Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
µ § , µ §. Bu bYrabYrliklYrdY µ § bцlgьsьnьn л parametri sэfra yaxэnlaєdэqda limitY keзsYk vY (2) bYrabYrliyini nYzYrY alsaq, µ § maddi mьstYvi fiqurunun aрэrlэq mYrkYzi koordinatlarэnэ hesablamaq eзen dYqiq dьsturlar alэnэr: µ § , µ § . (3) KYsrlYrin sьrYtindYki µ § vY
YfadYlYrinY µ § maddi mьstYvi fiqurunun uyрun olaraq Oy vY Ox oxlarэna nYzYrYn statik momenti deyilir. є Maddi mьstYvi fiqurun YtalYt momenti. KьtlYsi m olan maddi M nцqtYsinin hYr hansэ oxa nYzYrYn YtalYt(inersial) momenti hYmin nцqtYnin oxdan olan r mYsafYsinin kvadratэ ilY t kьtlYsinin hasilinY deyilir: µ § KьtlYlYri µ § olan maddi µ § nцqtYlYri sisteminin hYr hansэ oxa nYzYrYn YtalYt momenti, nцqtYlYrinin hYmin oxa nYzYrYn YtalYt momentlYrinin cYminY deyilir. BelYliklY, µ §. (4) (Oxy) mьstYvisindY yerlYєYn vY sYthi sэxlэрэ kYsilmYyYn µ § funksiyasэ olan µ § maddi mьstYvi fiqurunun (Ox) vY (Oy) oxlarэna nYzYrYn YtalYt momentini tapmaq ьзьn hYmin fiquru µ § kimi elementar hissYlYrY bцlYk. Bu hissYlYrin sahYsini µ § ilY iєarY edYk vY hYr bir µ § hissYsi ьzYrindY yerlYєYn bir µ § (k=1, 2, ..., n) nцqtYsi gцtьrYk. µ § hissYsinin kьtlYsi tYqribYn µ § olduрunu fYrz edYk, hYmin kьtlYnin µ § nцqtYsindY yerlYєdiyini qYbul edYk. Onda µ § maddi vuruрu YvYzinY n dYnY maddi nцqtYlYr sistemi alэnэr. Bu sistemin (Oy) oxuna nYzYrYn YtalYt momenti µ § (5) cYminY bYrabYrdir. (2) cYmini µ § maddi mьstYvi fiqurunun (Oy) oxuna nYzYrYn YtalYt momentinin tYqtibi qiymYti hesab etmYk olar. (2) bYrabYrliyindY µ § єYrtindY (µ § ilY µ § bцlgьsьnьn parametri iєarY edilmiєdir) limitY keзdikdY µ § maddi mьstYvi fiqurunun (Oy) oxuna nYzYrYn YtalYt momenti alэnэr: µ §. (6) Anoloji olaraq µ § maddi mьstYvi fiqurunun (Ox) oxuna nYzYrYn YtalYt momentinin µ § (7) dьsturu ilY tYyin olunduрunu gцstYrmYk olar. NцqtYnin, nцqtYlYr sisteminin vY maddi mьstYvi fiqurunun koordinat baєlanрэcэna nYzYrYn YtalYt momentindYn dY danэєmaq olar. KьtlYsi m olan maddi M(x, y) nцqtYsinin koordinat baєlanрэcэna nYzYrYn YtalYt momenti µ §
ifadYsinY deyilir. µ § maddi mьstYvi fiqurunun koordinat baєlanрэcэna nYzYrYn YtalYt momenti µ §
vY ya µ §
