Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

vY s. єYklindY gцstYrilir. Bu ifadYlYrdYki f, ц, F ... hYrflYri hansэ qanun vY ya qaydalar vasitYsilY x-in verilmiє qiymYtinY y-in uyрun qiymYtinin qarєэ qoyulmasэnэ gцstYrir.

Bu halda x-Y sYrbYst dYyiєYn vY ya arqument, y-Y isY funksiyanэn asэlэ dYyiєYni vY ya qiymYti deyilir. X зoxluрuna funksiyanэn tYyin oblastэ, Y єoxluрuna isY onun qimYtlYri зoxluрu deyilir.

f(X) ilY Y зoxluрunu iєarY edYk ki, onlarэn hYr biri y=f(x) funksiyasэnэn heз olmazsa bir xX nцqtYsindY aldэрэ qiymYt olsun. Aydэndэr ki, f(X) Y, vYya f(X), Y зoxluqlarэ bYrabYr olmaya da bilYr.

Xьsusi halda, f(X) = Y olarsa, onda deyirlYr ki, y = f(x) funksiyasэ X зoxluрunu Y зoxluрu ьzYrindY inikas etdirir. Bu halda istYnilYn x1 x2 ( x1µ §X, x2 X) ьзьn f(x1) f(x2) olarsa, onda X зoxluрunun Y зoxluрuna y = f(x) inikasэna qarєэlэqlэ birqiymYtli inikas deyilir.

X зoxluрu YdYdi зoxluq olduqda f(x) funksiyasэna hYqiqi dYyiєYnli funksiya deyilir.

єFYrz edYk ki, Y = f(x) funksiyasэ µ § parзasэnda tYyin olunmuєdur. y = f(x) funksiyasэnэn µ § parзasэndakэ qiymYtlYrini hYndYsi gцstYrYn bьtьn nцqtYlYrin hYndYsi yeri hYmin funksiyanэn hYndYsi gцstYriliєi vY ya µ § parєasэnda qrafiki adlanэr. Baєqa sцzlY, absislYri arqumentin qiymYtlYri, ordinatlarэ isY funksiyanэn arqumentin hYmin qiymYtlYrinY uyрun qiymYtlYri olan M (x, y) nцqtYlYrinin hYndYsi yerinY y = f(x) funksiyasэnэn qrafiki deyilir.

TYyin oblasэµ §parзasэ (vY ya hYr hansэ sonsuz зoxluq) olan funksiyanэn qrafikini praktiki olaraq qurmaq ьзьn onun bьtьn qiymYtlYrinihYndYsi gцstYrYn nцqtYlYri tapmaq mьmkьn olmur.

Buna gцrY dY verilmiє funksiyanэn qrafiki ya onun mьYyyYn xassYlYrinY YsasYn vY ya da qrafik ьzYrindY yerlYєYn sonlu sayda Mk (xk , yk ) ( k= µ § ) nцqtYlYrini tapэb inlarэ bьtцv xYtlY birlYєdirYrYk tYqribi qurulur.

єFunksiya analitik ьsulla verildikdY iki hal ola bilYr: x (arqument) vY y (funksiya) arasэndakэ asэlэlэрэ ifadY edYn riyazi dьstur riyazi dьstur y-Y nYzYrYn hYll olunmuє єYkildY, yYni y = f(x) єYkildY verilY bilYr. Bu halda funksiya aєkar єYkildY verilmiєdir deyilir.

x vY y arasэndakэ asэlэlэрэ ifadY edYn riyazi dьstur y-Y nYzYrYn hYll olunmamэє єYkildY, yYni

F(x, y) = 0 (1)

єYklindY verildikdY, deyirlYr ki, y = y(x) vY ya y = f(x) funksiyasэ qeyri-aєkar єYkildY verilmiєdir. Bu halda tYyin olunan y = y(x) funksiyasэna qeyri-aєkar funksiya deyilir.

Misal 1. 3x ЁC y + 2 = 0 tYnliyi ilY y dYyiєYni x-in qeyri-aєkar funksiyasэ kimi verilmiєdir. HYmin tYnliyi y-Y nYzYrYn hYll edYrYk funksiyanэ

y = 3x + 2

kimi aєkar єYklY gYtirmYk olur.

Misal 2. x2 + y2 + 5 = 0 tYnliyi heз bir funksiyanэ tYyin etmir. x-in hYqiqi qiymYtlYrindY y-in bu tYnliyi цdYyYn heз bir hYqiqi qiymYti yoxdur.

єFunksiyanэn analitik ьsulla verilmYsini bir yolunu da gцstYrYk.

