Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
µ § (2)
dьsturunu da isbat etmYk olar. BelYliklY, ixtiyari dьzgьn (hYr iki oxa nYzYrYn) µ § oblastэ ьзьn (1) vY (2) bYrabYrliklYrinin hYr ikisi doрrudur. HYmin bYrabYrliklYri tYrYf-tYrYfY topladэqda µ § (3) dьsturu alэnэr. (3) mьnasibYti Qrin dьsturu adlanэr. µ § oblastэ dьzgьn deyilsY, эakin dьzgьn oblastlara ayrэla bilYrsY, onda onun ьзьn (3) Qrin dьsturu doрru olar. Doрrudan da, tutaq ki, konturu ilY YhatY olunmuє µ § oblastэ kцmYkci µ § xYtlYri vasitYsilY µ § dьzgьn oblastlarэna ayrэlmэєdar. µ § oblastlarэnэn hYr biri ьзьn (3) Qrin dьsturunu yazэb, alэnan bYrabYrliklYri tYrYf-tYrYfY topladэqda, kцmYkзi xYtlYr ьzrY bir-birinin Yksi istiqamYtindY gцtьrьlmьє YyrixYtli inteqrallar islah olunar. NYticYdY, µ § oblastэnэn birlYєmYsi olan µ § oblastэ ьzrY gцtьrьlmьє ikiqat inteqral konturu ьzrY gцtьrьlmьє YyrixYtli inteqrala bYrabYr olar. Qrin dьsturunun doрru olduрu µ § oblastэnэn sYrhYdi bir neзY (n sayda) µ § konturlarэndan da ibarYt ola bilYr (єYkil 2). Bu zaman µ §ya зoxrabitYli (n-rabitYli) oblast, onun sYrhYdinY isY mьrYkkYb kontur deyilir. ЗoxrabitYli oblast ьзьn yazэlmэє Qrin dьsturunda µ § inteqralэ hYmin µ § konturlarэ ьzrY gцtьrьlmьє inteqrallarэn cYminY bYrabYr olur: µ §. ЄYkil ЁC 2 Bu zaman µ § konturlarэ ьzYrindY elY istiqamYt, mьstYvi fiqurlarэn sahYsini hesablayaq. Tutaq ki, µ § hYr hansэ dьzgьn oblast vY onun sYrhYdidir. MYlumdur ki, onun S(µ §) sahYsi ikiqat inteqralla S(µ §)=µ § kimi hesablanэr. Onda Qrin dьsturuna gцrY µ §
µ § olar. Buradan µ § oblastэnэn S(µ §) sahYsini hesablamaq ьзьn simmetrik S(µ §)= µ § (4) dьsturu alэnэr. Misal. µ § ellips Yyrisi ilY YhatY olunmuє fiqurun sahYsini hesablamalэ. Ellipsin parametrik tYnliyi µ § olduрundan (4) dьsturuna gцrY taparэq: S(µ §)= µ § µ §
Mцvzu 30 Adi diferensial tYnliklYr. birtYrtibli diferensial tYrtiblYr. Koєi mYsYlYsi. XYtti diferensial tYnliklYrin Ysas nцvlYri. 1. Џsas anlayэєlar, tYriflYr. 2. BirtYrtibli diferensial tYnliklYr. 3. DYyiєYnlYrinY ayrэla bilYn diferensial tYnliklYr. 4. Bircins diferensial tYnliklYr. 5.BirtYrtibli xYtti diferensial tYnlik. Bernulli tYnliyi. 1. Џsas anlayэєlar, tYriflYr. єTYrif. Эxtiyari x dYyiєYni, onun µ § funksiyasэ vY bu funksi-yanэn hYmin x dYyiєYninY nYzYrYn µ § tцrYmYlYri daxil olan tYnliyY adi diferensial tYnlik deyilir. Diferensial tYnliyY daxil olan Yn yьksYk tYrtibli tцrYmYnin tYrtibinY hYmin diferensial tYnliyin tYrtibi deyilir. n-tYrtibli adi diferensial tYnlik ьmumi єYkildY aєaрэdakэ kimi yazэlэr µ §. (1)