Mцvzu 28 Ьзqat inteqral vY onun tYtbiqi. 1. Ьзqat inteqral anlayэєэ. 2. Ьзqat inteqralэn hesablanmasэ. 3. Cismin YtalYt momenti, kьtlY vY aрэrlэq mYrkYzin koordinatlarэ. 1. Ьзqat inteqral anlayэєэ. Эkiqat inteqralэn tYrifi mьstYvi fiqurlarэn sahYsi anlayэєэna Ysaslandэрэ kimi, ьзqat inteqralэn tYrifi dY fYzada cisimlYrinin (fiqurlarэnэn) hYcmi anlayэєэna Ysaslanэr. Bundan sora baxdэрэmэz bьtьn fYza oblastlarэnэn vY ya cisimlYrinin sonlu hYcmi olduрunu (kublarэn olduрunu) fYrz edirik. Tutaq ki, µ § funksiyasэ (Oxyz) fYzasэnэn qapalэ vY kublanan V oblastэnda tYyin olunmuєdur. V oblastэnэ hYr hansэ qayda ilY ortaq daxili nцqtYsi olmayan µ § elementar hissYlYrY bцlYk. V oblastэnэn gцstYrilYn єYkildY bцlgьsьnь T, bцlgьdYn alэnan µ § (k = 1, 2,..., n) hissYlYrinin uyрun olaraq hYcmini µ § (k = 1, 2,..., n) vY diametrini µ § (k = 1, 2,..., n) ilY iєarY edYk. T bцlgьsьnьn parametri л=л(T) olsun: л=л(T) = max(µ §). HYr bir µ § hissYsindY ixtiyari bir µ § nцqtYsi gцtьrYk vY aєaрэdakэ kimi cYm dьzYldYk: µ §. (1) Bu cYmin qiymYti V oblastэnэn T bцlgьsьndYn vY µ § nцqtYlYrinin seзilmYsindYn asэlэdэr. (1) cYminY f funksiyasэnэn V oblastэnda inteqral cYmi deyilir. HYr bir f funksiyasэ ьзьn verilmiє V oblastэnda sonsuz sayda inteqral cYmi dьzYltmYk olar. TYrif. (1) inteqral cYminin л(T)µ § єYrtinY µ §
limiti varsa, onda f funksiyasэna V oblastэnda inteqrallanan funksiya, J YdYdinY isY onun V oblastэnda ьзqat inteqralэ deyilir vY µ § (vY ya µ § ilY iєarY edilir: µ § (2)
Burada f inteqralaltэ funksiya, V inteqrallama oblastэ, x, y, z inteqrallama dYyiєYnlYri vY dV (vY ya dV = dx dy dz) hYcm elementi adlanэr. TYrifdYn aydэndэr ki, µ § olduqda ьзqat inteqralэn qiymYti V inteqrallama oblastэnэn hYcminY (biz V oblastэnэn hYcmini dY V ilY iєarY edirik) bYrabYrdir: µ §
Ьзqat inteqralэn Ysas xassYlYri: XassY 1. (xYttilik). V oblastэnda inteqrallanan sonlu sayda µ § funksiyalarэn xYtti kombinasiyasэ da hYmin oblastda inteqrallanandэr vY sabit µ § YdYdlYri ьзьn µ § (3) bYrabYrliyi doрrudur. XassY 2. (additivlik). f funksiyasэ V oblastэnda inteqrallanarsa vY V oblastэ ortaq daxili nцqtYlYri olmayan µ § oblastlarэnэn birlYєmYsindYdirsY, onda hYmin funksiya µ § (k = 1, 2,..., n) oblastlarэnэn hYr birindY dY inteqrallanandэr vY µ § (4) bYrabYrliyi doрrudur. XassY 3. (monotonluq). V oblastэnda inteqrallanan f vY µ § funksiyalarэ ьзьn hYmin oblastэn bьtьn nцqtYlYrindY µ § bYrabYrsizliyi цdYnilirsY, onda onlarэn inteqrallarэ ьзьn dY hYmin bYrabYrsizlik цdYnilYr: µ § (5)
yYni bYrabYrsizliyi verilmiє oblast inteqrallamaq olar. Xьsusi halda, V oblastэnda µ § olduqda µ §, µ § olduqda isY µ § olar.