Tutaq ki, x (arqument) vY ya y (funksiya) dYyiєYnlYri baєqa bir t dYyiєYninin aєkar funksiyasэ єYklindY verilmiєdir:

µ § t T (2)

t-nэn T зoxluрundakэ hYr bir to qiymYtinY (2) mьnasibYti vasitYsilY x vY y-эn xo = µ §( to ) vY yo = (to) qiymYtlYri uyрun qoyulur. Bu YdYdlYrin ikincisini birincisinY qarзэ qoysaq

xo yo (3)

onda y dYyiєYni x-эn funksiyasэ kimi tYyin olunar. Aydэndэr ki, (2) mьnasibYti bir vY ya bir neзY funksiyanэ yYyin edY bilYr.

Funksiyanэn belY ьsulla verilmYsi onun parametrik єYkildY verilmYsi, t-yY isY parametr ideyilir.

Misal 3.
µ § µ § (4)

parametrik єYklindY verilmiє funksiya y = fo(x) olsun. (4) mьnasibYtinin tYyin etdiyi yeganY funksiyanэn aєkar ifadYsini almaq ьзьn hYmin mьnasibYtdYn t-nэ yox etmYk lazэmdэr:

y = 3x + 7.

DemYli, fo (x) = 3x + 7.

ЬmьmiyyYtlY, (2) bYrabYrliklYrinin birincisindYn t parametrini tapэb ikincisindY yerinY yazsaq, onda funksiyanэn y = f(x) iєYklindY ifadYsini alэrэq.

єTutaq ki, x = ц(t) funksiyasэ T зoxluрunda tYyin olunmuєdur vY onun qiymYtlYri зoxluрu y = f(x) funksiyasэnэn X tYyin oblastэna daxildir. Bu halda, t-nэn T зoxluрundakэ hYr bir qiymYtinY y-эn mьYyyYn bir qiymYti uyрun olur, yYni y dYyiєYni (x vasitYsilY) t-nэn funksiyasэdэr:

y = f µ §. (5)

Bu halda alэnan f µ § funksiyasэna mьrYkkYb funksiya vY ya funksiyanэn funksiyasэ deyilir.

x = µ § vY y = f(x) funksiyalarэndan dьzYldilmiє (5) mьrYkkYb funksiyasэna bYzYn hYmin x = µ § (daxili) vY y=ѓ(x) (xarici) funksiyanэn superpozisiyasэ da deyilir.

Misal 4. y= sinx vY x = t4 olduqda bir ara arqumenti olan

y = sin t4

mьrYkkYb funksiyasэ alэnэr.

Misal 5. Y = sin u, u = lg x vY x = t4 olduqda

y = sin lg t4

mьrYkkYb funksiyasэnэn iki ara arqumenti (u vY x) vardэr.

єTutaq ki, y = f(x) funksiyasэ X = µ § зoxluрunda tYyin olunmuєdur. onun qiymYtlYri hYr hansэ Y = µ § зoxluрunu tYєkil edir. Funksiyanэn tYrifinY gцrY x arqumentinin X зoxluрundakэ hYr bir xo qiymYtinY y dYyiєYnin Y зoxluрundan bir yo qiymYti uyрun olur. Lakin ixtiyari yo Y YdYdi ьзьn x arqumentinin зoxluрunda

yo = f(xo) (6)

bYrabYrliyini цdYyYn ancaq bir xo qiymYtinin varlэрэ hYmiєY demYk mьmkьn deyildir.

Misal 6. X зoxluрunda tYyin olunmuє y = f(x) funksiyasэnэn qiymYtlYri зoxluрu Y olsun. Y-эn Y зoxluрundakэ hY bir yo qiymYtinY x-эn зoxluрundan (6) bYrabYrliyini цdYyYn ancaq bir xo qiymYti uyрun olarsa (yYni, y = f(x) funksiyasэ X зoxluрunu Y зoxluрuna qarєэlэqlэ birqiymYtli inikas etdirirsY), bu uyрunluqla Y зoxluрunda tYyin olunan x = ц(y) funksiyasэna y = f(x) funksiyasэnэn tYrs funksiyasэ deyilir. Aydэndэr ki, y = f(x) funksiyasэnda da x = ц(y) funksiyasэnэn tYrs funksiyasэ hesab etmYk olar. Buna gцrY dY зox zaman y = f(x) vY x = ц(y) funksiyalarэna qarєэlэqlэ tYrs funksiyalar deyilir. Bu funksiyalarэn birincisini dьz funksiya hesab etsYk, o birisi bunun tYrs funksiyasэ olar. TYrifY YsasYn

fµ § = y vY x = ц µ § (7)

bYrabYrliklYri doрrudur.

Misal 7. y = 2x + 3 funksiyasэnэn tYrs funksiyasэ

x = µ §

olacaqdэr.