(1) diferensial tYnliyini eyniliyY зevirYn µ § funksiyasэna hYmin tYnliyin hYlli deyilir. Bu, o demYkdir ki, µ § funksiyasэnэ vY onun µ § tцrYmYlYrini (1) tYnliyindY yerinY yazdэqda hYmin tYnlik x -Y nYzYrYn eyniliyY зevrilir. n-tYrtibli diferensial tYnliyin ьmumi hYlli n sayda ixtiyari sabitin daxil olduрu elY µ § (2) hYllinY deyilir ki, o verilmiє tYnliyi eyniliyY зevirsin. Diferensial tYnliyin ьmumi hYllinY daxil olan ixtiyari sabitlYrin mьYyyYn qiymYtlYrindY alэnan hYr bir hYlli diferensial tYnliyin xьsusi hYlli adlanэr. Verilmiє diferensial tYnliyi цdYyYn funksiya (hYll) qeyri-aєkar vY parametrik єYkildY dY verilY bilYr. Bu halda hYmin funksiyaya bYzYn diferensial tYnliyin inteqralэ deyilir. Diferensial tYnliyin hYllinin qrafiki inteqral Yyrisi adlanэr. 2. BirtYrtibli diferensial tYnliklYr. BirtYrtibli diferensial tYnlik ьmumi єYkildY aєaрэdakэ kimi yazэlэr µ §. Bu tYnliyi axtarэlan funksiyanэn y„S tцrYmYsinY nYzYrYn hYll etmYk mьmkьn olduqda µ § (1) єYklindY tцrYmYyY nYzYrYn hYll olunmuє birtYrtibli diferensial tYnlik alэnэr. (1) tYnliyinin ьmumi hYlli µ § (2)
єYklindYdir. Burada C ixtiyari sabitdir. HYndYsi olaraq (2) ьmumi hYll inteqral YyrilYri ailYsindYn ibarYtdir, yYni C sabitinin mьxtYlif qiymYtlYrinY uyрun olan xYtlYr toplusudur. Эnteqral YyrilYri belY bir xassYyY malikdirlYr ki, onlarэn hYr bir M(x, y) nцqtYsindY toxunanэn meyl bucaрэ µ §
єYrtini цdYyir. ЏgYr inteqral Yyrisinin keзdiyi µ § nцqtYsini versYk, onda bununla sonsuz inteqral YyrilYri ailYsindYn mьYyyYn bir inteqral Yyrisi seзilir vY bu bizim diferensial tYnliyin xьsusi hYllinY uyрundur. Analitik olaraq bu tYlYb µ § olduqda µ § baєlanрэc adlanan єYrtY gYtirilir. ЏgYr (2) ьmumi hYll mYlumdursa, onda alэrэq ki, µ §
Bu єYrtdYn C sabitini mьYyyYn etmYk olar vY nYticYdY, uyрun xьsusi hYlli tapmaq olar. Koєi mYsYlYsi bundan ibarYtdir. Koєi mYsYlYsi. (1) diferensial tYnliyinin µ § baєlanрэc єYrti цdYyYn, yYni arqumentin µ § qiymYtindY verilmiє µ § qiymYtini alan µ § hYllini tapэn. Koєi mYsYlYsini hYndYsi olaraq belY ifadY etmYk olar: (1) diferensial tYnliyinin verilmiє µ § nцqtYsindYn keзYn inteqral Yyrisini tapэn. Qeyd edYk ki, tцrYmYyY nYzYrYn hYll olunmuє birtYrtibli diferensial tYnliyi hYmiєY µ § (3) diferensial єYkildY yazmaq olar. Doрrudan da (2) tYnliyini µ § µ § kimi yazэb, orada µ § vY µ § qYbul etsYk (3) єYklindY diferensial tYnlik alэnar. 