XassY 4. f funksiyasэ µ § oblastэnda inteqrallanandэrsa, onun mьtlYq qiymYti dY hYmin oblastda inteqrallanandэr vY µ § (6)
bYrabYrsizliyi doрrudur. XassY 5. V oblastэnda inteqrallanan f vY µ § funksiyalarэnэn hasili dY hэmin oblastda inteqrallanandэr. XassY 6. (orta qiymYt teoremi). f funksiyasэ qapalэ mYhdud V oblastэnda kYsilmYyYn, µ § funksiyasэ isY inteqrallanan vY цz iєarYsini dYyiєmYyYn funksiyadэrsa, onda hYmin oblastэn elY ( 5 , з, ф ) у V nцqtYsi var ki, µ § (7)
bYrabYrliyi цdYnilir. Xьsusi halda, µ § olduqda (7) bYrabYrliyindYn µ § (8) mьnasibYti alэnэr. 2. Ьзqat inteqralэn hesablanmasэ. Эkiqat inteqrallar kimi, ьзqat inteqrallar da tYkrar inteqrallara gYtirilYrYk hesablanэr. NYticYdY ьзqat inteqralэn hesablanmasэ ьз dYnY mьYyyYn (birqat) inteqralэn hesablanmasэna gYtirilir. ЏvvYlcY fYrz edYk ki, V inteqrallama oblastэ paralelepipeddir: µ § (1)
µ § funksiyasэ R paralelepipedindY kYsilmYyYndirsY, onda onun µ § ьзqat inteqralэ var vY µ § dьzbucaqlэsэ ьzrY gцtьrьlmьє ikiqat inteqral vY µ § parзasэ ьzrY gцtьrьlmьє mьYyyYn inteqral vasitYsilY aєaрэdakэ kimi iєadY olunur: µ §
µ § (2) (“) bYrabYrliyindYki ikiqat inteqralэ tYkrar inteqral єYklindY yazdэqa (1) paralelepipedi ьzrY gцtьrьlmьє ьзqat inteqralэn hesablanma dьsturu alэnэr: µ § (3) ЏyrixYtli oblastlar ьzrY gцtьrьlmьє ьзqat inteqralэ da tYkrar inteqral єYklindY gYtirmYk olar. FYrz edYk ki, µ § vY µ § funksiyalarэ µ § oblastэnda kYsilmYyYndir. Aєaрэdan µ § sYthi, yuxarэdan µ § sYthi vY yanlardan doрuranэ (Oz) oxuna paralel olan silindrik sYthlY hьdudlanmэє oblastэ V ilY iєarY edYk (єYkil 1). Onda mYhdud qapalэ V oblastэnda kYsilmYyYn hYr bir µ § funksiyasэ ьзьn µ § (4)
dьsturu doрrudur. (4) bYrabYrliyini µ § (5)
kimi yazэlэr. (5) dьsturu ьzrY ьзqat inteqralэ hesabladэqda, ЏvvYlcY x vY y dYyiєYnlYrini sabit hesab edYrYk, z dYyiєYninY gцrY daxilindYki inteqralэ hesablamaq, sonra da µ § oblastэ ьzrY x, y dYyiєYnlYrinY gцrY ikiqat inteqralэ hesablamaq lazэmdэr. V oblastэnэn (Oxy) mьstYvisi ьzYrinY proyeksiyasэ olan µ § ЄYkil ЁC 1 oblastэnэn quruluєundan asэlэ olaraq (5) dьsturundakэ ikiqat inteqralэ da tYkrar inteqral єYklindY yazmaq olar. Tutaq ki, µ § oblastэ aєaрэdan µ § Yyrisi, yuxarэdan µ § Yyrisi vY yanlardan x = a vY x = b dьz xYtlYri ilY hьdudlanmэє oblastdэr. Onda (5) dьsturundakэ ikiqat inteqralэ da tYkrar inteqral єYklindY yazmaq olar: µ § (6) Misal 1. µ § vY µ § mьstYvilYri ilY hьdudlanmэє R tetraedrinin hYcmini hesablamalэ (єYkil 2). ЄYkil ЁC 2 Ьзqat inteqralэn tYrifindYn aydэndэr ki, µ § olar. (5) dьsturuna gцrY µ § µ §
vY ya µ §
alэnэr. Misal 2. µ § kьrYsi ьzrY gцtьrьlmьє ьзqat inteqralэ tYkrar inteqral єYklindY yazmalэ. KьrYnin (Oxy) mьstYvisi ьzYrinY proyeksiyasэ µ § dairYsidir. KьrY aєaрэdan µ §
sYthi ilY, yuxarэdan isY µ § sYthi ilY hьdudlanmэєdэr. Onda (6) dьsturuna gцrY µ §
3. Cismin YtalYt momenti, kьtlY vY aрэrlэq mYrkYzin koordinatlarэ. Ьзqat inteqrallar fizika vY mexanikanэn bir зox mYsYlYlYrinin hYllindY geniє tYtbiq olunur. Bunlarэn yalnэz bir neзYsini burada gцstYrmYklY kifayYtlYnirik. єCismin kьtlYsi. Tutaq ki, V kublanan cisimdir vY µ § onun hYcm sэxlэрэdэr. Onda V oblastэnda yerlYєYn bьtьn kьtlY µ § (1) dьsturu ilY hesablanэr. (1) dьsturu ikiqat inteqral vasitYsilY maddi mьstYvi fiqurun kьtlYsinin hesablama dьsturu kimi isbat olunur (M=x, ya M=y, ya da M=z). єAрэrlэq mYrkYzinin koordinatlarэ. HYcmi sэxlэрэ µ § olan V cisminin aрэrlэq mYrkYzinin koordinatlarэ µ §
