Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
Tutaq ki, W = f (x, y, z) funksiyasэ ьз-цlзьlь fYzada verilmiєdir vY onun hYr hansэ Mo = (xo, yo, zo) nцqtYsindYn vahid µ § (cosµ § vektoru isdiqamYtindY keзYn l dьz xYtti verilmiєdir. Burada µ § vahid µ § vektorunun koordinat oxlarэnэn mьsbYt istiqamYti ilY YmYlY qYtirdiyi bucaqlardэr. MoM = µ § parзasэ ьзьn: µ §, µ §, (1)
µ § alэrэq. Bu halda f funksiyasэ l dьz xYtti ьzYrindY mьrYkkYb funksiya olur: f (x, y, z) = f (µ §) (2) TYrif. ЏgYr (2) funksiyasэnэn µ §dYyiєYninY gцrY µ § nцqtYsindY tцrYmYsi varsa, onda hYmin tцrYmYyY f funksiyasэnэnэn Mo nцqtYsindY verilmiэ l istiqamYti ьzrY tцrYmYsi deyilir vY µ § kimi iєarY olunur. DemYli, istiqamYt ьzrY tцrYmY koordinat oxlarэnэn anlayэєэnэn ьmьmilYєmYsidir. Teorem. Verilmiє (xo, yo, zo) nцqtYsindY diferensiallanan f funksiyasэnэn hYmin nцqtYdY istYnilYn l istiqamYti ьzrY tцrYmYsi var vY hYmin tцrYmY µ § = µ § µ § + µ § µ § + µ § µ § (3) 4. Qradiyent anlayэєэ. Funksiyanэn tцrYmYsi onun dYyiєmY sьYtini gцstYrir, ona gцrY dY зoxdYyiєYnli funksiyanэn verilmiє M nцqtYdY l istiqamYtindY tцrYmYsinY onun hYmin nцqtYdY l istiqamYti ьzrY dYyiєmY sьrYti kimi baxmaq olar. Qeyd edYk ki, funksiyanэn mьxtYlif istiqamYtlYrdY dYyiєmY sьrYti ьmьmiyyYtlY eyni olmur. Bir зox mYsYlYlYrin hYllindY bYzYn baxэlan funksiyanэn verilmiє nцqtYdY Yn bцyьk sьrYtlY artma istiqamYtini tapmaq tYlYb olunur. Tutaq ki, W = f (x, y, z) funksiyasэnэn M (x, y, z) nцqtYsindYn xьsusiµ §, µ §,µ § sonlu tцrYmYlYri var. Bu xьsusi tцrYmYlYr vasitYsilY µ § = µ § + µ § µ § (1) vektorunu dьzYldYk. µ §vektoruna f funksiyasэnэn M nцqtYsindY qradiyenti deyilir vY µ § (2)
µ § µ § + µ § µ § (3) µ § vY vahid µ § vektoru arasэndakэ bucaqэ ц iєarY etsYk, onda vektorlarэn skalyar hasilinin tYrifinY YsasYn: µ § = µ § · cos ц (4) mьnasibYti alэnэr. Buradan aydэndэr ki, max cos0 = 1 qiymYtinY gцrY funksiyanэn M nцqtYsindY l istiqamYti ьzrY tцrYmYsinin Yn bцyьk olmasэ ьзьn ц=0 olmalэdэr, yYni funksiyanэn tцrYmYsi qradiyentin tYyin etdiyi istiqamYt ьzrY gцtьrьlmYlidir: µ §max =µ §=µ § (5) Зox vaxt funskiyanэn qradiyentini Hamilton operatoru adlanan = µ § + µ § µ § (6) vektor operatoru vasitYsilY ifadY edirlYr ( iєarYsi Nabla adlanэr) : µ § (7)
5. Teylor dьsturu. BirdYyiєYnli funksiyalar ьзьn mYlum olan Teylor dьsturu uyрun єYkildY зoxdYyiєYnli funksiyalar ьзьndY doрrudur. Bunu, sadYlik xYtrinY, ikidYyiєYn funksiyalar ьзьn gцstYrmYklY kifayyYtlYnYk (qeyd edYk ki, dьsturunun qalэрэnэ Laqranj єYklindY verYk): f (xo, yo) = df (xo, yo)+µ § d 2f (xo, yo)+...+µ § dnf(xo, yo)+ +µ §dn+1(xo+µ §xo+µ § 0µ § (8) Rn ЁC Laqranj єYklindY qalэq xYtti Mцvzu 26
ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn ekstremumu. Empirik dьsturlar haqqэnda anlayэє. ЭkidYyiєYnli funksiyanэn ekstremumu. ЄYrti ekstremum 1. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn ekstremumumlarэnэn tYyini. 2. Ekstremumum varlэрэnэn kafi vY zYruri єYrtlYri. 3. ЄYrti ekstremum. 4. Empirik dьsturlar haqqэnda anlayэє. Џn kiзik kvadratlar ьsulu ilY namYlum parametrlYrin tYyin edilmYsi 1. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn ekstremumumlarэnэn tYyini. TYrif 1. µ § nцqtYsinY kifayYt qYdYr yaxэn vY ondan fYrqli olan bьtьn (x, y) nцqtYlYri ьзьn µ §
olduqda biz µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY maksimumu var ЁC deyirik. TYrif 2. µ § nцqtYsinY kifayYt qYdYr yaxэn vY ondan fYrqli olan bьtьn (x, y) nцqtYlYrindY µ § olarsa, onda deyirlYr ki, µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY minimumu var. Funksiyanэn maksimum vY minimumuna onun ekstremumlarэ deyilir, yYni funksiyanэn bir nцqtYdY maksimumu vY ya minimumu olduqda deyirlYr ki, funksiyanэn hYmin nцqtYdY ekstremumu var. ЭstYnilYn sayda dYyiєYni olan funksiya ьзьn dY bu tYriflYr eyni ilY verilir. 2. Ekstremumum varlэрэnэn kafi vY zYruri єYrtlYri. Teorem 1 (ekstremumun zYruri єYrti). ЏgYr x = x0, y = y0 olduqda µ § funksiyasэnэn ekstremumu varsa, onda arqumetlYrin hYmin qiymYtlYrindY z funksiyasэnэn birinci tYrtib xьsusi tцrYmYlYri varsa sэfra зevrilirlYr vY ya xьsusi tцrYmYlYr yoxdur. Tutaq ki, mьYyyYn bir nцqtYdY µ § funksiyasэnэn xьsusi tцrYmYlYri var vY sэfra bYrabYrdirlYr: µ §, µ § vY ya hYmin nцqtYdY bu tцrYmYlYr yoxdur. Onda hYmin nцqtYyY µ § funksiyasэnэn bцhran nцqtYsi deyilir. ЏgYr funksiyanэn hYr hansэ bir nцqtYdY ekstremumu varsa, onda bu yalnэz bцhran nцqtYsindY ola bilYr. Tutaq ki, µ § nцqtYsi funksiyasэnэn bцhran nцqtYsidir. Bu nцqtYdY ikinci xьsusi tцrYmYlYrin qiymYtlYrini µ §,µ §,µ § ilY iєarY edYk: µ §; µ §; µ §. Teorem 2 (ekstremumun kafi єYrti). Tutaq ki, µ § nцqtYsinin daxil olduрu bir oblastda µ § funksiyasэnэn ьз tYrtibY qYdYr (ьз daxildir) bьtьn xьsusi tцrYmYlYri kYsilmYzdir; bundan baєqa, tutaq ki, µ § nцqtYsi µ §funksiyasэnэn bцhran nцqtYsidir, yYni µ §, µ §. Onda : 1) µ § vY µ § olduqda µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY maksimumu var; 2) µ § vY µ § olduqda µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY minimumu var; 3) µ § olduqda µ § funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY ekstremumu yoxdur. 4) ЏgYr µ §olarsa, onda ekstremum ola da bilYr, olmayada bilYr (bu halda YlavY tYdqiqat aparmaq lazэmdэr, mYsYlYn µ § funksiya artэmэnэn µ § nцqtYsinin yaxэn Ytrafэnda iєarYsini yoxlamalэ). Misal 1. µ § funksiyasэnэn ekstremumlarэnэ tapэn. Xьsusi tцrYmYlYri tapaq: µ §; µ §. Bu tцrYmYlYri sэfra bYrabYr etsYk, verilmiє funksiyanэn bцhran nцqtYlYrini taparэq: µ §