3. DYyiєYnlYrinY ayrэla bilYn diferensial tYnliklYr. єTutaq ki, M(x) vY µ § funksiyalarэ uyрun olaraq (a,b) vY (c,d ) intervalэnda kYsilmYzdir. Bu halda µ § (1) tYnliyinY dYyiєYnlYrinY ayrэlmэє diferensial tYnlik deyilir. (1) tYnliyindY dx-in Ymsalэ ancaq x-dYn, dy-in Ymsalэ ancaq y-dYn asэlэdэr. FYrz edYk ki, µ § funksiyasэ (1) tYnliyinin hYllidir. Onda hYmin funksiya (1) tYnliyini eyniliyY зevirir: µ § (2)
Bu eyniliyi inteqralladэqda µ § (3)
mьnasibYti alэnar, burada S ixtiyari sabitdir. Buradan aydэndэr ki, (3) tYnliyi (1) tYnliyinin bьtьn hYllYrini tYyin edir. Buna gцrY dY (3) mьnasibYtinY (1) tYnliyinin ьmumi inteqralэ deyilir. єFYrz edYk ki, M1(x), M2(x), N1(y), N2(y) funksiyalarэ kYsilmYzdir. Bu halda µ § (4) tYnliyinY dYyiєYnlYrinY ayrэlan tYnlik deyilir. Bu tYnliyi hYll etmYk ьзьn onun hYr iki tYrYfini N1(y) M2(x) „j 0 hasilinY bцlYk: µ § DYyiєYnlYrinY ayrэlmэє bu tYnliyin ьmumi inteqralэ µ § (5) olar. (4) tYnliyinin (5) ьmumi inteqralэndan alэnmayan baєqa hYllYri dY ola bilYr. BelY hYllYr N1(y) M2(x) = 0 bYrabYrliyinin цdYnildiyi nцqtYlYr iзYrisindY olar (N1( y) = 0, M2(x) = 0). Misal. x = 5, y = 1 baєlanрэc єYrtini цdYyYn µ § diferensial tYnliyinin hYllini tapmalэ. µ §, (x ЁC 1)dx + ( y + 2)dy = 0 , µ §, µ § (µ §). MYrkYzi O(1,ЁC2) nцqtYsindY olan зevrYlYr. Xьsusi hYlli tapaq ьзьn x = 5, y = 1 baєlanрэc єYrtlYrdYn istifadY edYk: µ §, µ §
Axtarэlan xьsusi inteqral µ §
зevrYni mьYyyYn edir. 4. Bircins diferensial tYnliklYr. єTYrif 1. ЏgYr hYr bir k YdYdi ьзьn µ § (1)
eyniliyi doрru olarsa, onda µ § funksiyasэna x vY y dYyiєYnlYrinY nYzYrYn n dYrYcYli bircins funksiya deyilir. Эndi isY µ § (2) diferensial tYnliyinY baxaq. єTYrif 2. ЏgYr x vY y dYyiєYnlYrinin diferensiallarэnэn M (x, y) vY N (x, y) Ymsallarэ eyni dYrYcYli bircins funksiyalar olarsa, onda (2) tYnliyi birtYrtibli bircins diferensial tYnlik adlanэr. Bu tYnliyi hYll etmYk ьзьn µ §, y = xz, dy = xdz + zdx YvYzlYmYsi vasitYsilY onu dYyiєYnlYrinY ayrэlan tYnliyY gYtirmYk lazэmdэr. Эndi tutaq ki, bircins diferensial tYnlik aєaрэdakэ єYkildY verilmiєdir µ §. (3)
ЏgYr µ § funksiyasэ x vY y dYyiєYnlYrinY nYzYrYn sэfэr dYrYcYli bircins funksiya olarsa, yYni µ §
єYrti цdYnilYrsY, onda (3) tYnliyi birtYrtibli bircins diferensial tYnlik olar. Misal. µ § diferensial tYnliyinin ьmumi hYllini tapmalэ. µ §, µ §.