dьsturlarэ vasitYsilY hesablanэr. V cismi bircinsli olduqda, yYni µ § = sabit olduqda yuxarэdakэ dьsturlar aєaрэdakэ sadY єYkildY yazэlar: µ § єЏtalYt momenti. Tutaq ki, kublanan V cisminin hYcmi sэxlэрэ µ § funksiyasэdэr. Maddi mьstYvi fiqurun YtalYt momentini tapma qaydasэ ilY V cisminin koordinat oxlarэna nYzYrYn YtalYt momentini tapmaq olar: µ § µ §
µ § Cismin koordinat baєlanрэcэna nYzYrYn YtalYt momenti isY µ § dьsturu ilY hesablanэr. Mцvzu 29 ЏyrixYtli inteqral. 1. ЭstiqamYtli YyrilYr. 2. I nцv Yyri xYtli inteqral vY onun hesablanmasэ. 3. II nцv Yyri xYtli inteqral vY onun hesablanmasэ. 4. I vY II nцv Yyri xYtli inteqrallar arasэndakэ YlaqY. 5. Qrin dьsturu. 1. ЭstiqamYtli YyrilYr. ЏdYd oxunun parзasэnda tYyin olunmuє funksiyalarэn mьYyyYn inteqralэna baxэlэr. Bir зox praktiki mYsYlYlYrinin hYlli isY mьYyyYn Yyri parзasэnda tYyin olunmuє funksiyalar ьзьn yeni inteqral anlayэєэnэn verilmYsini tYlYb edir. BelY inteqrallar YyrixYtli inteqrallar adlanэr. Эki nцv Yyri xYtli inteqral vardэr. MьxtYlif mьstYvi vY ya fYza YyrilYri ьzrY gцtьrьlmьє YyrixYtli inteqrallara baxaq. Tutaq ki, µ § parзasэnda kYsilmYyYn µ § vY µ § funksiyalarэ fYzada µ § Yyrisini tYyin edir: µ § µ § (1) Bu o demYkdir ki, t parametrinin µ § parзasэndakэ bьtьn qiymYtlYrindY alэnan µ § nцqtYlYri зoxluрu Yyrisini tYєkil edir. (1) mьnasibYti fYza Yyrisinin parametrik tYnliyi adlanэr. (1) tYnliklYri Yyrisini tYkcY nцqtYlYr зoxluрu kimi tYyin etmir, hYm dY onun istiqamYtini, yYni nцqtYlYrin Yyri ьzYrindY yerlYєmY ardэcэlэрэnэ tYyin edir. Parametrin µ § qiymYtlYri verildikdY, deyirlYr ki, Yyrinin µ §(µ §)µ § nцqtYsi µ §(µ §)µ § nцqtYsindYn sonra gYlir. T parametri a-dan b-yY kimi bьtьn qiymYtlYri alaraq kYsilmYz dYyiєdikdY, µ § nцqtYsi Yyrinin baєlanрэc A nцqtYsindYn son B nцqtYsinY kimi bьtьn Yyri ьzrY. hYrYkYt edir (єYkil 1). ЄYkil ЁC 1 Џyri ьzYrindY t parametrinin artmasэna uyрun olan istiqamYt mьsbYt, azalmasэna uyрun olan istiqamYt isY mYnfi hesab olunur. Bu halda parametrin t = a qiymYtindY alэnan µ § nцqtYsi Yyrinin baзlanрэc nцqtYsi, t = b qiymYtindY alэnan µ § nцqtYsi isY son ьз nцqtYsi alэnэr. Џyri ьzYrindY ox iєarYsi onun mьsbYt istiqamYtini gцstYrir. ЬzYrindY istiqamYt tYyin olunan YyriyY istiqamYtlYnmiє Yyri deyilir. Ola bilYr ki, parametrin bir neзY mьxtYlif qiymYtinY Yyrinin eyni bir nцqtYsi uyрun olsun. MYsYlYn, t parametrinin µ § qiymYtlYrindY µ § olduqda Yyrinin µ §(µ §)µ § vY µ §(µ §)µ § nцqtYlYri ьst-ьstY dьєьr, yYni bь nцqtYdY Yyri цzь-цzьnь kYsir. Џyrinin baєlanрэc A nцqtYsi vY son B nцqtYsi ьst-ьstY dьєdьkdY ona qapalэ Yyri deyilir. MYlumdur ki, µ § parзasэnda kYsilmYyYn (1) funksiyalarэnэn verilmYsi bir skalyar arqumentli µ § (2)
vektor funksiyasэnэn verilmYsinY ekvivalentdir. Onda µ § Yyrisinin vektorial gцstYriєi olar. Bunu µ § kimi yazэlэr. Hamar vektor funksiya, yYni µ § parзasэnda sэfra зevrilmYyYn kYsilmYz tцrYmYsi olan µ § vektor funksiyasэ vasitYsilY gцstYrilYn YyriyY hamar Yyri deyilir. Hamar µ § Yyrisinin hYr bir nцqtYsindY toxunanэ var vY µ § vektoru hYmin toxunanla eyni istiqamYtdY (parametrin artmasэna uyрun olan istiqamYtY) yцnYlmiєdir. Buna gцrY dY µ § (3)
vahid vektoru Yyrisinin toxunanэ ьzYrindY yerlYєir vY onun istiqamYti parametrin artmasэna uyрun olan istiqamYtin eynidir. BelYliklY, (3) vahid vektoru Yyrisinin mьsbYt istiqamYtini, µ § isY mYnfi istiqamYti tYyin edilir. µ §
olduрundan µ §
µ § vY
µ § olar. Saр tYrYfdYki ifadY Yyrisi qцvsunun diferensialэdэr: µ §. Tutaq ki, Yyrisinin istiqamYtini tYyin edYn vahidµ § vektorunun yцnYldici bucaрlarэ µ § vY µ §-dэr. Onda vahid vektorun µ § vY (3) bYrabYrliyindYn alэnan µ § kimi iki gцstYriliєi olar. Buradan µ § (4) alэnэr.