2. Funksiyanэn verilmYsi ьsullarэ.

єTYrif. DYyiєmY oblastlarэ uyрun olaraq X vY Y olan iki x vY y dYyiєYn kYmiyyYtini gцtьrYk.HYr-hansэ ѓ qayda vY ya qanun vasitYsilY dYyiєYn x kYmiyyYtinin X dYyiєmY oblastэndakэ hYr bir qiymYtinY, dYyiєYn y kYmiyyYtinin mьYyyYn bir qiymYtini uyрun vY ya qarєэ qoymaq mьmkьndьrsY, onda X зoxluрundan Y зoxluрuna funksiya verilmiєdir deyilir vY y=ѓ(x) ilY gцstYrilir.

x-Y sYrbYst dYyiєYn vY ya arqument, y-Y isY funksiyanэn asэlэ dYyiєYni vY ya qiymYti deyilir. X зoxluрuna funksiyanэn tYyin oblastэ, Y зoxluрuna isY onun qiymYtlYri зoxluрu deyilir.

y=ѓ(x) ѓ- sэ o zaman verilmiє, mYlum vY ya tYyin olunmuє hesab edilir ki;

1) funksiyanэn tYyin oblastэ, yYni x arqumentinin ola bildiyi qiymYtlYr зoxluрu gцstYrilsin;

2) x-in hYr bir qiymYtinY y-in mьYyyYn bir qiymYtini uyрun qoyma qanunu, yYni x vY y arasэndakэ uyрunluq qanunu gцstYrilsin.

Funksiya YsasYn analitik ьsulla, cYdvYl єYklindY, qrafiki ьsulla vY proqram vasitYsilY verilir.

3. Џsas elementar funksiyalarэn xassYlYri.

єXYtti funksiya.

y = kx + b

єYklindY olan funksiyaya xYtti funksiya deyilir, burada k vY b hYqiqi YdYdlYrdir.

XYtti funksiyanэn tYyin oblastэ bьtьn YdYd oxudur, qrafiki isY dьz xYtdir. Dьz xYttin absis oxunun mьsbYt istiqamYti ilY YmYlY gYtirdiyi bucaрa hYmin dьz xYttin absis oxuna meyl bucaрэ deyilir. Dьz xYttin absis oxuna ц meyl bucaрэnэn tangensi, yYni tg ц onun (dьz xYttin) bucaq Ymsalэ adlanэr. Absis oxuna paralel olan dьz xYttin bucaq Ymsalэ sэfra bYrabYrdir.

buradan aydэndir ki, k = tg ц.

єQьvvYt, ьstlь vY loqarifmik funksiyalar.

1. y = µ §( hYqiqi YdYddir) funksiyasэna qьvvYt funksiyasэ deyilir. Bu funksiyanэn varlэq oblastэ µ § YdYdindYn asэlэdэr.µ § tam mьsbYt YdYd olduqda funksiyanэn varlэq oblastэ bьtьn YdYd oxu, yYni (-µ § intervalэ, natural cьt YdYd olduqda funksiyanэn qiymYtlYri зoxluрu µ § yarэmintervalэ, tYk olduqda isY (µ § intervalэ olar.

µ § tam mYnfi YdYd olduqda y = µ § funksiyasэ x-эn x=0 qiymYtindYn baєqa yerdY qalan bьtьn hYqiqi qiymYtlYrindY, yYni

µ §, 0) + (0, ) (1)

Зoxluрunda tYyin olunmuєdur.

2. y = ax (a0, a1) funksiyasэna ьstlь funksiya deyilir. Bu funksiyanэn varlэq oblastэ (-µ § intervalэ \, qiymYtlYr зoxluрu isY (0, ) intervalэdэr.

a-nэn vahiddYn kiзik vY bahiddYn bцyьk qiymYtlYrindY y = ax funksiyasэnэn qrafiki 2-ci vY 3-cь єYkillYrdY gцstYrilmiєdir.

3. y = log a x (a0, a1) funksiyasэna loqarifmik funksiya deyilir.

Bu funksiyanэn varlэq oblastэ (0, ) intervalэ, qiymYtlYri зoxluрu isY (-µ §) intervalэdэr.

Loqarifmik funksiyasэnэn qrafiki 4-cь єYkildY gцstYrilmiєdir.

єTriqonometrik funksiyalar.

Triqonometrik funksiyalarэn hYndYsi tYrifi orta mYktYbin riyaziyyat kursundan mYlumdur. Bu tYrifY gцrY

y = sin x, y =cosx, y=tgx, y=ctg x (2)

triqonometrik funksiyalarэ bucaрэn vY elYcY dY qцvsьn funksiyalarэdэr.