µ § vY µ § birdYrYcYli bircins funksiyalardэr. Doрrudan da, µ §,
µ §. TYnliyi hYll etmYk ьзun µ §, y = xz, dy = xdz + zdx YvYzlYmYsini aparsaq, alarэq xz lnz·dx-x(xdz+zdx)=0. Buradan
xdz=z(lnz-1)dx, µ §,
µ §, µ §,
µ §, µ §, µ §, µ §, µ §. NYticYdY baxэlan tYnliyin ьmumi hYlli µ § olar. 5.BirtYrtibli xYtti diferensial tYnlik. Bernulli tYnliyi. єAxtarэlan funksiyaya vY onun tцrYmYsinY nYzYrYn xYtti olan tYnliyY birtYrtibli xYtti diferensial tYnlik deyilir vY aєaрэdakэ kimi yazэlэr µ §. (1)
µ §„k 0 olduqda alэnan µ § (2)
tYnliyinY (1) tYnliyinY uyрun xYtti bircins tYnlik deyilir. µ § olduqda (1) tYnliyi xYtti bircins olmayan diferensial tYnlik adlanэr. (1) tYnliyini mьxtYlif ьsullarla hYll etmYk olar. Bu ьsullardan biri sabitin variasiyasэ ьsuludur. Bu ьsula gцrY YvvYlcY xYtti bircins tYnliyin ьmumi hYlli tapэlэr. Alэnan tYnlik dYyiєYnlYrinY ayrэlэr µ § µ §
Sonuncu tYnliyi inteqrallasaq µ §,
buradan isY (2) tYnliyinin ьmumi hYllini alarэq: µ §. (3)
Эndi isY xYtti bircins tYnliyin (3) ьmumi hYllindYki ixtiyari C sabitini x-dYn asэlэ µ § funksiyasэ hesab edYk: µ § (4)
y-in bu ifadYsini (1) tYnliyindY yerinY yazaraq sadY зevirmYlYrdYn sonra alarэq µ §
Buradan isY namYlum C(x) funksiyasэ tapэlэr µ §
C(x)-in bu ifadYsini (4) bYrabYrliyindY yerinY yazdэqda (1) tYnliyinin ьmumi hYlli alэnar: µ §
Misal. µ § diferensial tYnliyi hYll edin. ЏvvYlcY bircins olmayan µ § (5) tYnliyinin uyрun µ § (6) bircins tYnliyini hYll edYk. µ §, µ §, µ §, µ §
Axэrэncэ bYrabYrlikdYn verilmiє bircins diferensial tYnliyin ьmumi hYllini tapэrэq:µ §. Burada C sabitini x-dYn asэlэ µ § funksiyasэ hesab edYk, onda µ §. (7)
y-in bu ifadYsini (5) tYnliyindY yerinY yazsaq alarэq µ §.
Buradan µ §, yaxud µ §. Bu hYlli (7) bYrabYrliyindY yerinY yazdэqda (5) tYnliyinin hYllini alarэq µ §.
єBernulli tYnliyi. BirtYrtibli xYtti tYnliklYrY gYtirilY bilYn bir nцv tYnlikdY vardэr, hansэlara ki, Bernulli tYnliyi deyilir. Bernulli tYnliyi ьmьmi єYkildY y Њ + p(x)y = q(x)y n , n0;1 (8) belY yazэlэr. HYmin tYnlik z = y 1-n YvYzlYmYsi ilY xYtti tYnliyY gYtirilir vY daha sonra alэnmэє birtYrtibli xYtti tYnliyi ikinci y = u(x)v(x) YvYvzlYmYsi ilY hYll edirik. Mцvzu 31
Tam diferensiallэ tYnliklYr. YьksYk tYrtibli diferensial tYnliklYr. 1. Tam diferensiallэ tYnliklYr. Эnteqrallatэcэ vuruq. 2. TYnliyin tYrtibinin azadэlmasэ hallarэ. 3. Hasil vY qismYtin diferensialэnэ daxilinY alan tYnliklYr. 1. Tam diferensiallэ tYnliklYr. Эnteqrallatэcэ vuruq. єTutaq ki, p(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1) diferensial tYnliyin sol tYrYfi hYr hansэ u(x,y) funksiyasэnэn tam diferensialэdэr. Onda bu diferensial tYnlik tam diferensiallэ adlanэr. Tam diferensiallэq. TYrifY YsasYn p(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) = µ §dx + µ §dy (2) buradan.
