Uzaro bog‘lanishlar xaqida tushuncha va ularning turlari

Ranglar korrelyatsiya koeffitsienti

Ranglar - bu sarflangan qatorda tuplam birliklari uchun berilgan tartib raqamlari.

Juft bog‘lanish zichligini baxolash meyori sifatida ingliz psixatri Ch.Spirmen tomonidan taklif etilgan ranglar korrelyatsiya koeffitsientidan xam foydalanish mumkin. Ranglar - bu sarflangan qatorda tuplam birliklari uchun berilgan tartib raqamlari. Agar x va u belgilar uchun ranglarni , orqali belgilasak, ularning korrelyatsiya koeffitsienti (6) formulaga binoan quyidagi kurinishga ega:


(8)

Bu yerda natural sonlar qatorining urtacha ranglari.

(9)
Bu yerda n - qator ranglar soni.
Bu ifoda Spirmen ranglar korrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi.
Bu kursatkichni afzallik jixati shundan iboratki, son bilan ifodalab bulmaydigan belgilar uchun xam saflangan qatorlar tuzish mumkin.


Guruxlangan ma’lumotlar asosida tug‘ri chiziqli regressiya tenglamasini aniqlash

Xisoblash ishlarining xajmini kamaytirish maqsadida tuplam birliklari omil (x) va natijaviy (u) belgilar buyicha kombinatsion shaklda guruxlanadi va natijada korrelyatsion jadval xosil qilinadi. Sungra uning ma’lumotlari asosida regressiya tenglamasining parametrlari aniqlanadi.

5-jadval
Regressiya tenglamasini parametrlarini aniqlash uchun kerakli jamlama axborotlarni tayyorlash

Paxta xosildorligi buyicha guruxlar,sG‘ga		20-26			26-32			32-38			ja-mi nx			Xamma
1 ga mineral ug‘it sarfi buyicha guruxlar	Oraliq urtacha qiymati	23			29			35						Si
	x u
2-4	3	69			87			105
			10			5			0		15	45	135
				690			435			0				1125
4-6	5	115			145			175
			2	230		20			8		30	150	750
							2900			1400				4530
6-8	7	161			203			245
			0			15			10		25	175	1225
				0			3045			2450				5495
Jami		12			40			18			70	370	2110	11150
		276			1160			630			2066	-	-	-
		6348			33640			22050			62038	-	-	-
		26.11			29,09			32,07			29,4	-	-	-
		313.32			1163,60			577,26			2054,18	-	-	-
		8180.79			33849,12			18512,73			60542,64	-	-	-

5-korrelyatsion jadvalda oraliqlar urtachalarini belgi variantalari deb qabul qilib, jadvalning xar bir katagida 3 ta ma’lumot yozamiz.

Chunonchi, katakning urtasida gurux takrorlanish (xujaliklar) soni n_xy, yuqori chap burchagida xy kupaytma, pastki ung burchakida esa ularning n_xyga kupaytmasi xyn_xy kursatiladi (xususan 1-qator va 1-ustunga mos kelgan katakda n_xy-10, xy32369, xyn_xy6910690). Bulardan tashqari, jadvalda yig‘indi va kupaytma kurinishida umumiy ifodalar berilgan. Masalan,

5-jadval ma’lumotlariga asoslanib regressiya tenglamasining parametrlari bunday aniqlanadi:
(10)


(11)



Guruxlangan ma’-lumotlarga asosan xisoblangan regres-siya va korrelyatsiya koeffitsientlari bog‘lanish zichligini kuchaytirib tasvir-laydi
Demak,
Gruppalangan ma’lumotlar buyicha regressiya tenglamasi parametrlarini xisoblash ularning aniqlik darajasini pasaytiradi, chunki bunda belgi qiymatlari uchun taqriban oraliqlar urtachasi olinadi. G‘uza mineral ug‘itlar bilan oziqlantirilmaganda xujaliklarda urtacha xosildorlik 21,644 sG‘ga bulishi mumkin edi. Xar gektar g‘uzaga berilgan qushimcha ug‘it xosildorlikni urtacha 1.5 sga oshiradi.