Tutaq ki, qapalэ Yyridir. Цzь-цzьnY kYsmYyYn qapalэ Yyri kontur adlanэr. Tutaq ki, konturu µ § oblastэnэn sYrhYdidir (єYkil 2). ЄYkil ЁC 2 konturu ьzrY hYrYkYt etdikdY konturun YhatY etdiyi µ § oblastэ solda qalэrsa, hYmin istiqamYt mьsbYt, Yks istiqamYt isY mYnfi hesab olunur. MьsbYt istiqamYtli konturu µ § (зox zaman sadYcY ilY), mYnfi istiqamYtli konturu isY µ § ilY iєarY edillYr. Konturun mьsbYt vY mYnfi istiqamYtlYri єYkildY gцstYrilmiєdir. 2. I nцv Yyri xYtli inteqral vY onun hesablanmasэ. Tutaq ki, (Oxy) mьstYvisi ьzYrindY yerlYєYn sonlu uzunluрu µ § Yyrisi vY hYmin Yyri ьzYrindY tYyin olunmuє µ § funksiyasэ verilmiєdir. Yyrisini µ §
nцqtYlYri vasitYsilY µ § kimi kiзik hissYlYrY bцlYk (єYkil 1). ЄYkil ЁC 1 Yyrisinin (1) єYkildY bцlgьsьnь T vY bцlgьdYn alэnan µ § qцvsunun uzunluрunu µ § ilY iєarY edYk. µ § YdYdlYrinin Yn bцyьk T bцlqьsьnьn parametri adlanэr vY л(T) ilY iєarY olunur: µ §. BцlgьdYn alэnan kiзik hissYlYrin hYr birinin ьzYrindY bir ixtiyari µ § nцqtYsi gцtьrYk vY aєaрэdakэ kimi cYm dьzYldYk: µ §. (2)
(2) cYminY f funksiyasэnэnµ § YyrisindY (vY ya Yyrisi ьzYrindY) inteqral cYmi deyilir. Bu cYmin qiymYti Yyrisinin T bцlgьsьndYn vY µ § nцqtYlYrinin seзilmYsindYn aэlэdэr. TYrif. (2) inteqral cYminin л(T)µ § єYrtindY sonlu limiti varsa, hYmin limitY µ § funksiyasэnэn Yyrisi ьzrY birinci nцv YyrixYtli inteqralэ deyilir vY µ § ilY iєarY olunur: µ § (3)
TYrifdYn aydэndэr ki, birinci nцv YyrixYtli inteqralэn qiymYti Yyrinin istiqamYtindYn asэlэ deyildir, yYni AB Yyrisi (istiqamYti A-dan B-yY) vY BA Yyrisi (istiqamYti B-dan A-ya) ьzrY inteqrallar bYrabYrdir: µ § (4)
Doрrudan da, (1) bцlgьsьnь tYrsinY nцmrYlYsYk vY uyрun inteqral cYmi dьzYltsYk, onda yenY dY (2) cYmini alэrэq (µ § qцvsь ilY µ § qцvsьnьn uzunluрu eyni mьsbYt µ § YdYddir). Buradan (4) bYrabYrliyi alэnэr. Birinci nцv YyrixYtli inteqralэn hesablanmasэ mьYyyYn inteqralэn hesablanmasэna gYtirilir. Bunu isbat etmYk eзen, YvvYlcY fYrz edYk ki, (Oxy) mьstYvisi ьzYrindY uzunluрu sonlu L YdYdi olan AB Yyrisi vY onun ьzYrindY A-dan B-ya istiqamYt tYyin edilmiєdir. Bu halda Yyri ьzYrindYki ixtiyari µ § nцqtYsinin vYziyyYti AM qцvsьnьn l uzunluрu (l = uz · AM) ilY tamamilY tYyin edilir (єYkil 2). ЄYkil ЁC 2 Onda M nцqtYsinin x vY y koordinatlarэ da l parametrinin funksiyasэ olar: µ § (1) Bu isY AB Yyrisinin parametrik tYnliyidir. (1) tYnliklYrindYn parametrin l = 0 qiymYtindY A nцqtYsinin koordinatlarэ, l = L qiymYtindY isY B nцqtYsinin koordinatlarэ alэnэr. Tutaq ki µ §, AB Yyrisi ьzYrindY tYyin olunmuє kYsilmYyYn funksiyadэr. Bu halda hYmin funksiya µ § parзasэnda l parametrinin mьrYkkYb funksiyasэ olar: µ §