p(x,y) = µ § , Q(x,y)= µ § Birinci bYrabYrlikdYn y-Y, ikincidYn x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmY alaq. µ § = µ § , µ § = µ § Єvars teoreminY gцrY µ § = µ § Odur ki, µ § = µ § (3) bYrabYrliyi (1) tYnliyinin tam diferensiallэq єYrti adlanэr. Bu bYrabYrlik цdYnildikdY axtarэlan u(x) funksiyasэnэ tapmaq olur. Onda (1) diferensial tYnliyi du(x,y) = 0, bunun hYlli isY u(x,y) = c olar. Misal 1. (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 p = 3x2 + 6xy2 , Q = 6x2y + 4y3 µ § = 12xy , µ § = 12xy Tam diferensiallэq єYrti цdYndi. Odur ki, µ § = 3x2 + 6xy2, hYr tYrYfi dx vurub inteqrallayaq: µ § = µ § u(x,y) = x3 + 3x2y2 + ц(y) (ц(y) hYlYlik mYlum olmayan funksiyadэr). HYr tYrYfdYn y-Y nYzYrYn tцrYmY alaq. µ § = 6x2y + цЊ(y), µ § = Q olduрundan 6x2y + 4y3 = 6x2y + цЊ(y) цЊ(y) = 4y3 , ц(y) = y4 u(x,y) = x3 + 3x2y2 + y4 alэnэr vY verilmiэ tYnliyin ьmumi inteqralэ. x3 + 3x2y2 + y4 = c єTutaq ki, (1) tYnliyi tam diferensiallэ deyil. YYni 93) єYrti цdYnilmir. BYzi hallarda elY м(x,y) funksiyasэ tapmaq olur ki, (1) tYnliyinY vurmaqla tYnlik tam diferensiallэ olur. YYni µ §
vY ya Qµ § pµ § = µ §, buradan Q µ § (4) Gцrьndьyь kimi xьsusi tцrYmYli diferensial tYnlik alэndэ. Odur ki, xьsusi hallarda baxaq, hansэ ki, inteqrallayэcэ vuruрu nisbYtYn asan tapmaq olur 1) м = м(x) onda µ § = 0 vY (4) tYnliyi µ § = µ § (5) єYklinY dьєьr. Inteqrallayэb, nYticYdY ln м(x) = µ §, м(x)= µ § (6) tapэrэq.
Misal 2. (2x2y + 2y + 5)dx + (2x3+ 2x)dx (5) dьsturunu tYdbiq edYk. µ § = µ § · (2x2 + 2 ЁC 6x2 ЁC 2) = h(x) h(x) = - µ § = µ § , demYk ln м(x) = µ § = µ §= µ § = µ §-1 м(x) =µ § . tYnliyi м(x)-Y vuraq µ §dx + µ §dy = 0 µ § = 2x
µ §dy = 2xdy , u(x,y) = µ § Buradan, µ § = 2y + µ § = µ § ЁC 2y = µ § µ § = µ §= µ § µ § = µ §. BelYliklY, u(x,y) = 2xy + 5arctgx alэnэr. TYnliyin ьmumi inteqralэ 2xy + 5arctgx = c ; x=0 2) м = м(x) olduqda, yYni µ § = л(y) olduqda (4) tYnliyindYn µ § = л(y) ; м = µ § (7) Misal 3. (2xy2 ЁC 3y3)dx + (7-3xy3)dx µ § = µ § = µ § = л(y); м = µ § = µ § = e-2 ln y = µ §= µ §= µ § µ §dx + µ §dy = 0; (2x ЁC 3y)dx + µ §dy = 0 µ § = µ § , µ § , u(x,y) = µ § µ §
µ § u(x,y) = x2 µ § x2 µ §
Verilmiє tYnliyin ьmumi inteqralэdэr. 2. TYnliyin tYrtibinin azadэlmasэ hallarэ. є SYrbYst dYyiєYninY, axtarэlan funksiyaya onun birinci vY ikinci tYrtib tцrYmYsinY nYzYrYn tYnliyY ikitYrtibli diferensial tYnlik deyilir. Bu tYnliyi ьmumi єYkildY aєaрэdakэ kimi yazmaq olar µ § (1)
ЭkitYrtibli diferensial tYnliyi eyniliyY зevirYn x mYchulundan vY iki sYrbYst ixtiyari µ § sabitlYrindYn asэlэ olan µ § funksiyasэna bu tYnliyin ьmumi hYlli deyilir. (1) tYnliyinin ьmumi hYllindYn C1 vY C2 ixtiyari sabitlYrinin verilmiє µ §µ § qiymYtlYrindY alэnan µ § hYllinY (1) tYnliyinin xьsusi hYlli deyilir. ЏgYr µ § tYnliyi yьksYk tцrYmYyY nYzYrYn hYll edilYndirsY, onda bu tYnliyi µ § (2)
єYklindY gцstYrmYk olar. SadY inteqrallanan ikitYrtibli diferensial tYnliklYrY elY tYnliklYr aiddir ki, (2) bYrabYrliyinin saр tYrYfindY duran funksiya yalnэz ьз arqumentin birindYn asэlэ olsun. I nцv. Tutaq ki, µ §. (3)
Bu tYnliyi inteqrallasaq alarэq µ §
YenidYn inteqrallasaq nYticYdY alarэq µ §
