Q. Y. Abbasova Sosial proseslərin modelləri. Dərslik. Rus dilindən tərcümə. B.: 2016
Yüklə 5,01 Kb. Pdf görüntüsü
|
(M,t) müstəvisində dM/dt – nin kəmiyyəti əyriyə toxunanın meyl bucağının tangensinə bərabərdir. Nəticədə, dM/dt-nin (12,12) tənliyi ilə ifadə olunmuş M,t dəyişənlərindən asılılığını bilərək, toxunanın əyriyə istiqamətini tapmaq olar, hansı ki, bu tənliyin həlli qrafikidir. Toxunanın istiqamətini şəkildə göstərmək üçün kiçik düz xətt parçasını f bucağı altında (M,t) – nin hər hansı bir nöqtəsindən elə keçirmək lazımdır ki, tg ω =/(M,t) olsun (şəkil 12.3). Əgər nöqtələrin sayını artırsaq – hansıların ki, üstündən toxunan xətt çəkilmişdir – onda şəkildən göründüyü kimi, differensial tənliyin (12,12) həlli olan çoxlu əyrilər əmələ gələcəkdir. Bu tənliyin sonsuza qədər çoxlu həlli vardır, müstəvinin hər bir (M 0 , t 0 ) nöqtəsindən isə bir həll keçir. Beləliklə, tənliyin konkret həllini tapmaq üçün ilkin şərtləri (M 0 , t 0 ) vermək lazımdır. Differensial tənliyin həlli funksiya adlanır, hansının ki, bu tənliyin yanına qoyulması onu bərabərliyə çevirir. Differensial tənliyin həlli qrafikləri bu tənliyin inteqral xətləri adlandırılır. Bir neçə misalı nəzərdən keçirək. V.V.Nalimov naukometriya ilə məşğul olarkən elmin inkişafının iki modelini formalaşdırmışdır (8). Bu sadə modeldə nəzərdə tutulurdu ki, nəşrlərin sayının artma sürəti nəşrlərin ümumi sayına proporsionaldır: dy/dt=ky (12, 13) burada y – nəşrlərin sayıdır; k – konstantadır. Tənliyin həlləri e t ; tipli funksiyalardır, yəni t zamanı artdıqca nəşrlərin sayı eksponensial olaraq artır. Belə ki, t - >∞ olanda, y(t)=e t funksiyası hədsiz qədər böyük qiymətlər qəbul edir, (12,13) modeli ancaq məhdud zaman intervalında doğrudur. Aydındır ki, müəyyən t – t * zamanında nəşrlərin sayının artması mütləq dəyişməlidir. Hər hansı elmi istiqamət üçün doyma (tormozlanma) dövrü olması qaçılmazdır. dy/dt=ky(b-y), (12.14) tənliyini nəzərdən keçirək, burada k və b – konstantadırlar. Nə zaman ki, y böyüyür və kəmiyyətcə b ilə müqayisə oluna bilər, onda (b – y) - >0 olur və nəticədə dy/dt->>0 olur, yəni y-nun artımı dayanır. Qeyd edək ki, bu məntiqi tənlik qeyri-xəttidir, belə ki, onun sağ tərəfində y2 vardır. Göstərilmiş misallarda dinamik model bir differensial tənlik ilə təsvir olunur. Daha realistik modelləri tənliklərin məcmusunu nəzərdən keçirməklə almaq olar. Bir neçə məlum funksiyası və onların törəməsi olan tənliklərin cəmini differensial tənliklərin sistemi adlandırırlar. Tənliyə qoyulan zaman onları bərabərliyə çevirən yt(t) (i=1,..,n) funksiyaların cəmini differensial tənliklər sisteminin həlli adlandırırlır. Bu tədris vəsaitində differensial tənliklər sistemləri nəzərdən keçirilir – hansıların ki, tərkibində onlarda olan naməlum funkiyalar qədər tənliklər vardır, həm də ki, onların hamısı yeganə olan t müstəqil dəyişmənin funksiyalarıdırlar. Aşağıdakı növdən olan differensial tənliklər sistemini nəzərdən keçirək (12.15): dx/dt=P(x,y) dy/dt=Q(x,y) qeyd edək ki, tənliyin sağ hissəsində t dəyişəni açıq şəkildə yoxdur. Belə sistemləri ikinci sıradan olan avtonom dinamik sistem adlandırırlar. Sistemin (12.15) əsas həndəsi interpretasiyası faza müstəvisi adlandırılan (x,y) müstəvisinin nəzərdən