Buradan µ §, yYni µ § vY belYliklY, µ §. Bunu birinci tYnlikdY nYzYrY alsaq, µ §; µ §. Buradan tapэrэq ki, µ §, µ §,µ §Onda µ §, µ §, µ § olur. BelYliklY, verilYn funksiyanэn ьз bцhran nцqtYsi var: µ §, µ §, µ §. Kafi єYrtlYrin kцmYyi ilY bu nцqtYlYrdY ekstremumun varlэрэnэ yoxlayaq. Bunun ьзьn YvvYlcY ikinci tYrtib xьsusi tцrYmYlYri tapaq: µ §; µ §; µ §. Burada bцhran nцqtYlYri nYzYrY alaq: 1) µ § nцqtYsi ьзьn: µ §µ §, µ §, µ §; 2) µ § nцqtYsi ьзьn: µ §µ §, µ §, µ §; 3) µ § nцqtYsi ьзьn: µ §µ §, µ §, µ §. µ § vY µ §nцqtYlYrindY µ § vY µ § olduрundan funksiya minimum qiymYtini alэr. Bu nцqtYlYrdY funksiyanэn qiymYti eynidir. µ §. µ § nцqtYsindY µ § olduрundan kafi єYrt bu hala cavab verY bilmir. ЏlavY tYdqiqat nYticYsindY aєkar olunur ki, koordinat baєlanрэcэnda µ § funksiyasэnэn ekstremumu yoxdur. Doрrudan da, bu nцqtYdY µ §, koordinat baєlanрэcэnэn istYnilYn Ytrafэnda, mYsYlYn, µ § oxu µ § boyunca µ §. µ § tYnbцlYni boyunca isY µ §. 3. ЄYrti ekstremum. ЄYrti ekstremum. µ § funksiyasэnэn µ § vY µ § dYyiєYnlYri µ §єYrtini цdYdikdY alэnan ekstremuma єYrti ekstremum deyilir. µ § vY µ § kYmiyyYtlYrini tapmaq ьзьn (onlar hYm µ § funksiyasэ ьзьn єYrti maksimum vY ya єYrti minimum nцqtYsini verY bilmYlidirlYr, hYm dY µ § єYrtini цdYmYlidirlYr) aєaрэdakэ kцmYkзi funksiyanэ tYrtib edYk: µ §,
burada µ § - kцmYkзi vuruqdur. Ekstremumun varlэрэ ьзьn zYruri єYrti nYzYrY almaqla aєaрэdakэ bYrabYrliklYri yazaq µ §
Bu tYnliklYrdYn axtarэlan µ §, µ § mYchullarэnэ vY kцmYkзi µ § vuruрunu tYyin etmYk lazэmdэr. Yuxarэda baxdэрэmэz ьsulu istYnilYn sayda dYyiєYndYn asэlэ funksiyalarэn ekstremumunu tYdqiq etmYk ьзьn dY ьmumilYєdirmYk olar. Misal 1. µ § vY µ § dYyiєYnlYri µ § єYrtini цdYdikdY, µ § funksiyasэnэn ekstremumunu tapэn. KцmYkзi funksiya dьzYldYk: µ §. µ §, µ §
olduрundan aєaрэdakэ µ §
tYnliklYr sistemindYn tapэrэq: µ §, µ §, µ §. Asanlэqla gцstYrmYk olar ki, µ § funksiyasэ µ § nцqtYsindY Yn bцyьk qiymYt alэr: µ §. 4. Empirik dьsturlar haqqэnda anlayэє. Џn kiзik kvadratlar ьsulu ilY namYlum parametrlYrin tYyin edilmYsi y yi µ § xi O ѓХi x єYkil 21 TYbiYt elmlYrindY (fizikada, biologiyada vY s.) empirik dьsturlardan tez-tez istifadY olunur. Empirik sцzь yunanca ЁC empeiria olub, tYcrьbY demYkdir. Empirik dьsturlarэ almaq ьзьn mьxtYlif ьsullar mцvcuddur. Bu metodrardan biri Yn kiзik kvadratlar ьsuludur. Эndi isY bu ideyanэ iki dYyiєYn kYmiyyYtin xYtti asэlэlэq halэ ьзьn gцstYrYk. Tutaq ki, iki µ § vY µ § kYmiyyYtlYri aransэndakэ asэlэlэрэ mьYyyYn etmYk istYyirik (mYsYlYn, metal зubuрun xYtti uzanmasэ ilY temperatura arasэndakэ asэlэlэрэ tapmaq). TYcrьbY цlзь iєlYri apararaq nYticYlYri aєaрэdakэ cYdvYlY kцзьrYk: xµ §µ §µ §ЎKµ §yµ §µ §µ §ЎKµ § µ §cьtьnY mьstYvidY mьstYvi nцqtYlYrinin koordinatlarэ kimi baxaq. FYrz edYk ki, bu nцqtYlYr demYk olar ki, hYr hansэ dьz xYtt ьzrY yerlYєiblYr. MYsYlYn, єYkildYki kimi dьzьlmьєdьr. Aydэndэr ki, qYbul etdiyimiz fYrziyYyY gцrY µ § vY µ § dYyiєYnlYri arasэnda xYtti asэlэlэq mцvcuddur, yYni