burada µ §ЁC ixtiyari sabitlYrdir vY qeyri-mьYyyYn inteqrallar uyрun funksiyalarэn ibtidai funksiyalarэdэr. II nцv. Tutaq ki, µ § (4) Burada
µ § gцtьrsYk ( p-yY y-dYn asэlэ funksiya kimi baxsaq) alarэq µ § NYticYdY, (4) tYnliyi aєaрэdakэ єYkilY dьєYr µ §. DYyiєYnlYri ayэrsaq: µ §. Sonuncu tYnliyi inteqrallasaq alarэq: µ § vY ya
µ § µ § olduрundan YvvYlki tYnliyi belY yazmaq olar: µ § Buradan bir daha dYyiєYnlYri ayэraraq vY inteqrallayaraq sonda alarэq: µ § III nцv. Tutaq ki, µ § (5) Burada µ § gцtьrYk. Onda µ § olar vY (5) tYnliyi aєaрэdakэ єYkilY dьєYr µ §. DYyiєYnlYri ayэraraq inteqrallasaq: µ § vY µ §. Bu tYnlikdYn µ § kYmiyyYtini mьYyyYn edYrYk ikinci dYfY inteqrallama yolu ilY y-ki dY tapmaq olar. є TYrtibin azaldэlmasэ hallarэ. ЭkitYrtibli µ § (1)
diferensial tYnliyinin birtYrtibli diferensial tYnliyinY gYtirildiyi aєaрэdakэ iki hala baxaq. I hal. Tutaq ki, (1) diferensial tYnliyinin saр tYrYfindY x dYyiєYni aєkar єYkildY daxil deyildir, yYni tYnlik µ § (2) єYklindYdir. Burada µ § vY µ § gцtьrYrYk µ §
birtYrtibli diferensial tYnliyi alarэq. Burada sYrbYst dYyiєYn kimi y зэxэє edir. II hal. Tutaq ki, (1) diferensial tYnliyinin saр tYrYfindY y dYyiєYni aєkar єYkildY daxil deyildir, yYni tYnlik µ § (3) єYklindYdir. Burada µ § vY µ § gцtьrYrYk mYchul p funksiyasэnэn daxil olduрu birtYrtibli diferensial tYnlik alarэq µ § Qeyd edYk ki, yuxarэda baxэlan II vY III nцvlYri (§ 6) (2) vY (3) tYnliklYrinin xьsusi hallarэdэr. Misal 1. µ § (4)
tYnliyini hYll edin. Birinci hala gцrY µ § vY µ § gцtьrYk. Onda (4) tYnliyi µ § єYklinY dьєYr. Buradan: 1) p=0 , yYni y=C; 2) µ §, yYni µ § vY µ § Potensiallasaq alarэq µ § vY nYticYdY, µ § Эnteqralladэqdan sonra alarэq µ § vY demYli, µ § burada µ §ЁC ixtiyari sabitlYrdir. Misal 2. x=1 olduqda µ § vY µ § baєlanрэc єYrtlYri цdYyYn µ § (5) tYnliyinin hYllini tapэn. (5) tYnliyindY µ § vY µ § gцtьrYk. Onda µ §
yaxud µ § (6)
Alэnan tYnlik bircins tYnlik olduрundan µ § YvYzlYmYsi qYbul edYk, nYticYdY µ §
(6) tYnliyindY yerinY yazsaq alarэq µ §;
buradan µ §, vY ya µ § Эnteqrallasaq alarэq µ §
vY nYticYdY, µ §, yYni µ § vY µ §. µ § ixtiyari sabitini mьYyyYn etmYk ьзьn verilmiє baєlanрэc єYrtlYri (x=1 olduqda µ §) nYzYrY alaq: 1=1+µ §, yYni µ §= 0 vY belYliklY, µ §
Buradan alэrэq µ § vY µ §. (7)
µ § sabitini baєlanрэc єYrtlYrdYn tapэrэq. (7) dьsturunda x=1 vY µ § gцtьrsYk alarэq µ §, yYni µ §. NYticYdY, axtarэlan xьsusi hYll µ § olar. 3. Hasil vY qismYtin diferensialэnэ daxilinY alan tYnliklYr. Эndi isY funksiyalarэn hasilini vY ya qismYtini daxilinY alan iki nцv tYnliyY baxaq, hYmin tYnliklYr aєaрэdakэ єYkildY yazэla bilYr: d(xy) = x dy + y dx; (1) dµ § = µ §; (2) dµ § = µ §. (3) Bu nцv tYnliklYri xy = u, y = µ § vY ya µ §=u, y = ux YvYvzlYmYlYrin kцmYyi ilY asanlэqla hYll etmYk mьmkьndьr. HYmin YvYzlYmYlYrin tYdbiqinY aid bir misala baxaq: Misal 1. (1) halэna aid x2dy + xydx = dx tYnliyi hYll edin. Ortaq vuruр kimi x mYchulunu mцtYrizY xaricinY зэxaraq: xµ §=dx . TYnliyin hYr iki tYrYfini µ § ifadYsinY vuraq: d(xy) = µ § YvYzlYmY du = µ § y · x = u Sonuncu tYnliyi bircins tYnlik kimi hYll edYk: µ §. u = ln x µ §yx = ln x + ln C = µ § Burdan alэrэq ki, tYnliyin ьmumi hYlli y = µ §.