Egri chiziqli regressiya tenglamalarini aniqlash

Belgilar orsidagi munosabat barqa- rorlikka intiluv-chi nisbiy me’yor-lar bilan ifoda-lansa, bu xolda egri chiziqli reg-ressiya tenglama-lari qullanadi.
1. Omillar urtasidagi teskari korrelyatsion bog‘lanishni giperbola kurinishida ifodalash mumkin:
u q a₀ Q a₁ G‘ x
Agar regressiya koeffitsienti a₁ musbat ishoraga ega bulsa, omil belgi x qiymatlari oshgan sari natijaviy belgi kichiklasha boradi va shunisi e’tiborliki, kamayish sur’ati doimo sekinlashadi va x cheksizlikka intilganda natijaviy belgi urtacha qiymati a₀ teng buladi, ya’ni Agar regressiya koeffitsienti a₁ manfiy ishoraga ega bulsa, omil qiymati oshishi bilan natijaviy belgi qiymatlari kattalashadi, ammo usish sur’ati sekinlasha boradi va x u q a₀.
Giperboloid regressiya tenglamasi bilan almashtirib, uni tug‘ri chiziqli kurinishga keltirish mumkin. Natijada, kichik kvadratlar usuliga binoan, normal tenglamalar quyidagi shaklga ega buladi:
naQa₁∑zq∑y
a₀∑zQa₁∑z₂q∑yx bundan

II. Regressiya tenglamasi parabola kurinishda ifoda qilinsa, xuddi yuqoridagiga uxshash x²qz almashtirish qullanilib, parametrlarni aniqlash formulalari xosil qilinadi:

Ikkinchi tartibli parabola shaklidagi regressiya tenglama quyidagi kurinishga ega
(16)
Agar omil uzgari-shi bilan natija dastlab tez sur’at-lar bilan uzgarib, sungra tezligi suna borsa, u xolda korrelyatsiya para-boloid shaklga ega buladi.
Agar tug‘ri chiziqli bog‘lanishda omil uzgaruvchanligi kulami chegarasida uning bir birligiga nisbatan natijaviy belgi urtacha uzgarishi uzgarmas miqdor bulsa, paraboloid korrelyatsiyada esa U - belgi bir birligiga nisbatan X belgi uzgarishi omil qiymati uzgarishi bilan bir me’yorda ketadi. Oqibatda bog‘lanish xatto uz ishorasini qarama-qarshisiga almashtirib, tug‘ri bog‘lanishdan teskari yoki teskaridan tug‘riga aylanishi mumkin. Bunday xususiyat kupchilik tizimlarga xosdir.
Ikkinchi tartibli parabola uchun, kichik kvadratlar usuliga binoan, normal tenglamalar tizimi quyidagicha:

Guruxlangan tuplamlar uchun bu tenglamalar tizim:
Bu yerda:
III. Regressiya tenglamasini kursatkichli funksiya kurinishda aniqlash uchun avval uni logarifmlab sungra almashtirishlar yordamida chiziqli tenglama xosil qilinadi: . Yuqoridagi formulalarga asosan a₁ va v aniqlab va kiritilgan almashtirishlardan foydalanib quyidagini yozish mumkin:

U xolda


Bir omilli regressiya tenglamasini baxolash va taxlil qilish.
Juft korrelyatsiya koeffitsienti

Korrelyatsion bog‘lanish kuchini baxolashda korrelyatsiya indeksidan foydalaniladi:

21
Bu koeffitsientning kvadrati determinatsiya indeksi deb ataladi.
Xususan, bog‘lanishning shakli tug‘ri chiziqli bulganda determinatsiya va korrelyatsiya indekslari mos ravishda chiziqli determinatsiya va korrelyatsiya koeffitsientlari (r² va r) deb yuritiladi.
Gruppalangan tuplam uchun korrelyatsiya koeffitsienti bunday xisoblanadi:
. 12