HYr bir hYqiqi x YdYdinY, triqonometrik funksiyalarэn hYmin YdYdlY цlзьlYn µ § bucaрэna uyрun qiymYtini qarєэ qoya bilYrik

x µ § f(µ §) = f(x)

sin x vY cos x funksiyalarэnэn varlэq oblastэ bьtьn hYqiqi YdYdlYr зoxluрu: (-µ § intervalэ, qiymYtlYri зoxluрu isY µ § parзasэdэr.

tg x vY ctg x funksiyalarэnэn qiymYtlYri зoxluрu bьtьn hYqiqi YdYdlYr зoxluрudur.

4. Sonsuz azalan vY sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtlYr, xassYlYri.

FYrz edYk ki, µ § vY µ §, a nцqtYsinin (a sonlu nцqtY vY ya (-) , (), simvollarэndan biri ola bilYr) hYr hansэ Ytrafэnda (a nцqtYsi mьstYsna olmaqla) tYyin olunmuє funksiyalardэr.

єTYrif 1. YgYr a nцqtYsinin hYr hansэ Ytrafэnda

µ § c µ § (xa) (1)

BYrabYrsizliyini цdYyYn sabit (x-dYn asэlэ olmayan) c0 YdYdi olarsa, onda µ § funksiyasэna µ §-Y nYzYrYn xa єYrtindY mYhdud funksiya deyilir vY

µ § = O (µ § ) (xa) (2)

єYklindY yazэlэr (belY oxunur: “µ § bYrabYrdir O bцyьk µ § “ ).

Xьsusi halda, µ § = O (1) (xa) mьnasibYti µ § funksiyasэnэn xa olduqda mYhdud olmasэnэ gцstYrir.

Misal 1. Aєaрэdakэ bYrabYrliklYr doрrudur:

x2 = O (xn) (x1),

sin x = O (1) (x0),

x3 = O (x) (x1).

єTYrif 2. ЏgYr

µ § = µ § (x) · µ § (x) , µ § (3)

olarsa, onda µ § funksiyasэna µ § (x)-Y nYzYrYn xa єYrtindY sonsuz kiзilYn funksiya deyilir vY

µ § = o (µ § (x) ) (xa) (4)

єYklindY yazэlэr “µ § bYrabYrdir o kiзik µ § “ kimi oxunur )

xьsusi halda, µ § = o (1) (xa) mьnasibYti µ § funksiyasэnэn xa єYrtindY sonsuz kiзilYn olmasэnэ gцstYrir.

єTYrif 3. µ § (x) funksiyasэnэn xa єYrtindY sonsuz kiзilYn funksiya olarsa vY

µ § = µ § (x) µ § (x) , µ § (5)

mьnasibYtlYri цdYnilirsY, onda µ § sonsuz kiзilYn µ § (x) sonsuz kiзilYninY nYzYrYn yьksYk tYrtibli sonsuz kiзilYn funksiya deyilir. Bu halda, µ § (x) sonsuz kiзilYni isY µ § sonsuz kiзilYninY nYzYrYn aєaрэ tYrtibli sonsuz kiзilYn funksiya adlanэr.

µ § (x) 0 (x0) olduqda, yenY dY bu tYrifdY (5) YvYzinY µ § = 0 bYrabYrliyini gцtьrmYk olar.

єTYrif 4. ЏgYr µ § nisbYtinin xa єYrtindY sэfэrdan fYrgli sonlu limiti varsa, yYni µ § = A 0 olarsa, onda µ § vY µ § (x) sonsuz kiзilYnlYrinY eynitYrtibli sonsuz kiзilYn funksiyalar deyilir.

єTYrif 5. µ § = A 0 olduqda µ § sonsuz kiзilYninY µ § (x) sonsuz kiзilYn funksiya deyilir.

єAsimptotik bYrabYrliklYr.

Burada eynitYrtibli sonsuz kiзilYnlYrin mьhьm bir xьsusi halэnэ ayrэca цyrYnYcYyik.

FYrz edYk ki, µ § vY µ § (x), a nцqtYsinin hYr hansэ Ytrafэnda (a nцqtYsi mьstYsna olmaqla) tYyin olunmuє, sэfэrdan fYrgli vY xa єYrtindY sonsuz kiєilYn funksiyalardэr.

єTYrif 1. µ § = 1 olduqda µ § vY µ § (x) sonsuz kiзilYnlYrinY ekvivalent vY ya asimptotik bYrabYr sonsuz kiзilYn funksiyalar deyilir vY

µ § µ § (x) (xa) (6)

єYklindY iєarY olunur.

Asimptorik bYrabYrliyin bir sэra sadY xassYlYrini qeyd edYk:

1) µ § µ § (xa),

2) µ § µ § (x) (xa) olduqda µ § (x) µ § (xa)

3) µ § µ § (x) (xa) vY µ § (x) µ § (xa) olduqda

µ § µ § (xa).

