|
![](/i/favi32.png) BlackcurseO’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi tX:
х
1
x
2
. . . x
n
R: r
1
r
2
. . . r
n
Ta’rif.
X diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi M(X) deb, X
miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini mos ehtimollarga ko’paytmalari
yig’indisiga teng songa aytiladi, ya’ni
∑
=
=
+
+
+
=
n
i
i
i
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
1
2
2
1
1
....
)
(
X tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari soni cheksiz, ya’ni X
tasodifiy miqdor
X:
х
1
х
2
. . .
х
n
. . . .
R:
r
1
r
2
. . . r
n
. . .
.
taqsimotga ega bo’lgan holda uning matematik kutilishi
∑
∞
=
=
+
+
+
+
=
1
2
2
1
1
.
.
.
....
)
(
i
i
i
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
formula bilan aniqlanadi, bunda oxirgi qator absolyut yaqinlashadi deb faraz
qilinadi. Aks holda, bu tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo’lmaydi.
Misol
.
Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
46
X:
1 2 3 4 5 6
R:
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
Echish.
M(x)= 1
,
6
1
+2
.
6
1
+3
.
6
1
+ 4
,
6
1
+5
.
6
1
+6
.
6
1
=3,5
Misol
.
Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan X diskret tasodifiy miqdorning
matematik kutilishini toping.
Echish.
Ma’lumki, Puasson qonuni quyidagi jadval bilan xarakterlanadi.
X: 0 1 2 3 . . . k
p:
!
.
.
.
!
3
!
2
3
к
е
е
е
е
е
к
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
U holda
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
−
−
=
⋅
=
−
=
=
0
1
1
)!
1
(
!
)
(
к
к
к
к
е
е
е
к
е
е
к
к
Х
М
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Shunday qilib, Puasson taqsimotini xarakterlovchi parametr X tasodifiy
miqdorning matematik kutilishidan boshqa narsa emas ekan.
X tasodifiy miqdor ustida n ta sinov o’tkazilgan bo’lsin. Sinov natijalari
quyidagicha bo’lsin.
X:
х
1
х
2
. . .
х
k
p: n
1
n
2
. . . n
k
Yuqori satrda X miqdorning kuzatilgan qiymatlari, pastki satrda esa mos
qiymatlarning chastotalari ko’rsatilgan. X orqali kuzatilgan barcha qiymatlarning
o’rta arifmetigini belgilaylik, u holda
n
n
x
n
x
n
x
Х
k
k
+
+
+
=
.
.
.
2
2
1
1
yoki
k
k
k
k
x
x
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
X
ν
ν
ν
+
+
+
=
+
+
+
=
..
.
..
.
2
2
1
1
2
2
1
1
Bu erda
ν
1
,
ν
2
, . . . .,
ν
K
- mos ravishda
х
1
,
х
2
, . . .
х
x
qiymatlarning nisbiy
chastotalari.
47
Demak,
Х
=M(X) ya’ni X tasodifiy miqdorning matematik kutilishi uning
kuzatiladigan qiymatlari o’rta arifmetigiga taqriban teng.
Matematik kutilishning xossalari.
1-xossa.
O’zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o’zgarmasning
o’ziga teng, ya’ni M(S)=S.
Isboti.
S o’zgarmas miqdorni yagona S qiymatni 1 ga teng ehtimol bilan
qabul qiladigan tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Shuning uchun,
M(S)=S
.
1=S
2-xossa.
Chekli sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik
kutilishi ular matematik kutilishlarining yig’indisiga teng, ya’ni
M(X
1
+X
2
+ . . . . +X
n
)=M(X
1
) + M(X
2
)+ . . .+M(X
n
)
3-xossa.
Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining
matematik kutilishi ular matematik kutilishlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni
M(X
1
.
X
2
.
. . .
.
X
n
)=M(X
1
)
.
M(X
2
)
.
. . .
.
M(X
n
)
4- xossa.
M(aX+b) = aM(X)+b, (a , b = const)
Isboti.
M(
a
X+b)=M(
a
X)+M(b)=
a
M(X)+ b
5-xossa.
M(X-M(X))=0
X-M(X) tasodifiy miqdor X tasodifiy miqdorni o’zining matematik
kutilishidan chetlanishi (og’ishi) deb ataladi. Shunday qilib, tasodifiy miqdor
chetlanishining matematik kutilishi nolga teng.