Tutaq ki, AB Yyrisinin T bцlgьsь µ § (2)
aparэlmэє vY bцlgьsYn alэnan µ § qцvslYri ьzYrindY ixtiyari µ § nцqtYlYri seзilmiєdir. µ § nцqtYsini parametrin uyрun olan qiymYtini µ § ilY iєarY etsYk, onda µ § olar. µ § qцvsь ьzYrindY seзilmiє µ §nцqtYsinY parametrin uyрun olan qiymYti µ § olsa, onda µ § alэnar. Bu halda, µ § funksiyasэnэn AB Yyrisinin T bцlgьsьnY vY seзilmiє µ § nцqtYlYrinY uyрun olan inteqral cYmi µ § (3)
kimi yazэlar. BYrabYrliyin saр tYrYfindYki cYm µ § mьYyyYn inteqralэna uyрun olan inteqral cYmidir. Buna gцrY dY T bцlgьsьnьn µ § parametrinin sэfra yaxэnlaєmasэ µ § єYrtindY (3) bYrabYrliyindY limitY keзdikdY µ § (4)
bYrabYrliyi alэnэr (YlbYttY, (3) bYrabYrliyindYki cYmlYrin eyni zamanda sonlu limitlYri olduqda). µ § funksiyasэ AB Yyrisi ьzYrindY vY (1) funksiyalarэ µ § parзasэnda kYsilmYyYn olduqda mьYyyYn inteqralэn varlэq teoreminY gцrY µ § inteqralэ sonludur. Buna gцrY dY hYmin єYrtlYr daxilindY (4) bYrabYrliyinin sol tYrYfindYki YyrixYtli inteqral da sonludur vY (4) bYrabYrliyi цdYnilir. Эndi fYrz edYk ki, hamar AB Yyrisi ixtiyari t parametrindY (t parametri qцvs uzunluрu olmaya da bilYr) asэlэ olan µ § (5)
tYnliklYri vasitYsilY verilmiєdir. Tutaq ki, t parametrinin µ §dan µ §ya gYdYr artmasэ Yyrinin A-dan B-ya istiqamYtinY uyрundur. Onda Yyri qцvsьnun diferensialэ µ § (6)
єYklindY olar. Bu halda (4) bYrabYrliyinin saр tYrYfindYki mьYyyYn inteqralda dYyiєYnlYri YvYz etsYk, Yyri xYtli inteqralэn hesablanmasэ ьзьn µ §
µ § (7) dьsturunu alэrэq. Xьsusi halda, AB Yyrisinin tYnliyi dьzbucaqlэ koordinatlar vasitYsilY µ § µ § єYklindY verildikdY, x dYyiєYnini parametr hesab etmYklY µ § (7) dьsturunu µ § (8)
єYklindY yazmaq olar. ЄYkil ЁC 3 Misal. µ § parabolasэnэn O (0, 0) vY A (1,µ § ) nцqtYlYri ilY mYhdud OA hissYsi ьzrY (єYkil 3) gцtьrьlmьє µ §
YyrixYtli inteqralэnэ hesablamalэ. (8) dьsturuna gцrY µ § µ §
єЏyrixYtli inteqrallar bir sэra mYsYlYlYrin hYllindY tYtbiq olunur. Burada birinci nцv YyrixYtli inteqral vasitYsilY maddi AB Yyrisinin kьtlYsi hesablanэr. Tutaq ki, hamar vY ya hissY-hissY hamar maddi AB Yyrisinin xYtti sэxlэрэ µ § ilY iєarY olunmuєdur. AB Yyrisinin µ § nцqtYlYri vasitYsilY kiзik µ § hissYsi ьzYrindY ixtiyari µ § nцqtYsi gцtьrYk vY fYrz edYk ki, µ § qцvsьnьn bьtьn nцqtYlYrindY xYtti sэxlэq µ § kYmiyyYtinY bYrabYrdir. Onda maddi µ § qцvsьnьn kьtlYsi µ § olar (µ § Buna gцrY dY maddi AB Yyrisi ьzYrindY paylanmэє kьtlY tYqribi olaraq µ § bYrabYrliyi ilY hesablanar. Bu bYrabYrlikdY aparэlan bцlgьnьn µ § µ § parametrinin sэfra yaxэnlaєmasэ єYrtindY limitY keзdikdY maddi AB Yyrisinin dYqiqi kьtlYsi alэnэr: µ §
