Q. Y. Abbasova Sosial proseslərin modelləri. Dərslik. Rus dilindən tərcümə. B.: 2016

 (12.5) tənliyi aşağıdakı şəkildə dəyişdirilə bilər: 
M
t+1
=g+(1–f–g)M
t
(12,6). 
yəni burada o nəzərə çatdırılır 
M
t+1
=a
0
+a
1
M
t
(12,7). 
Hansı  ki,  daimi  əmsallara  malik  birinci  qəbildən  olan  xətti  fərq  tənliyinin  standart 
formasıdır.  (12,7)  tənliyinin  həlli  M(
t
)  –  nin  elə  bir  funksiyasıdır  ki,  M
t
ardıcıllığını  bu 
tənliyin verilmiş sahəsi üçün  t qiymətlərini təmin edir. 
 (12,7)  tənliyi  çox  bəsitdir  və  cəbr  metodları  ilə  asanlıqla  həll  oluna  bilər.  Ümumi 
halda bu tənliyin həllinin görkəmi belədir: 
Şəkil 12.8 
 
 
 
Beləliklə,  (12,7)  tənliyinin  həlli  birmənalı 
şəkildə  M
0
  –  nun  ilkin  qiyməti  ilə  müəyyən 
olunur. 
Tarazlıq və müvazinət. İnsana xas olan keyfiyyətlərdən biri – stabilliyə can atmaq 
–  tarazlıq  anlayışının  köməyi  ilə  dinamik  sistemlər  nəzəriyyəsində  formalaşır.  Tarazlıq 
sistemin  elə  bir  vəziyyətidir  ki,  orada  tədqiqatçını  maraqlandıran  parametrlər  dəyişmədən 
qalırlar:  M1  +  1=  M1,  həm  də  bu  heç  də  o  deyil  ki,  sistemdəki  həyat  tamamilə  donub. 
Səfərbərlik  modeli  çərçivəsində  M1  –  in  daimiliyi  haqqında  fərziyyə  bu  partiyanın 
tərəfdarları arasında dəyişikliklərin olmamasını göstərmir (onların bir hissəsi köçüb gedir, 
ölür, digər partiya tərəfindən öz tərəfinə çəkilir), amma ümumi nisbət təxminən dəyişməz 
olur. 
M
*
  sisteminin  tarazlıq  nöqtəsini  müəyyən  etmək  üçün  (12,5)  tənliyində  M
t+1 
=  M
t
 
şərtini qoyaq, nəticədə aşağıdakını alarıq: 
g = (1 – M*) – f M* 
Nəticədə, 
M* = g / (f+g). 
 (12,7)  tənliyi  üçün  tarazlıq  vəziyyətini  aşağıdakı  hesablama  ilə  aparıldığını 
göstərmək asandır: 
M* = a
0 
/ (1 – a
1
) 
(12,8)  tənliyindəki  nisbətdən  müəyyən  etmək  olur  ki,  həllin  ancaq  şəkil  12.1-də 
təsvir  olunmuş  davranış  variantları  vardır  (25)  variant  1  tarazlıq  vəziyyətinə  monoton 
oxşarlığı  təsvir  edir.  (a
1 
>  0  və  |  a
1
  |  <1)  olduqda;  variant  II  tarazlıq  vəziyyətinə  ocsillik 
oxşarlıq  (a
1 
<  0  və  |  a
1
  |  <1)  olduqda;  variant  III  –  monoton  aralanma  (a
1 
>  0  və  |  a
1
|>1) 
olduqda;  variant  IV  – 
ossillik aralanma (a
1 
< 
0 və | a
1 
| >1) olduqda. 
Şəkil 12.1  
12.7. 
tənliyinin  həllərinin 
keyfiyyət davranışı. 
 