Tasodifiy
miqdor
dispersiyasi
.
Ko’pchilik holatlarda, tasodifiy miqdorning matematik kutilishini bilish uni
etarli darajada xarakterlash uchun kifoya qilmaydi.
Masalan.
X: -0,7 –0,01 0 0,01 0.7
48
r:
0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
Y:
-50 –10 0 10 50
p:
0,3 0,1 0,2 0,1 0,3
M(X)=0 va M(Y)=0 ekanligi ko’rinib turibdi. Ammo bu tasodifiy miqdorlar
taqsimotlarining mohiyati turlicha: X miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari
uning matematik kutilishidan kam farq qiladi, shu bilan bir vaqtda Y miqdorning
qiymatlari uning matematik kutilishidan katta farq qiladi. Boshqacha aytganda,
matematik kutilishini bilish undan qanday chetlanishlar bo’lish mumkinligi haqida
xukm yuritishga imkon bermaydi.
Ta’rif
.
X tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(X) deb, uning chetlanishi
kvadratining matematik kutilishiga aytiladi, ya’ni
D(X)=M(X-M(X))
2
Diskret tasodifiy miqdor uchun bu formula ushbu ko’rinishini oladi:
∑
=
−
=
n
i
i
i
p
X
M
x
X
D
1
2
))
(
(
)
(
Ta’rif.
X tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlanishi
σ
(X) deb,
dispersiyadan olingan kvadrat ildizning qiymatiga aytiladi, ya’ni
σ
(X) =
)
(
X
D
Misol.
Agar A hodisaning ro’y berish ehtimoli r ga teng bo’lsa, u holda A
hodisaning bitta sinovda ro’y berish sonining matematik kutilishi, dispersiyasi va
o’rtacha kvadratik chetlanishini toping.
Echish
.
Taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi:
X: 0 1
r: q p
U holda,
M(X)=0
.
q+1p=p
D(X)=(0-p)
2
.
q+(1-p)
2 .
p=qp
2
+pq
2
(p+q)=qp
49
σ
(X)=
pq
Dispersiyani hisoblash uchun ko’pincha quyidagi formuladan foydalangan
ma’qul:
D(X)=M(X
2
)-(M(X))
2
Dispersiyaning xossalari.
1-xossa.
O’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng, ya’ni
D(S)=0
Isbot.
S o’zgarmas miqdorni S qiymatini 1 ehtimol bilan qabul qiladi deb
qarash mumkin. U holda
M(S)=S
va
D(S)=(S-S)
2 .
1=0
2-xossa.
O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga ko’tarib dispersiya belgisidan
tashqariga chiqish mumkin.
D(S
.
X)=S
2
D(X)
3-xossa.
Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar yig’indisining
dispersiyasi ular dispersiyalarning yig’indisiga teng:
D(X
1
+X
2
+. . . +X
n
)=D(X
1
)+D(X
2
)+. . . +D(X
n
)
Misol
.
Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X diskeret tasodifiy
miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va o’rtacha kvadratik chetlanishini
hisoblang.
X:
-2 1 3 6
r:
0.4 0,2 0,1 0,3
Echish
.
M(X)=-2
.
0,4+1
.
0,2+30,1+6
.
0,3=1,5
D(X)=M(X-M(X))
2
=(-2-1,5)
2 .
0,4+(1-1,5)
2 .
0.2+(3-1,5)
2 .
0,1+(6-1,5)
2 .
0,3=11,25
36
,
3
25
,
11
)
(
)
(
≈
=
=
X
D
X
σ
Biz yuqorida dispersiyani ta’rif bo’yicha hisobladik. Endi D(X)=M(X
2
)-M
2
(X) formula bo’yicha hisoblaylik. Buning uchun dastlabki X
2
tasodifiy miqdorning
taqsimot qonunini tuzib olamiz.
X
2
: 4 1 9 36
50
r: 0,4 0,2 0,1 0.3
D(X)=M(X
2
)-M
2
(X)=13,5-2,25=11,25
Ta’rif.
X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya momenti (yoki
kovariatsiyasi) deb, quyidagi songa aytiladi.
Dostları ilə paylaş: |
|
|