єTeorem 1. a nцqtYsinin hYr hansэ Ytrafэnda (a nцqtYsi mьstYsna olmaqla) tYyin olunmuє µ § vY µ § (x) funksiyalarэnэn xa єYrtindY asimptorik bYrabYr olmasэ ьзьn

µ § = µ § (x) + o (µ § (x) ) (xa),µ § (x) 0,(x0) (7)

mьnasibYtlYrinin цdYnilmYsi zYruri vY kafi єYrtdir.

єTYrif 2. ЏgYr µ § vY µ § (x) funksiyalarэ xa єYrtindY sonsuz kiзilYn funksiyalardэrsa vY

µ § = µ § (x) + o (µ § (x) ) (8)

gцstYriliєi doрrudursa, onda µ § (x) sonsuz kiзilYninY µ § sonsuz kiзilYninin baє hissYsi deyilir.

Mцvzu 10

Funksiyanэn limiti vY kYsilmYzliyi haqqэnda teoremlYr.

1. Funksiyanэn limiti

2. LimitlYr haqqэnda Ysas teoremlYr.

3. MYєhur limitlYr.

4. Funksiyanэn kYsilmYzliyi.

1. Funksiyanэn limiti

TYrif 1. X зцxluрunun a-ya yэрэlan istYnilYn µ § nцqtYlYri ardэcэlэрэna ѓ(x) funksiyasэnэn uyрun olan µ § qiymYtlYri ardэcэllэрэnэn hamэsэ eyni bir A YdYdinY yэрэldэqda , hYmin A YdYdinY xЎжa єYrtindY µ §µ § funksiyasэnэn limiti deyilir.

Aydэndэr ki, a-ya yэрэlan heз olmazsa iki µ § ardэcэllэрэna µ § funksiyasэnэn µ § vY µ § uyрun qiymYtlYri ardэcэllэqlarэ mьxtYlif limitlYrY yэрэlarsa, onda µ § funksiyasэnэn x=a nцqtYsindY limiti yoxdur. Funksiyanэn nцqtYdY limitinin baєqa tYrifi dY vardэr.

TYrif 2. Tutaq ki, sonlu a vY A YdYdlYri vY istYnilYn µ §YdYdi ьзьn elY µ § YdYdi varki, x-in X зoxluрundan gцtьrьlmьє vY µ §µ § (1) bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn qiymYtlYrindY µ § (2) mьnasibYti цdYnilir.Onda A YdYdinY xЎжa єYrtindY µ §µ § funksiyasэnэn limiti deyilir.

Qeyid edYk ki, A YdYdi xЎжa єYrtindY µ §µ § funksiyasэnэn limiti olduqda (2) bYrabYrsizliyinin x=a qiymYtindY цdYnilib цdYnilmYmYsinin heз bir YhYmiyyYti yoxdur. µ §µ § funksiyasэ x=a nцqtYsindY tYyin olunduqda isY onun hYmin nцqtYdY limiti xьsusi µ §µ § qiymYtinY bYrabYr olada bilYr, olmayada bilYr.

Funksiya limitinin birinci tYrifinY “ limitin ardэcэllэq dilindY tYrifi ” (vY ya Heyns mYnada tYrifi) , ikinci tYrifinY isY

“ limitin µ § dilindY tYrifi ”(vY ya Koєi mYnada tYrifi ) deyilir.

2. LimitlYr haqqэnda Ysas teoremlYr.

Teorem 1. Sonlu limitlYri olan sonlu sayda µ § funksiyalarэnэn cYminin limiti onlarэn limitlYri cYminY bYrabYrdir. (1)

Teorem 2. Sonlu limitlYri olan sonlu sayda µ § funksiyalarэnэn hasilinin limiti onlarэn limitlYri hasilinY bYrabYrdir. (2)

µ § (1)

µ § (2)

Sabit vuruрu limit iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar.

µ §

Teorem 3.f(x) vY µ § (x) funksiyalarэnэn sonlu limitlYri varsa vY µ § olarsa, onlarэn nisbYtinin limiti limitlYrinin nisbYtinY bYrabYrdir;

µ §

3. MYєhur limitlYr.

1. µ §

2. µ § YdYdi.

TYrif . µ § dYyiєYn kYmiyyYtinin µ § єYrtindY limitinY e YdYdi deyilir.

µ §

YdYdi bYrabYrsizliyini цdYyir.

e YdYdi 2ЎЬeЎЬ3

e ЎЦ2,7182818284

4. Funksiyanэn kYsilmYzliyi.

є NцqtYdY funksiyanэn kYsilmYzliyi.

TYrif 1. Tutaq ki, istYnilYn µ § YdYdi ьзьn elY µ § YdYdi var ki, x-in µ §µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn qiymYtlYrindY µ § bYrabYrsizliyi цdYnilir. Bu halda µ § funksiyasэna x=xo nцqtYsindY kYsilmYyYn funksiya deyilir.

