyi və asılı olmaması 

yollarının təhlili, biri digərinin ümumiləşməsi və xüsusiləşməsi olan bir anlayışdan 

digərinə keçmək məntiqi-riyazi cəhətdən anlayışların aksiomatik və aksiomatik 

olmayan tərifləri arasındakı oxşarlığı göstərir. Anlayışların öyrənilməsi zamanı 

ümumiləşdirmə və xüsusiləşdirmənin mənimsənilməsinə aid məsələlər sistemində 

bu ümumilik əks edilməlidir. Aksiomatik tərif verilməyən anlayışların mümkün 

ümumiləşdirmə  və xüsusiləşdirmə üsullarını münasib şəkildə ayırmaq üçün 

verilmə oblastı anlayışını daxil etmək məqsədəuyğundur. Aksiomlar vasitəsi ilə 

tərif verilməyən anlayışın verilmə oblastı dedikdə, cins anlayışına aid olan 

obyektlər çoxluğu başa düşülür. Məsələn, kvadrata bucaqları düz olan romb kimi 

tərif verilirsə, onda “kvadrat” anlayışının verilmə oblastı romblar çoxluğudur. 

Anlayışın verilmə oblastı qeyd edilirsə, onda təriflənən anlayışın cinsə aid 

olduğunu göstərən ilk məzmun xassələrini sadalamağa ehtiyac yoxdur. İlk 

---