µ §. (1) Haradakэ, µ § vY µ § bizY mYlum olmayan, lakin tYyin etmYk vacib olan parametrlYrdir. (1) ifadYsini aєaрэdakэ єYkildY yazaq µ § (2) NecY ki, µ § nцqtYlYri ancaq tYqribYn bir dьz xYtt ьzYrindY yerlYєir vY bu dьz xYttin (1), (2) dьsturlarэ tYqribidir. CYdvYldYki tYcrьbYdYn aldэрэmэz qiymYtlYri uyрun olaraq (2) dьsturunda yerinY yazaq. µ § (3) harada ki, µ § (4) hYr hansэ YdYdlYr olub, uyрyn xYtalar adlanэr. Эndi isY µ § vY µ § Ymsallarэnэ elY seзYk ki, bu xYtalar mьtlYq qiymYtcY minimum olsunlar. µ § vY µ § Ymsallarэnэ elY seзYk ki, (4) xYtalarэnэn kvadratlarэ cYmi dY Yn kiзik olsun, yYni tYlYb edYk ki, µ § (5) cYmi Yn kiзik qiymYt alsэn. Aydэndэr ki, bu cYm nY qYdYr kiзik olarsa, onda cYmY daxil olan hYr bir xYta da mьtlYq qiymYtcY kiзik olar. ( (5) bYrabYrliyindYki xYtalarэn iєarYlYri hYmin cYmY tYsir etmYmYlYri ьзьn onlarэn kvadratlarэ gцtьrьlmьєdьr). (5) cYminY (4) YdYdlYrinin (3) bYrabYrliklYrindYki qiymYtlYrini yazaq: µ § (6) alarэq. (6) dьsьturundakэ µ §, µ §, µ §, µ §, ЎK, µ §, µ § YdYdlYri цlзь nYticYlYri olub, cYdvYldYn bizY mYlumdurlar. µ § vY µ § Ymsallarэ isY namYlumdur. Onlarэ tapmaq lazэmdэr. BelYliklY µ §-ya µ § vY µ §- dYn asэlэ ikidYyiєYnli funksiya kimi baxmaq olar. µ § vY µ § Ymsallarэnэ elY seзmYk lazэmdэr ki, µ § funksiyasэ Yn kiзik qiymYt alsэn, yYni µ § funksiyasэnэn minimumunu tapaq. § 5 ЁCdan mYlumdur ki, bu funksiyanэn ekstremumun varlэрэ ьзьn zYruri єYrt µ § µ § (7) µ §, µ §
olduрundan vY bunlarэ (7)-dY nYzYrY alsaq: µ §
Bu sistemi sadYlYєdirsYk: µ §
vY ya µ § (8)
(8) ifadYsi Yn kiзik kvadratlar ьsulunun normal sistemi adlanэr. Bu sistemdYn µ § vY µ § parmetrlYri tapэlэr vY tapэlan bu qiymYtlYri uyрun olaraq (1) empirik dьsturunda yerinY yazэlэr. Misal 1. µ § vY µ § dYyiєYnlYrinin aєaрэdakэ qiymYtlYrinY gцrY xYtti asэlэlэq tYnliyini tapэn. x123456y121415181720 (8) tYnliklYr sistemindYki µ § vY µ §-nin uyрun Ymsallarэ µ §vY µ §; sYrbYst hYdlYri isY µ § vY -µ §yY bYrabYrdir. HYmin Ymsallarэ tapaq: µ §123456µ §123456µ §µ §121415181720µ §µ §149162536µ §µ §1228457285120µ § Aldэрэmэz bu qiymYtlYri (8) sistemindY yerinY yazaq µ § TYnliklYr sistemini hYll edYrYk alэrэq: µ §, µ §. BelYliklY, µ § vY µ § dYyiєYnlYrinin xYtti asэlэlэq tYnliyi µ § єYklindY olar. Эndi isY bu tYnliyY YsasYn µ § xYtalarэnэn uyрun qiymYtlYrini tapaq. µ §, µ § µ §, µ §; µ § µ §, µ §; µ § µ §, µ §; µ § µ §, µ §; µ § µ §, µ §; µ § µ §, µ §. Bu halda µ § xYtasэ minimumdur. Mцvzu 27 Эkiqat inteqral onun tYtbiqi. 1. Эkiqat inteqral. 2. Эkiqat inteqralэn hesablanmasэ. 3. SahY vY hYcmlYrin ikiqat inteqralэn kцmYyi ilY hesablanmasэ. 4. MьstYvi fiqurun aрэrlэq зYrkYzinin koordinatlarэ. 1. Эkiqat inteqral. Oxy mьstYvisindY L xYtti ilY YhatY olunmuє qapalэ* D oblastэ gцstYrYk. Tutaq ki, D oblastэnda z = f (x, y) kYsilmYz funksiyasэ verilmiєdir. D oblastэnэ istYnilYn qayda ilY xYtlYr зYkYrYk n hissYyY bцlYk (єYkil 1): s1 , s2 , ... , sn ; bu parзalarэ hissYciklYr adlandэracaрэq. Yeni simvollar (iєarYlYr) iєlYtmYmYk ьзьn hYmin hissYciklYrin sahYlYrini dY, onlarэn adlarэ kimi, uyрun olaraq s1 , s2 , ... , sn ilY iєarY edYcYyik. HYr bir si hissYciyindY (daxilindY vY ya sYrhYdindY) istYnilYn Pi nцqtYsi gцtьrYk; onda n nцqtY gцtьrmьє olaraq P1 , P2 , ... , Pn . si