єParзada kYsilmYz funksiyanэn bYzi xassYlYri.

XassY1. (Veyerєtrasэn birinci teoremi) Sonlu µ § µ §parзasэnda kYsilmYyYn µ §µ § funksiyasэ hYmin parзada mYhduddur.

XassY 2. (Veyerєtrasэn ikinci teoremi) Sonlu µ § µ §parзasэnda kYsilmYyYn µ §µ § funksiyasэ bu parзanэn heз olmasa bir б nцqtYsindY цzьnьn hYmin parзadakэ dYqiq aєaрэ sYrhYddini, heз olmasa bir µ § nцqtYsindY isY dYqiq yuxarэ sYrhYddini alэr, yYni

µ § (1)

XassY 3. µ § µ §parзasэnda kYsilmYyYn µ §µ § funksiyasэ hYmin parзanэn uc nцqtYlYrindY mьxtYlif iєarYli qiymYtlYr alэrsa, onda a vY b nцqtYlYri arasэnda yerlYєYn Yn azэ bir C(aµ § c µ §b ) nцqtYsi var ki, bu nцqtYdY µ §µ § funksiyasэ sэfэra зevrilir; µ §µ §

XassY 4. µ § µ §parзasэnda kYsilmYyYn µ §µ § funksiyasэ hYmin parcanэn uc nцqtYlYrindY bYrabYr olmayan µ § qiymYtlYrini alэrsa, onda hYmin A vY B YdYdlYri arasэnda yerlYєYn hYr bir c YdYdi ьзьn µ § µ §parзasэnda yerlYєYn Yn azэ bir µ § nцqtYsi var ki, µ §µ § olar.

XassY 5. MYhdud vY qapalэ X зoxluрunda kYsilmYyYn µ §µ § funksiyasэnэn µ §µ § qiymYtlYri зoxluрu mYhdud vY qapalэ зoxluqdur, yYni mYhdud vY qapalэ X зoxluрunda kYsilmYyYn µ §µ § funksiyasэ hYmin зoxluрu mYhdud vY qapalэ µ §µ § зoxluрuna inikas etdirir.

єTYrs funksiyanэn kYsilmYzliyi.

Teorem . µ § µ §parзasэnda tYyin olunmuє kYsilmYyYn vY artan (ya da azalan) µ §µ § funksiyasэnэn tYrs funksiyasэ olan x=ц(y) funksiyasэ µ § parзasэnda kYsilmYyYndir .

єKantor teoreminin sцylYnilmYsi vY izah edilmYsi.

Teorem . Parзada kYsilmYyYn funksiya hYmin parзada mьntYzYm kYsilmYyYndir.

DemYli funksiyanэn parзada kYsilmYzliyi anlayэєэ ilY parзada mьntYzYm kYsilmYzliyi anlayэєэ eynidir. Lakin bu xassY interval vY yarэminterval ьзьn doрru deyildir.

MYsYlYn; µ § funksiyasэ (0,1) intervalэnda kYsilmYyYndir, lakin hYmin intervalэnda mьntYzYm kYsilmYyYn deyildir.

єTeorem 2. ЏgYr µ § µ §(x) (xa), µ § µ §(x) (xa) vY µ § = A (xa) olarsa, onda

µ § A (xa).

Doрrudan da, xa olduqda

µ § = µ § = 1 · A · 1 = A.

Bu teorem gцstYrir ki, iki funksiya nisbYtinin limitini hesabladэqda, onlarэ uyрun olaraq ekvivalent funksiyalarla YvYz etsYk limitin qiymYti dYyiєmYz.

Mцvzu 11

TцrYmYnin tYrifi vY tapэlma qaydasэ.

1. Funksiyanэn tцrYmYsi.

2. TцrYmYnin hYndYsi vY mexaniki mYnasэ.

3. Elemantar funksiyalarэn tцrYmYэYri.

1. Funksiyanэn tцrYmYsi.

TYrif 1. ЏgYr µ § єYrtindY µ § (1) nisbYtinin sonlu limiti varsa, onda hYmin limitY y=f(x) funksiyasэnэn x nцqtYsindY tцrYmYsi deyilir.

µ §

Verilmiє x nцqtYsindY tцrYmYsi olan funksiyaya hYmin nцqtYdY diferensiallanan funksiya deyilir. (a, b) intervalэnэn hYr bir nцqtYsindY tцrYmYsi olan funksiya hYmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanэr.

Funksiyanэn tцrYmYsini tapmaq YmYlinY hYmin funksiyanэn diferensiallanmasэ deyilir.