NYhayYt qeyd edYk ki, ьзцlзьlь fYzada yerlYєYn YyrilYr ьzrY gцtьrьlmьє birinci nцv YyrixYtli inteqrallara baxmaq, onlarэn hesablanmasэndan xassYlYrindYn vY tYtbiqlYrindYn daniєmaq olar. 3. II nцv Yyri xYtli inteqral vY onun hesablanmasэ. Tutaq ki, (Oxy) mьstYvisindY yerlYєYn istiqamYtlYnmiє µ § Yyrisi vY bu Yyri ьzYrindY kYsilmYyYn P (x, y) funksiyasэ verilmiєdir. Yyrisini µ §
nцqtYlYri vasitYsilY µ § kimi kiзik hasillYrY bцlYk. Yyrisinin (1) bцlgьsьndYn (bu bцlgьnь T ilY iєarY edYk) alэnan µ § qцvsьnun uzunluрu µ § olsun. µ § YdYdlYrinin Yn bцyьyь T bцlgьsьnьn parametri adlanэr vY л(T) ilY iєarY olunur: µ §
ЄYkil ЁC 4 BцlgьdYn alэnan hYr bir µ § hissYsi ьzYrindY bir µ § nцqtYsini gцtьrYk vY aєaрэdakэ kimi inteqral cYmi dьzYldYk: µ §. (2) Burada µ § ilY µ § qцvsьnьn Ox oxu ьzYrindY proyeksiyasэ iєarY olunmuєdur (єYkil 4). TYrif. (2) cYminin µ § єYrtindY sonlu limiti varsa, hYmin limitY P(x, y) funksiyasэnэn µ § ilY iєarY olunur: µ § (3)
AB Yyrisi ьzYrindY tYyin olunmuє kYsilmYyYn Q(x, y) funksiyasэnэn y dYyiєYninY gцrY ikinci nцv µ § (4)
YyrixYtli inteqralэ da analэji olaraq tYyin olunur. (3) vY (4) inteqrallarэnэn cYmi ikinci nцv ьmumi YyrixYtli inteqral adlanэr vY µ § (5) kimi iєarY olunur. TYrifdYn aydэndэr ki, ikinci nцv YyrixYtli inteqrallarэn qiymYti Yyrinin istiqamYtindYn asэlэdэr: µ §. (6)
Doрrudan da, µ § qцvsьnun (Ox) oxu ьzYrindY proyeksiyasэ µ §olduрu halda, µ § qцvsьnun hYmin ox ьzYrindY proyeksiyasэ µ § olar. Buna gцrY dY AB Yyrisini (1) bцlgьsьnь tYrsinY nцmrYlYsYk (yYni BA Yyrisinin kiзik hissYlYrY bцlsYk) vY uyрun (2) cYmini dьzYltsYk, onda µ §
mьnasibYti vY buradan da limitY keзdikdY µ §
bYrabYrliyi alэnэr. Bu mьhakimY (4) inteqralэ ьзьn dY doрrudur. Qeyd edYk ki, analoji olaraq ьзцlзьlь fYzada yerlYєYn AB Yyrisi ьzYrindY tYyin olunmuє µ § vY µ § funksiyalarэ ьзьn µ § µ § (7)
kimi ikinci nцv ьmumi YyrixYtli inteqralэda tYyin olunur. Bundan sonra (5) vY (7) YyrixYtli inteqrallarэnэ sadYcY olaraq µ § vY µ § (8) kimi yazacaрэq. Qapalэ konturu ьzrY gцtьrьlmьє YyrixYtli inteqrallar uyрun olaraq µ § vY µ § kimi yazэlэr. Bu inteqrallar konturunun mьsbYt istiqamYti ьzrY gцtьrьlmьє hesab edilir. konturunun mYnfi istiqamYti ьzrY gцtьrьlmьє inteqral ьзьn isY µ §