Pi D y ЄYkil - 1 0 x
Verilmiє funksiyanэn hYmin seзilmiє nцqtYlYrindYki qiymYtlYrini uyрun olaraq f (P1), f (P2), ..., f (Pn) ilY iєarY edYk vY f (Pi) si hasillYrinin cYminY dьzYldYk: Vn = f (P1) s1 + f (P2) s2 + ... + f (Pn) sn = µ §. (1) Bu cYmY f (x, y) funksiyasэnэn D oblastэnda inteqral cYmi deyilir. D oblastэnda µ § olarsa, cYmin f (Pi) si toplananlarэndan hYr birini hYndYsi olaraq, oturacaрэ si vY hьndьrlьyь f (P1) olan kiзik bir silindrin hYcmi kimi tYsYvvьr etmYk olar. Vn cYmi hYmin kiзik (elementar) silindrlYrin hYcmlYri cYmindYn, yYni “pillYli” cismin hYcmindYn ibarYt olur (єYkil 2). Verilmiє D oblastэnэ mьxtYlif qaydalarla si hissYlYrinY bцlYk vY f (x, y) funksiyasэ ьзьn hYmin bцlgьlYrY uyрun dьzYldilmiє inteqral cYmlYrinin istYnilYn ardэcэllэрэnэ gцtьrYk: µ § (2)
ЄYkil ЁC 2 ЄYkil - 3 FYrz edYcYyik ki, µ § єYrtindY si hissYciklYrinin diametrlYrindYn Yn bцyьk sэfra yaxэnlaєэr. Bu єYrtlYr daxilindY, isbatsэz verdiyimiz aєaцэdakэ tYklif doрru olur. Teorem 1. Tutaq ki, si hissYciklYrinin diametrlYrindYn bцyьyь sэfra yaxэnlaєэr (demYli nµ §); onda f (x,y) funksiyasэ D qapalэ oblastэnda kYsilmYz olarsa, (1) inteqral cYmlYrinin (2) ardэcэllэрэnэn limiti vardэr. Bu YdYd olur, yYni hYmin limit, D oblastэnэn si hissYciklYrinY bцlьnmYsi qaydasэnda vY elYcY dY si hissYciklYri ьzYrindY Pi nцqtYlYrinin seзiliєindYn asэlэ deyildir. Bu limitY f (x,y) funksiyasэnэn D oblastэ ьzrY ikiqat inteqralэ deyilir vY belY iєarY olunur: µ § yaxud µ § yYni
µ § Burada D oblastэnэ inteqrallama oblastэ deyilir. z = f (x,y) sYthi ilY yuxarэdan, z = 0 mьstYvisi ilY aєaрэdan vY yцnYldicisi L xYttindYn ibarYt, doрuranlarэ isY Oz oxuna paralel olan silindrik sYth ilY yanlardan YhatY olunmuє cismin hYcmini Q ilY iєarY edYk (єYkil 3). µ § olarsa, µ § funksiyasэnэn D oblastэ ьzrY ikiqat inteqralэ hYmin cismin Q hYcminY bYrabYrdir. Эkiqat inteqral haqqэnda aєaрэdakэ teoremlYri verYk. Teorem 2. Эki funksiyanэn ц(x, y) + Х(x, y) cYminin D oblastэ uzrY ikiqat inteqralэ, hYmin funksiyalarэn ayrэ-ayrэlэqda D ьzrY ikiqat inteqrallarэnэn cYminY bYrabYrdir: µ §
Teorem 3. Sabit vuruрu ikiqat inteqral iєarYsi xaricinY cэxarmaq olar: µ §
a - sabitdir. D1 D2 y ЄYkil - 4 0 x Bu teoremlYrinin hYr ikisinin isbatэ, mьYyyYn inteqralэn uyрun xassYlYrinin isbatэ kimidir. Teorem 4. D oblastэ iki D1 vY D2 oblastlarэna ayrэlmэєdэrsa (bunlarэn ortaq daxili nцqtYlYri yoxdur) vY f (x,y) funksiyasэ D oblastэnэn bьtьn nцqtYlYrindY kYsilmYzdirsY, onda µ §