Misal 1. f(x) =x funksiyanэn tцrYmYsi vahidY bYrabYrdir.

Bunu isbat etmYk ьзьn arqumentin verilmiє µ § artэmэna funksiyanэn uyрun artэmэnэ tapaq;

µ §

Buradan;

µ §

2. TцrYmYnin hYndYsi vY mexaniki mYnasэ.

єTцrYmYnin hYndYsi mYnasэnэn tYrifi. Эxtiyari L Yyrisi vY onun ьzYrindY M0 nцqtYsindY gцtьrYk. L Yyrisinin ixtiyari M vY M0 nцqtYsindYn bir kYsYn зYkYk. M nцqtYsi L Yyrisi boyunca цz yerini dYyiєdikdY M0M kYsYni dY ьmьmiyyYtlY M0 nцqtYsi Ytrafэnda цz vYziyyYtini dYyiєYr vY nYticYdY M0 nцqtYsinY yaxэnlaєdэqda M0M kYsYni mьYyyYn M0T limit vYziyyYtinY yaxэnlaєarsa, kYsYnin hYmin limit vYziyyYtinY M0 nцqtYsindY L YyrisinY toxunan deyilir.

DemYli tцrYmYnin hYndYsi mYnasэ belYdir: y=f(x) funksiyasэnэn x0 nцqtYsindY

f Њ(x0) funksiyanэn qrafiki olan YyriyY M0 (x0 , f (x0)) nцqtYsindY зYkilmiє bucaq Ymsalэna bYrabYrdir:

k = tg µ § (1)

єЭndi isY hYmin L YyrisinY M0 nцqtYsindY зYkilmiє M0T toxunanэn tYnliyini yazaq. MYlumdur ki verilmiє nцqtYdYn keзYn vY bucaq Ymsalэ k µ § olan M0T dьzxYttinin tYnliyi

µ § (2)

єYklindY yazэlэr. y0=µ § olduрundan toxunanэn tYnliyini

µ § (3)

єL YyrisinY M0 nцqtYsindY зYkilmiє toxunana hYmin nцqtYdY perpendikulyar olan dьzxYttY Yyrinin normalэ deyilir. HYmin normalэn tYnliyi

µ § (4)

єYklindY yazэlar.

єTцrYmYnin mexaniki mYnasэnэn tYrifi. HYr hansэ cismin dYyiєYnsьrYtli dьzxYtli hYrYkYtinY baxsaq, hYmin cismin ьlзьlYrini vY єYklini nYzYrY almayaraq, onun fiziki baximindan maddi nцqtY hesab etmYk olar. mYlumdur ki, hYrYkYt edYn nцqtYnin getdiyi yolu zamandan asэlэdэr: s = s(t) nцqtYnin t zaman YslindY getdiyi yol s(t), t+t zamanэnda isY getdiyi yol s(t+t) = s(t) + s olarsa, onda baxэlan nцqtY t zamanэ YrzindY s mYsafYni getmiє olar. BelY olan halda

vor = µ § (5)

nisbYti nцqtYnin hYrYkYtinin orta sьrYtinY bYrabYr olar. HYmin nisbYtdY µ § єYrtindY limitY keзsYk nYticYdY alэrэq ki,

v(t) = sЊ(t) (7)

Buradan tцrYmYnin mexaniki mYnasэ alэnlэr: hYrYkYt edYn nцqtYnin sьrYti gedilYn mYsafYnin zamana gцrY tцrYmYsinY bYrabYrdir.

єTцrYmYnin iqtisadi mYnasэ. TYbiYtdY baє verYn istYnilYn proseslYri цyrYnYrlYn bir-biri ilY baрlэ olan kYmiyyYtlYr arasэndakэ deyiєmY sьrYtini tцrYmYnin kцmYyi ilY qiymYtlYndirmYk olar. buna YsasYn, tцrYmY iqtisadiyyatda geniє tYtbiq olunur.

Misal. Tutaq ki, eyni adlэ mYhsullarэn istehsal xYrclYri ЁC u, mYhsulun miqdarэ ЁC x olsun. Onda, xYrclYri miqdarэn u = u(x) funksiyasэ kimi gYbul edY bilYrik. Aydэndэr ki, mYhsulun miqdarэ x gYdYr artsa, ona xYrclYnYn qiymYt u gYdYr artar. BelY olan halda µ § - istehsal xYrcinin orta artэmэ olar. Onda orta artэmэn limiti istehsal xYrclYrinin limiti adlanэr vY u Њ(x) ilY iєarY olunur:

µ § (8)

3. Elemantar funksiyalarэn tцrYmYэYri.

Mцvzu 12

MьrYkkYb, tYrs funksiyalarэn tцrYmYsi.

1. MьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi.

2. TYrs funksiyanэn tцrYmYsi.

3 Parametrik vY qeyri-aєkar funksiyalarэn tцrYmYsi.

1. MьrYkkYb funksiyanэn tцrYmYsi.

Teorem. µ § funksiyasэ t0 nцqtYsindY vY µ § funksiyasэ uyрun µ § nцqtYsindY diferensiallanan olduqda µ § mьrYkkYb funksiyasэ t0 nцqtYsindY diferensiallanandэr vY onun tцrYmYsi

µ §

dьsturu ilY hesablanэr.

Эsbatэ. SYrbYst dYyiєYnin mьYyyYn bir x qiymYtindY u = ц(x) vY y = F(u) vY onun x + x qiymYtindY isY

u + u = ц(x + x), y + y = F(u + u)

olar. BelYliklY, x artэma u, F-Y isY y artэmэ uyрundur; bundan baєqa x єYrtindY, u olduqda isY y .

ЄYrtY gцrY, tцrYmYsi vardэr:

.

Funksiya limitinin xassYsinY gцrY, bu mьnasibYtdYn

(1)

alэnэr. Burada єYrtinY gцrY (1) bYrabYrliyini

(2)

єYklindY yazmaq olar. Bu bYrabYrliyinin hYr tYrYfini x atrэmэna bцlYk:

. (3)

ЄYrtY YsasYn

, . (4)

Ьзьncь bYrabYrliyindY єYklindY limitY keзYrYk:

. (5)

2. TYrs funksiyanэn tцrYmYsi.

Teorem. µ § funksiyasэ x=x0 nцqtYsindY diferensiallanandэrsa vY µ § olarsa onda onun tYrs funksiyasэ µ § uyрun y0 nцqtYsindY µ § diferensiallanandэr vY onun tцrYmYsi

µ § (1)

dьsturu ilY hesablanэr.

Эsbatэ. ЏvvYlcY qeyd edYk ki, tYrs funksiyanэn tYrifinY YsasYn:

.

Onda tYrs funksiya ьзьn:

bYrabYrliyini yazmaq olar.

TYrs funksiya kYsilmYz olduрundan єYrtindY olur. Buna gцrY dY:

(2)

Bu dьsuru

(3)

єYklindYdY yazmaq olar.

3 Parametrik vY qeyri-aєkar funksiyalarэn tцrYmYsi.

єParametrik єYklindY verilmiє funksiyanэn tцrYmYsi.

Teorem. ЏgYr µ § vY µ § funksiyalarэnэn tцrYmYlYri varsa vY µ § olarsa onda µ § funksiyasэ diferensiallanandэr vY onun tцrYmYsi

µ § vY ya µ § (1)

dьsturu ilY hesablanэr.

Эsbatэ. HYqiqYtYn dY y = *(t) bYrabYrliyini x nYzYrYn diferensiallasaq vY saр tYrYfi x-эn mьrYkkYb funksiyasэ hesab etsYk alarэq:

(2)

kYmiyyYtini tYrs funksiyanэn diferensiallanmasэ qaydasэna YsasYn x = ц(t) funksiyasэndan tapmaq olar:

. (3)

Tapdэрэmэz qiymYti (2) bYrabYrliyinY terinY yazsaq tYlYb olunan

dьsturunu alэrэq.

єQeyri-aєkar funksiyanэn tцrYmYsi.

Tutaq ki, y = y(x) qeyri-aєkar funksiyasэ

F(x , y) = 0 (1)

tYnliyi vasitYsi ilY verilmiєdir. Bu funksiyanэn analitik ifadYsini aєkar єYkildY tapmadan onun mьxtYlif tYrtibli tцrYmYlYrini tapmaq bYzYn mьmkьn olur. Bu mYqsYdlY (1) bYrabYrliyinin hYr iki tYrYfini x-Y gцrY diferensiallayэrlar vY y dYyiєYni x dYyiєYninin funksiyasэ olduрunu nYzYrY alэrэar. Alэnan bYrabYrliyini yЊ tцrYmYyY nYzYrYn hYll edYrYk yЊ tцrYmYsini tapэrlar.

Bu prosesi dYvam etdirmYklY funksiyanэn iki, ьз vY s. tYrtibli tцrYmYlYrini tapmaq olar.

Misal.

ax2 + by2 = 2 (2)

tYnliyi ilY tYyin olunan y = y(x) funksiyasэnэn birinci tцrYmYsini tapэn.

Qaydaya uyрun olaraq tYnliyin hYr iki tYrYfini x dYyiєYninY nYzYrYn tцrYmYsini alaq (unutmuruq ki, y dYyiєYn x-эn funksiyasэdэr):

2ax + 2by · y Њ = 0, (3)

y Њ = (4)

BirdYyiєYnli funksiyanэn diferensial hesabэ.