mьnasibYti doрru olar. 4. I vY II nцv Yyri xYtli inteqrallar arasэndakэ YlaqY. Tutaq ki, (Oxy) mьstYvisindY yerlYєYn istiqamYtlYnmiє hamar mьstYvi Yyrisi µ §
parametrik tYnliklYri ilY verilmiєdir vY P(x, y), Q(x, y) funksiyalarэ onun ьzYrindY kYsilmYyYndir. YyrisinY cYkilmiє toxunanэn yцnYldici bucaqlarэ kYsinuslarэnэn µ §
kimi ifadYlYri vardэr. Bunlara YsasYn birinci vY ikinci nцv YyrixYtli inteqrallar arasэnda aєaрэdakэ kimi YlaqY yaranэr: µ § (1)
fYza Yyrisi olduqda isY µ § (2)
mьnasibYti alэnэr. Birinci nцv YyrixYtli inteqrallarэn hesablanma qaydasэ vY (1) bYrabYrliyinY YsasYn ikinci nцv YyrixYtli inteqrallarэn hesablanma dьsturunu almaq olar. Bu mYqsYdlY µ § vY µ § olduрunu nYzYrY almaq lazэmdэr. Onda (1) bYrabYrliyinY YsasYn µ § (3) alэnar.
Xьsusi halda, hamar Yyrisinin tYnliyi µ § єYklindY olsa, onda (3) dьsturu µ § (4)
kimi yazэlэr. Yyrisi µ § ьfьqi dьz xYttinin parзasэ olduqda hYmin parзa ьzYrindY µ § olar vY YyrixYtli inteqral x-Y nYzYrYn adi mьYyyYn inteqrala зevrilYr: µ §.
Yyrisi µ § єaquli dьz xYttinin parзasэ olduqda isY YyrixYtli inteqral y-Y nYzYrYn adi mьYyyYn inteqrala (µ § olduрundan) зevrilir: µ §.
Misal. MYrkYzi koordinat baєlanрэcэnda vY radiusu R olan зevrYsi ьzrY (mьsbYt istiqamYtdY) gцtьrьlmьє µ §
inteqralэnэ hesablamalэ (єYkil 1). зevrYsinin parametrik tYnliyi µ § olduрundan (3) dьsturuna gцrY alэrэq: µ § µ §.
ЄYkil ЁC 1 5. Qrin dьsturu. µ § mьstYvi oblastэ ьzrY gцtьrьlmьє ikiqat inteqralla hYmin oblastэn sYrhYdi ьzrY gцtьrьlmьє YyrixYtli inteqral arasэnda mьYyyYn YlaqY vardэr. Bu YlaqYni tYyin etmYk ьзьn, fYrz edYk ki, (Oxy) mьstYvisindY yerlYєYn µ § oblastэ dьsgьn (daha dYqiq desYk, Ox oxuna nYzYrYn dьzhьn) oblastdэr. HYmin oblast µ § dьz xYtlYri, µ § vY µ § YyrilYri ilY YhatY olunmuєdur (єYkil 1). Bu YyrilYr µ § oblastэnэn sYrhYdi olan qapalэ µ § konturunu tYєkil edir. Qeyd edYk ki, konturunun A vY D nцqtYlYri, elYcY dY B vY C nцqtYlYri ьst-ьstY dьєY bilYr. FYrz edYk ki, P(x, y), Q(x, y) funksiyalarэ qapalэ µ § oblastэnda kYsilmYzdir vY kYsilmYyYn µ § µ § xьsusi tцrYmYlYri vardэr. Onda ikiqat µ § inteqralэ sonludur vY onu tYkrar inteqral єYklindY yazmaq olar: ЄYkil ЁC 1 µ § µ §
alэnэr. Saр tYrYfdYki inteqrallarэ YyrixYtli inteqrallarla YvYz etmYk olar: µ §
µ §. Onda, DA vY BC parзalarэnэn absis oxuna perpendikulyar olmasэna gцrY alэnan µ § bYrabYrliklYrinY YsasYn µ § µ §
µ § vY ya
µ § (1) mьnasibYti alэnэr. Eyni qayda ilY, Oy oxuna nYzYrYn dьzрьn olan vY qapalэ konturu ilY YhatY olunmuє µ § oblastэ ьзьn Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|