 
 
 
Tərifə  görə  I 
və  II  variantlar  sabit 
sistemi 
xarakterizə 
edirlər  –  bütün  həllər 
M
0
 
və 

---

a
0
qiymətlərindən asılı olamayaraq tarazlıq vəziyyətinə görə oxşardırlar, III və IV variantları 
isə qeyri-sabit sistemi xarakterizə edirlər. 
Dinamik modelin parametrlərinin qiymətləndirilməsi. Səfərbərlik modeli 1920 – 
1968-ci  illəri  əhatə  edən  dövrdə  Leyk  Kantri  şəhərində  (İndiana  ştatı)  ABŞ-ın  demokratik 
partiyasına  verilən  səslərin  dinamikasının  öyrənilməsi  üçün  istifadə  edilmişdir  (23). 
Modelin a
0
, a
1
 əmsallarının rəqəmli qiymətlərinin dəyərləndirmək üçün ən kiçik kvadratlar 
metodundan istifadə olunmuşdur. Fərq tənliyi (12,7) xətti reqressiya tənliyi kimi nəzərdən 
keçirilmişdir, burada y=m
0
+m
1
x kimi götürülür harada ki, y=M
t+1
– bu t+1=1924, 1928, ..., 
1968-ci  illərdə  demokratik  partiyanın  namizədlərinə  səs  verən  seçicilərin  Leyk  Kantridə 
olan  payıdır;  x=M
t
  isə  t+1920,  1924,  ...,  1964  –cü  ilində  demokratlara  səs  verənlərin 
payıdır. 
Ən kiçik kvadratlar metodunun (23) köməyi ilə əmsalların aşağıdakı qiymətləri əldə 
olunmuşdur: m
0
 – 0,14; m
1
=0,62. (12.10) formulu ilə tarazlıq vəziyyətini hesablayırıq. 
Şəkil  12.2a-da  M
1
-in  müşahidə  olunan 
qiymətlərinin qrafiki, şəkil 12,2b-da isə (12,7) fərq 
tənliyinin  həlli  qrafiki  göstərilmişdir  (M
0
=M
1920
 
olanda). 
Şəkil 
12.2 
Leyk 
Kontridə 
prezident  seçkilərində 
(1920-1968) 
demokratlara 
səs 
verənlərin dinamikası. 
Şəkil 12.2a və b-də olan qrafiklərin müqayisəsi göstərir ki, fərq tənlikləri səfərbərlik 
prosesinin  keyfiyyət  xarakteristikalarını  kifayət  qədər  yaxşı  təsvir  edir.  Aydındır  ki,  bu 
model  çox  bəsitdir,  realistik  modellər  çoxlu  miqdarda  faktorların  və  qeyri-xətti 
münasibətlərin  uçotunu  tələb  edirlər,  amma  sistemin  davranışının  anlanması  üçün  bəzən 
modelin sadə variantını da  öyrənmək kifayətdir. 
 
12.3. Differensial tənliklər nəzəriyyəsinin əsas anlayışları 
 
Differensial tənliklərə təkcə funksiyalar deyil, həm də onların törəmələri də daxildir. 
Əvvəlki paraqraflarda nəzərdən keçirdiyimiz fərq tənliklərini aşağıdakı şəkildə yazaq: 
burada 
Δ
t
=1.  (12.11)  tənliyi  dinamik 
sistemin  vəziyyətini  iki  nöqtədə  birləşdirir:  t  və 
(t+
Δ
t
).  Bu  tənliyin  sol  tərəfinə, 
Δ
t  -  >>0  həddinə 
keçsək onda 
d
M / dt=f (M, t) alarıq. 
(12.12) tənliyi differensialdır, əsasən törəmə tərəfindən həll olunmuşdur. 
Ancaq M(t) zamanının funksiyalarını nəzərdən keçirək, amma ümumi halda bu heç 
də məcburi deyildir. Qeyd edək ki, differensial tənlik fərq tənliyindən fərqli olaraq sistemin 
davranış  dinamikasını  hər  bir  t  nöqtəsində  təsvir  edir.  (12.12)  tənliyi  sistemin  davranışını 
xarakterizə edən kəmiyyətlərin dəyişmə sürətini (t-dən törəyənlərin) kəmiyyətlərin  - M(t) -  
özləri ilə funksional olaraq bağlayırlar. 
Şəkil  12.3  Differensial  tənlik  həllərinin 
həndəsi interprefasiya. 
Formul  şəklində  olan  analitik  həllini 
axtarmadan da (12.12) tənliyinin həndəsi mənası 
əsasında  bu  həllərin  ümumi  mənzərəsi  haqqında 
təsəvvür  yaratmaq  olar.  dM/dt  törəməsinin 
həndəsi  mənasını  yada  salaq.  M(t)  əyri  üçün 

---