Korrelyatsiya koeffitsientining kattaligi esa regressiya tenglamasining funksional bog‘lanishga yaqinligini kursatadi. Bu yerda kuzatilgan taqsimot belgilari orasida tula adekvat bog‘lanish mavjud deb xisoblanayotir. Ammo xayotda bunday tuliq moslik bulmaydi. Shu sababli korrelyatsiya indeksi bilan korrelyatsiya koeffitsienti orasidagi farq xaqiqiy bog‘lanish shakli qanchalik tug‘ri chiziqli bog‘lanishga mos kelishini baxolaydi.

Aniqlangan regressiya va korrelyatsiya kursatkichlari xar doim moxiyatli bulavermaydi. Shuning uchun ularning moxiyatli ekanligini tekshirib kurish zarur. Regressiya va korrelyatsiya kursatkichlarining moxiyatligi Styudent (t), Fisher (F) va boshqa mezonlar yordamida baxolanadi.
Regressiyaning chiziqli tenglamasi parametrlarining moxiyatli ekanligini tekshirishda t - mezondan foydalaniladi. Buning uchun xar bir parametrga mos kelgan t ning xaqiqiy qiymatlari quyidagi formulalar bilan xisoblanadi:


(23)

Sungra t mezonning xisoblangan xaqiqiy qiymatlari t_xaq uning erkin darajalari soni n - 2 va qabul qilingan moxiyatli darajasi  ga mos kelgan nazariy qiymati bilan taqqoslab kuriladi. Mezonning nazariy qiymati (t_jadv) Styudent taqsimoti jadvalidan aniqlanadi. Agar biror parametr uchun t_xaq  t_jadv bulsa, u xolda shu parametr qabul qilingan daraja bilan moxiyatli xisoblanadi. Parametr xatosining urtachasi quyidagicha xisoblanadi:

(25)

Korrelyatsiya indeksining moxiyatli ekanligi Fisher kriteriyasi bilan tekshiriladi. Kriteriyaning F_xaq xaqiqiy qiymati:

(26)
Bu yerda: n - tuplam soni; m - tenglama parametrlari soni.

tarzida aniqlanib, uning jadvaldagi qiymati bilan taqqoslanadi.

Korrelyatsiya koeffitsientining moxiyatlilik darajasini Styudent t - mezoni bilan xam tekshirish mumkin. Agar ushbu tengsizlik
(27)
urinli bulsa, korrelyatsiya koeffitsienti moxiyatli buladi.
Tuplamning miqdori juda kichik bulganda korrelyatsiya indeksining aniqligini oshirish uchun qoldiq dispersiyaga quyidagicha tuzatish kiritiladi:


(28)

bu xolda omilli dispersiya

Elastiklik koeffitsienti omil belgining 1% ga uzgarganda natija qancha foizga uzgarishini aniq-laydi

Regressiya tenglamasini taxlil qilishda natijaviy belgining omil belgiga nisbatan elastiklik koeffitsientidan xam foydalaniladi. Elastiklik koeffitsienti (E) omil belgining 1% uzgarishi bilan natijaviy belgining urtacha necha foiz uzgarishini ifodalaydi:


(29)
Bu yerda regressiya tenglamasining x buyicha xususiy xosilasi.
Formula kursatadiki, umuman elastiklik koeffitsienti uzgaruvchi miqdor bulib, uning qiymati omil belgining (x) qiymatiga qarab uzgaradi.
Chiziqli regressiya tenglamasi uchun elastiklik koeffitsienti
(20)
Faqat bog‘lanishning kursatkichli funsiyasi uchun elastiklik koeffitsienti uzgarmas miqdor buladi, ya’ni Eqa₁.