2. Эkiqat inteqralэn hesablanmasэ. Oxy mьstYvisi ьzYrindY bir D oblastэ gцtьrYk; bu oblast elYdir ki, onun daxili nцqtYsindYn keзYn vY koordinat oxlarэndan birinY paralel olan hYr bir dьz xYtt onun sYrhYdini yalnэz iki nьqtYdY kYsir. MYsYlYn, tutaq ki, Oy oxuna paralel dьz xYtt onun sYrhYdini N1 vY N2 nцqtYsindY kYsir (єYkil 1). y = ц2(x) y = ц1(x) M1 M2
ц1(x) ц2(x), µ § vY ц1(x), ц2(x), funksi- y yalarэ µ § parзasэnda N2 kYsilmYzdir.BelY oblas - tэ biz Ox oxu istiqamY- D tindY dьzgьn oblast ad- N1 landэracaрэq. Ox oxu istiqamYtindY dьzgьn 0 a x b x oblast da buna oxєar ЄYkil - 1 qayda ilY tYyin edilir. HYm Ox, hYm dY Oy oxu istiqamYtindY dьzgьn oblasta sadYcY olaraq dьzgьn oblast deyilir. 1 ЁC ci єYkildY mYhz dьzgьn oblast verilmiєdir. Tutaq ki, f (x,y) funksiyasэ D oblastэnda kYsilmYzdir. Эki ardэcэl inteqralэ olan µ § ifadYsinY baxaq. Bu ifadY biz µ § funksiyasэnэn D oblastэnda tYkrar inteqralэ deyYcYyik. Bu ifadY YvvYlcY mцtYrizYdYki inteqral x - Y sabit kimi baxmaqla y - Y nYzYrYn hesablanэr. Bunun nYticYsindY x ЁC dYn asэlэ kYsilmYz funksiya alэnэr: Ф(x) = µ §. Sonra bu funksiyanэ a ilY b arasэnda x-Y nYzYrYn inteqrallayэrlar: µ §
NYticYdY mьYyyYn sabit YdYd adlanэr. Misal 1. Aєaрэdakэ tYkrar inteqralэ hesablamalэ: µ § ЏvvYlcY daxili (mцtYrizY iзYrisindYki) inteqralэ hesablamaq lazэmdэr: Ф(x) = µ § . Aldэрэmэz funksiyanэ 0 ilY 1 arasэnda inteqrallayaq: µ § . Bu misaldakэ D oblastэnэ tYyin edYk. HYmin D oblastэ: y = 0, x = 0, y = x2, x = 1 xYtlYri ilY YhatY olunmuєdur (єYkil 2). D y = x2
y = ц2(x) ц1(x) = ц(x) ц1(x) = ч(x) y y
0 i x 0 a c b x ЄYkil ЁC 2 ЄYkil ЁC 3 D oblastэ elY ola bilYr ki, y = ц1(x), y = ц2(x) funksiyalarэndan biri x arqumentinin dYyiєdiyi bьtьn interval boyunca (x = a ilY x = b arasэnda) bir analitik ifadY vasitYsi bilmYsin MYsYlYn, tutaq ki, µ § vY µ § parзasэnda ц1(x) =Х(x) , µ § parзasэnda ц1(x) =ч (x), burada Х(x) vY ч (x) ЁC analitik єYkildY verilmiє funksiyalardэr (єYkil 3). Bu halda tYkrar inteqral aєaрэdakэ kimi yazэlэr: µ § µ §
µ § Bu bYrabYrliklYrdYn birincisi mьYyyYn inteqralэn mYlum xassYsinY YsasYn yazэlmэєdэr, ikincisi isY ona gцrYdir ki, µ § parзasэnda ц1µ § vY µ § parзasэnda isY ц1µ § ч (x). µ § funksiyasэ µ § parзasэnэn mьxtYlif hissYlYrindY mьxtYlif analitik ifadYlYrlY verilmiє olduрu halda da tYkrar inteqral oxєar qayda ilY parзalanэb yazэlardэ. D с=µ § с=µ § 0 µ § µ § µ § с єPolyar koordinatlarda ikiqat inteqral. Tutaq ki, (ц, с) polyar koordinat sistemindY D oblast verilir ki; o, ц = цi = const єualar vY с = сi = const mYrkYzlYri O(0, 0) nцqtYdY yerlYєYn konsentrik зevrYlYrlY hissYlYrY bцlьnьr. BelY olan halda, D oblastэ ьzrY f (M) funksiyanэn ikiqat inteqralэ: µ §
kimi hesablanэr. HYmin inteqralэn hesablanmasэ zamanэ µ §