Misal 2. (2) halэna aid y2xdy ЁC y3dx = x2dy tYnliyi hYll edin. Ortaq vuruр kimi y2 mYchulunu mцtYrizY xaricinY зэxaraq: y2 µ § = x2dy. TYnliyin hYr iki tYrYfini µ § ifadYsinY vuraq: µ § YvYzlYmY dµ § = y-2dy µ § µ § u = µ § + C µ § = C µ § Burdan alэrэq ki, tYnliyin ьmumi hYlli y2 = x(Cy µ §). Mцvzu 32 ЭkitYrtibli diferensial tYnliklYr. Эxtiyari sabitin variyasiya Ьsulu. XYtti sabit Ymsallэ tYnliklYr sistemi. 1. ЭkitYrtibli sabit Ymsallэ xYtti bircins tYnliklYr. 2. ЭkitYrtibli sabit Ymsallэ xYtti bircins olmayan tYnliklYr. 3. Sabit Ymsallэ xYtti diferensial tYnliklYr ьзьn sabitlYrin variyasiyasэ metodu (Laqranj ьsulu). 4. XYtti bircins sabit Ymsallэ diferensial tYnliklYr sistemi. 1. ЭkitYrtibli sabit Ymsallэ xYtti bircins tYnliklYr. єTutaq ki, ikitYrtibli xYtti bircins y „c + py „S + qy = 0 (1) tYnliyi verilmiєdir, burada p, q Ymsallarэ sabit YdYdlYrdir. Bu tYnliyin hYlli µ § єYklindY axtarэlэr, burada k axtarэlan sabit YdYddir. Onda µ § µ §.
TцrYmYlYrin bu qiymYtlYrini (1) tYnliyindY yerinY yazaq ekx(k2+pk+q) = 0, burada ekx„j0 olduрundan alэrэq ki, µ §. (2)
(2) tYnliyinY (1) diferensial tYnliyinin xarakteristik tYnliyi deyilir. Bu tYnlikdYn k-nэ tapaq µ § (3)
Burada aєaрэdakэ hallar mьmkьndьr. 1. ЏgYr (2) xarakteristik tYnliyinin k1 vY k2 kцklYri hYqiqi vY mьxtYlifdirsY, onda µ § vY µ § funksiyalarэ xьsusi hYllYrdir. DemYli, (1) tYnliyinin ьmumi hYlli aєaрэdakэ dьsturla ifadY olunur: y = C1µ §+C2µ §. (4) 2. ЏgYr (2) xarakteristik tYnliyinin kцklYri hYqiqi vY bYrabYrdirsY (k1 = k2 ), onda (1) tYnliyinin ьmumi hYlli aєaрэdakэ dьsturla ifadY olunar: µ § (5) 3. ЏgYr (2) xarakteristik tYnliyinin k1 vY k2 kцklYri kompleks olarsa ( k1 = ѓС +ѓТi , k2 = ѓС ЁCѓТi), onda (1) tYnliyinin ьmumi hYlli µ §µ § (6) єYklindY olur. 2. ЭkitYrtibli sabit Ymsallэ xYtti bircins olmayan tYnliklYr. Qeyri-mYlum Ymsallar ьsulu. єTutaq ki, bircins olmayan ikitYrtibli µ § (1)
tYnliyi verilmiєdir, burada p, q Ymsallarэ sabit YdYdlYr, µ §ЁC mYlum funksiyadэr. Aєaрэdakэ teorem doрrudur. Teorem 1. Bircins olmayan (1) tYnliyinin ьmumi hYlli µ § (2) bircins tYnliyinin µ § ьmumi hYlli ilY verilYn bircins olmayan (1) tYnliyin xьsusi hYllinin cYminY bYrabYrdir. Эsbatэ. ЏgYr y0 bircins (2) tYnliyinin ьmumi hYlli vY y* uyрun bircins olmayan (1) tYnliyinin xьsusi hYllidirsY, onda µ § vY y*„c+ py*„S+qy* =µ §. Bu iki