keçirilməsi ilə bağlıdır və yuxarıda təsvir olunmuş həndəsi interpretasiyada əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Onu konematik adlandırmaq olar, belə ki, bu interpretasiyada hər bir həllə fəzada əyri deyil, nöqtələrin hərəkətinə uyğun olaraq əyrilər qoyurlar. (12.15) tipli sistemlər təkamül proseslərinin təsviri üçün istifadə olunur. Faza fəzasında nöqtə sistemin vəziyyətini müəyyən edir. Bu nöqtəyə qoyulmuş dx/dt, dy/dt koordinatları olan vektor vəziyyətin dəyişməsinin sürətini təyin edir. Vektorun sıfıra çevrildiyi nöqtə, yəni dx/dt=dy/dt=0, tarazlıq vəziyyəti və ya sistemin xüsusi nöqtəsi adlandırılır. (12.15) sistemin həllini (x, y) :x= φ (t),y=Ψ (t) fəza müstəvisində parametrik əyrilərlə təsvir edəcəyik. (12.15) sisteminin (x, y, t) fazasında həndəsi interpretasiyasını fəza müstəvisində interpretasiyası ilə müqayisə edək. 1. Faza müstəvisinin hər trayektoriyasına (x, y, t) fazasındakı inteqral əyrilərinin cəmi proyeksiya olunur. Bu əyrilər bir-birilərindən t əvəzinə t-C-ni alırlar, burada C – sərbəst konstantadır (şəkil 12.4a). 2. Əgər (a, b) nöqtəsi (12.15) P (a, b) = 0; Q (a, b) = 0 sisteminin tarazlıq vəziyyətidirsə, onda inteqral əyri t oxuna paralel olaraq düz olacaqdır. Bu düz xətt (x, y) müstəvisinə yeganə olaraq (a, b) nöqtəsinə proyeksiya olunur. 3. Əgər sistem a periodu ilə periodik həllə malikdirsə, onda (x, y, t) fəzasında uyğun əyri inteqral a addımı olan spiralı təmsil edir. Bu spiral faza müstəvisində qapalı əyri kimi proyeksiya olunur (şəkil 12.4.b). Şəkil 12.4 Həllərin (x, y, t) fəzasında və faza müstəvisində davranışı. Spiralın (x, t) və ya (y, t) müstəvisinə proyeksiyasında x (t) və ya y (t) dəyişənin dəyişmələrini göstərən sinusoidal əyrini almış oluruq. Differensial tənlik sistemlərindən çox vaxt texniki qurğuların (mexaniki, elektrikli və s.) təsviri üçün istifadə olunur. Differensial tənliklər sistemi sonsuz qədər çoxlu həllərə malikdirsə (konkret həll ilkin şərtlərlə müəyyən olunur), onda texniki qurğular (maşınlar, mexanizmlər) da sonsuz qədər çoxlu rejmlərə malik ola bilər. Təcrübədə bu qurğular kifayət qədər müəyyən rejimlərdə işləyirlər, bu da konkret ilkin şərtlərin seçimi ilə izah olunur, həm də qurğu özü öz işini stabilləşdirir. Kəfkirli divar saatı haqqında xrestomatik misalı nəzərdən keçirək. Əgər kəfkir şaquli vəziyytdən kifayət qədər çox aralanıbsa, saat müəyyən rəqs amplitudası ilə uzun müddət işləyəcəkdir. Əgər kəfkir kifayət qədər çox əyilməyibsə, onda o qədər də böyük olmayan rəqs sayından sonra saat dayanacaqdır. Beləliklə, bu dinamik sistemin iki stasionar həlli var: saatın normal gedişinə uyğun olan periodik həll və tarazlıq vəziyyəti (kəfkirin sürəti sıfıra bərabərdir). Yerdə qalan bütün sonsuz qədər çoxlu həllərin hər biri iki stasionar həlldən birinə sürətlə yaxınlaşır, iki həlldən hər biri o mənada müvazinətlidirlər ki, başlanğıc anında stasionar haldan o qədər də çox kənara əyilməyən həll yenidən stasionar hala doğru can atır. Xüsusi nöqtələrin ətrafında altı tip faza trayektoriyası ola bilər, onlar sxematik olaraq şəkil 12.5-də göstərilmişdir (faza trayektoriyasında olan oxlar t parametlərinin dəyişməsi istiqamətlərini göstərir). Şəkil 12.5-də Yüklə 5,01 Kb. Dostları ilə paylaş:
|