tYkrar inteqraldan istifadY edilir. Burada µ § vY µ § ЁC ц-nэn D oblastэ ьzrY Yn kiзik vY Yn bцyьk qiymYtlYridir. Зox hallarda axtarэlan kYmiyyYt цncY dekart koordinatlarэnэn kцmYyi ilY ifadY olunmuє ikiqat inteqralэn kцmYyi ilY tYmsil olunur vY daha sonra hesablamalarэ sadYlYєdirmYk mYqsYdilY polyar koordinatlara зevrilir. HYmin keзidi aєaрэdakэ mьnasibYtlYrY YsasYn aparэllar: µ §
µ § µ §
Misal. D oblastэ µ § vY µ § xYttlYri ilY mYhdudlaєdэrэlmэє dairYvi sektoru olarsa, µ § ikiqat inteqralэ hesablayэn. HYmin oblastэ qurmaq ьзьn µ § зevrYsini vY µ §; µ § bucaqlarэnэ quraraq mYrkYzi O-da yerlYєYn OAB dairYvi sektor alэrэq. µ § µ §
µ § a 0 с Xarici inteqralэ ц - Y gцrY µ § gцtьrYcYkµ § µ §
µ § 3. SahY vY hYcmlYrin ikiqat inteqralэn kцmYyi ilY hesablanmasэ. єHYcm. MYlumdur ki, µ § sYthi, µ § mьstYvi vY yцnYldicisi D oblastэnэn sYrhYdi, doрuranэ Oz oxuna paralel dьz xYtt olan silindrik sYth ilY YhatY olunmuє cismin V hYcmi ikiqat inteqrala bYrabYrdir: µ § burada µ § mYnfi olmayan funksiyadэr. Misal 1. x = 0, y = 0, x + y + z = 1, z = 0 mьstYvilYri ilY YhatY olunmuє cismin hYcmini hesablamalэ (єYkil 1). µ §
burada D oblastэ, 1-ci єYkildYki єtrixlYnmiє ьзbucaqdэr. Bu ьзbucaq Oxy mьstYvisindY yerlYєir vY x = o, y = 0, x + y = 1 dьz xYtlYri ilY YhatY olunmuєdur. Эkiqat inteqralэn sYrhYdlYrini tYyin edYrYk hesablayaq: µ §
µ §. DemYli, V = µ § kub vahid. Qeyd 1. HYcmi axtarэlan cisim yuxarэdan vY aєaрэdan uyрun olaraq µ § sYthlYrinin mьYyyYn hissYlYri ilY YhatY olunmuєdursa, bundan baєqa, hYr iki hissYnin Oxy mьstYvisi ьzYrindY proyeksiyasэ D oblastэnda ibarYtdirsY, belY cismin V hYcmi iki “silindrik” cismin hYcmlYri fYrginY bYrabYrdir: birinci silindrik cismin oturacaрэ D oblastэ, yuxarэdan µ § sYthi ilY hьdudlanэr; ikinci silindrik cismin oturacaрэ yenY D oblastэdэr, yuxarэdan isY µ § sYthi ilY mYhduddur (єYkil 2). Buna gцrY V hYcmi ikiqat inteqralэn fYrqinY bYrabYrdir: µ § yaxud
µ § (1) ЄYkil ЁC1 ЄYkil ЁC2 Asanlэqla gцstYrmYk olur ki, (1) dьsturu µ §, µ § funksiyalarэ yalnэz mYnfi olmadэqda deyil, µ §
bYrabYrsizliyini цdYyYn istYnilYn kYsilmYz funksiyalar olduqda da doрrudur. Qeyd 2. D oblastэnda f (x, y) funksiyasэ iєarYsini dYyiєirsY, onu iki hissYyY bцlmYk lazэmdэr: ЄYkil ЁC3 1) D1 oblastэ, burada µ § 2) D2 oblastэ, burada isY µ § D1, D2 oblastlarэ elYdir ki, bunlar ьzrY ikiqat inteqrallarэn olduрunu fYrz edYk. Onda D1 oblastэ ьzrY ikiqat inteqral mьzbYt YdYd olmaqla Oxy mьstYvisindYn yuxarэda yerlYєYn cismin hYcminY bYrabYr olar. D2 oblastэ ьzrY ikiqat inteqral mYnfi qiymYti Oxy mestYvisindYn aєaрэda yerlYєYn cismin hYcminY bYrabYrdir. DemYli, D ьzrY ikiqat inteqral hYmin hYcmlYrin fYrqinY bYrabYrdir. єMьstYvi fiqurun sahYsinin hesablanmasэ. µ § funksiyasэ ьзьn D oblastэ ьzrY inteqral cYmi dьzYltsYk, istYnilYn bцlgьdY bu cYm hYmin oblastэn S sahYsinY bYrabYrdir. µ §.