tYnliyi tYrYf-tYrYfY toplasaq vY cYmin tцrYmYsinin tцrYmYlYrin cYminY bYrabYr olduрunu nYzYrY alsaq (y0 + y*)„c+ p( y0 + y*)„S+q( y0 + y*) =µ §. Buradan aydэndэr ki, y = y0 + y* (3) funksiyasэ (1) tYnliyinin ьmumi hYlli olacaq. Teorem 2. Tutaq ki, bircins olmayan y „c + py „S + qy = f1(x) + f2(x) (4) tYnliyinin saр tYrYfi f1(x) vY f2(x) funksiyalarэnэn cYmidir. ЏgYr y1 y „c + py „S + qy = f1(x) tYnliyinin xьsusi hYlli vY y2 isY y „c + py „S + qy = f2(x) tYnliyinin xьsusi hYllidirsY, onda y1 + y2 cYmi verilmiє (4) tYnliyinin xьsusi hYllidir. Biz sabit Ymsallэ xYtti bircins tYnliyin ьmumi hYllini tapa bilirik. Эndi isY uyрun bircins olmayan (1) tYnliyinin xьsusi hYllinin tapэlma ьsulunu gцstYrYk. Qeyd edYk ki, µ § funksiyasэnэn bYzi xьsusi єYkillYri ьзьn xьsusi hYlli qeyri-mьYyyYn Ymsallar ьsulu ilY tapmaq olar. Aєaрэdakэ sadY hallarda tYnliyin saр tYrYfindYki µ § funksiyasэnэn єYklinY gцrY (1) tYnliyinin y* xьsusi hYllinin єYklini YvvYlcYdYn gцstYrmYk olar. 1-ci hal. µ §= P(x), burada P(x) ЁC зoxhYdlidir. Bu halda, YgYr xarakteristik tYnliyinin kцkь sэfra bYrabYr olmazsa, onda y* xьsusi hYlli P(x) ilY eyni tYrtibY malik olan Q(x) зoxhYdlisi єYklindYdir; YgYr sэfэr YdYdi xarakteristik tYnliyin r dYfY tYkrarlanan kцkь olarsa, onda y* = xrQ(x). 2-cь hal. µ §= emxP(x). Burada P(x) mьYyyYn dYrYcYli зoxhYdlidir. Bu halda YgYr m YdYdi xarakteristik tYnliyin kцkь olmazsa, onda y*=emxQ(x) vY YgYr m xarakteristik tYnliyin r dYdY tYkrarlanan kцkь olarsa, y*=xremxQ(x) olar. Burada Q(x) зoxhYdlisi P(x) ilY eyni dYrYcYli зoxhYdlidir. Xьsusi hal. µ §= aemx (a, m ЁC sэfэrdan fYrqli mьYyyYn YdYdlYrdir). Bu halda YgYr m xarakteristik tYnliyin kцkь olmazsa, onda y*=Aemx vY YgYr m xarakteristik tYnliyin r dYfY tYkrarlanan kцkь olarsa, onda y*=Axremx olar. Burada A axtarэlan Ymsaldэr. 3-cь hal. µ §. Bu halda YgYr µ § YdYdlYri xarakteristik tYnliyin kцklYri olmazsa, onda µ § vY YgYr µ § YdYdlYri xarakteristik tYnliyin kцklYri olarsa, onda µ §. Burada µ § vY µ §зoxhYdlilYrin dYrYcYsi µ § vY µ § зoxhYdlilYrin dYrYcYsinin Yn bцyьyьnY bYrabYrdir. Xьsusi hal. µ § (a, b, ѓС, ѓТ ЁC sэfэrdan fYrqli mьYyyYn YdYdlYrdir). Bu halda YgYr µ § YdYdlYri xarakteristik tYnliyin kцklYri olmazsa, onda µ §
vY YgYr µ § YdYdlYri xarakteristik tYnliyin kцklYri olarsa, onda µ §.
Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|