Bu bYrabYrliyin saр tYrYfindY limitY keзYrYk ikiqat inteqral alэrэq: µ §.
D oblastэ dьzgьndьrsY, sahY µ §
tYkrar inteqralэ ilY ifadY olunar. MцtYrizY iзYrisindYki inteqrallamanэ aparsaq, aєkardэr ki, µ §
alэrэq. Misal 2. TYnliklYri µ § olan xYtlYrlY YhatY olunmuє fiqurun sahYsini hesablamalэ. Verilmiє xYtlYrin kYsiєmY nцqtYlYrini tYyin edYk (єYkil 3). KYsiєmY nцztYsindY ordinatlar bYrabYr olduqundan tYnliklYrinin saр tYrYflYri dY bYrabYr olar, yYni µ §
buradan µ §
Biz iki kYsiєmY nцztYsi alэrэq: µ § DemYli, axtarэlan sahY µ § 4. MьstYvi fiqurun aрэrlэq зYrkYzinin koordinatlarэ. Эkiqat inteqrallar bir sэra mexaniki vY fiziki kYmiyyYtlYrin hesablanmasэna geniє tYtbiq edilir. єMaddi mьstYvi fiqurun kьtlYsi. Tutaq ki, µ §, (Oxy) mьstYvisi ьzYrindY yerlYєYn maddi mьstYvi fiqur vY µ § onun sYthi sэxlэрэdэr. µ § funksiyasэ µ § oblastэnda kYsilmYyYndir. µ §oblastэnda paylanmэє kьtlYni tapmaq ьзьn onu hYr hansэ qayda ilY µ § kimi kiзik hissYlYrY bцlYk. Bu hissYlYrin sahYsini µ § (k=1, 2, ..., n) ilY iєarY etsYk, onda µ § hissYsindY paylanmэє kьtlYnin miqdarэ tYqribi olaraq µ § µ § hasilinY bYrabYr olar. Burada µ § ilY µ §hissYsindY yerlYєYn hYr hansэ nцqtY iєarY edilmiєdir: µ § (k=1, 2, ..., n). Bu halda, µ § maddi mьstYvi fiqurunda paylanmэє kьtlYnin miqdarэ tYqribi olaraq µ § µ § (1) cYminY bYrabYr olar. Saр tYrYfdYki cYm µ § funksiyasэnэn µ § oblastэnda inteqral cYmidir. (1) bYrabYrliyindY, µ § bцlgьsьnьn µ § parametrinin sэfra yaxэnlaєmasэ єYrtindY limitY keзdikdY µ § oblastэnda paylanmэє kьtlY miqdarэnэn dYqiq qiymYti alэnэr: µ § vY ya
µ § (2) єMaddi mьstYvi fiqurun aрэrlэq mYrkYzinin koordinatlarэ. Burada da fYrz edYk ki, (Oxy) mьstYvisindY yerlYєYn µ § maddi mьstYvi fiqurunun sYthi sэxlэрэ kYsilmYyYn µ § funksiyasэdэr ( µ § ilY µ § oblastэnэn µ § nцqtYsindY sэxlэрэ iєarY edilir). µ § oblastэnэ µ § kimi kiзik hissYlYrY bцlYk vY bu hissYlYrin sahYsini uyрun olaraq µ § (k=1, 2, ..., n) ilY iєarY edYk. HYr bir µ § hissYsindY bir µ § (k=1, 2, ..., n) nцqtYsi gцtьrYk vY fYrz edYk ki, µ § hissYsindY paylanmэє kьtlY tYqribYn µ § µ § YdYdinY bYrabYr olub, hYmin µ § nцqtYsindY yerlYєir. Onda µ § maddi mustYvi fiquruna n dYnY maddi nцqtYlYr sistemi kimi baxmaq olar. Bu sistemin aрэrlэq mYrkYzinin koordinatlarэ µ § fiqurunun aрэrlэq mYrkYzinin korrdinatlarэna tYqribYn bYrabYr olar: Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|