Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
Teorem 1. (Bezu). f(x) зoxhYdlisini xЁC a fYrqinY bцldьkdY alэnan qalэq f(a)-ya bYrabYrdir. Эsbatэ. f(x)-i -ya bцldьkdY natamam qismYt µ § f(x)-in dYrYcYsindYn bir vahid az olar. Qalэq isY sabit R YdYdi olar. BelYliklY . Bu bYrabYrlik x-in bьtьn qiymYtlYrindY ( olduqda) doрrudur. -Y keзsYk sol tYrYf -ya saр tYrYf isY R-Y bYrabYr olar. YYni f(a) = R olar. NYticY. ЏgYr a зoxhYdlinin kцkь isY yYni isY, onda f(x) -ya qalэqsэz bцlьnьr vY nYticYdY µ §. зoxhYdlisi n dYrYcYli olanda, tYnliyinY n dYrYcYli cYbri tYnlik deyilir. HYr bir cYbri tYnliyin kцkь varmэ? Teorem 2. (CYbrin Ysas teoremi) HYr bir cYbri tYnliyin () heз olmasa bir hYqiqi vY ya kompleks kцkь vardэr. CYbri olmayan tYnliklYr ьзьn bu doрru deyildir. MYsYlYn cYbri olmayan tYnliyin heз bir kцkь yoxdur. Teorem 3. HYr bir n dYrYcYli зoxhYdlisi n sayda xЁCa єYkilli xYtti vuruрun vY -in Ymsalэnэn hasili єYklindY, yYni єYklindY gцstYrilY bilYr. Эsbatэ. FYrz edYk ki, n ЁC dYrYcYli зoxhYdli verilib. Bu зoxhYdlinin cYbrin Ysas teoreminY gцrY heз olmasa bir kцkь var. Onu -lY iєarY edYk. Onda Bezu teoreminY gцrY µ §. Burada µ § dYrYcYli зoxlhYdlidir. yenY cYbrin Ysas teoreminY gцrY kцkь var. Onu -i ilY iєarY edYk µ § , dYrYcYli зoxluqdur. Analoji olaraq proses davam etdirsYk µ § alarэq. ЁC sэfэr dYrYcYli зoxhYdlidir. Bu YdYd aydэndэr ki, µ § Ymsalэ yYni -a bYrabYrdir. NYticYdY (*) yaza bilYrik. (*) „± n ЁC dYrYcYli зoxlhYdlini n-dYn зox mьxtYlif kцkь ola bilmYz. Teorem 4. ЏgYr n ЁC dYrYcYli vY зoxhYdlilYrinin qiymYtlYri arqumentin sayda mьxtYlif qiymYtlYrindY ьst-ьstY dьєьrsY, onda hYmin зoxluqlar eyniliklY bYrabYrdirlYr. . Teorem 5. ЏgYr зoxhYdlisi eyniliklY sэfэr isY, onda onun bьtьn Ymsallarэ sэfra bYrabYrdir. Teorem 6. ЏgYr iki зoxhYdli eyniliklY bir-birinY bYrabYr isY, onda bir зoxhYdlinin Ymsallarэ o biri зoxhYdlinin uyрun Ymsallarэna bYrabYrdir. єЬmumilYєmiє Viyet teoremi = µ §
Bu bYrabYrliyin sol vY saр tYrYfindY olan x-in eyni qьvvYtlYrinin Ymsallarэnэ bYrabYr etsYk: µ §
. . . . . . . . . . . . . . . . . . µ §
n ЁC dYrYcYli зoxhYdlinin kцklYri ilY Ymsallarэ arasэnda YlaqY yaradan bu dьsturlara Viyet dьsturlarэ deyilir. 2. ЗoxhYdlinin tYkrarlanan kцklYr haqqэnda. n ЁC dYrYcYli f(x) зoxhYdlisinin µ § ayrэlэєэnda bYzi xYtti vuruqlar bir-birinY bYrabYr olarsa onda hYmin ayrэlэєэ µ §
єYklindY yazmaq olar. Bu halda a1 ЁC YdYdi зoxhYdlinin k1 dYfY, a2 ЁC YdYdi k2 dYfY tYkrarlanan kцkь olacaq. Bunu nYzYrY alsaq µ § olar. NYticY. YYni n dYrYcYli hYr bir зoxhYdlinin dьz n sayda hYqiqi vY ya kompleks kцkь vardэr. 3. HYqiqi Ymsallэ зoxhYdlinin hYqiqi vuruqlara ayrэlmasэ. FYrz edYk ki, n ЁC dYrYcYli µ § зoxhYdlisinin A0, A1,...An Ymsallarэnэn hamэsэ hYqiqidir. Teorem 1. ЏgYr µ § kompleks YdYdi hYqiqi Ymsallэ µ § зoxhYdlisinin kцkьdьrsY, onda hYmin YdYdin µ § qoєmasэ da onun kцkь olar. Teorem 2. HYqiqi Ymsallэ hYr bir µ § зoxhYdlisi bir vY ikidYrYcYli hYqiqi Ymsallэ vuruqlarэn hasili єYklindY, yYni µ §
µ § єYklindY gцstYrilY bilYr. Bu zaman µ §. Mцvzu 18
Эbtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral. Џsas xassYlYr, inteqrallar cYdvYli. Эnteqrallama ьsullarэ. 1. Эbtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral. Qeyri-mьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri. 2. Џsas inteqrallar cYdvYli. 3. Эnteqrallama ьsullarэ. 1. Эbtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral. Qeyri-mьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri. єTutaq ki, hYr hansэ µ § funksiyasэ verilmiєdir. ElY µ § funksi-yasэnэ tapmaq tYlYb olunur ki, onun tцrYmYsi µ §-Y bYrabYr olsun, yYni µ §. TYrif 1. ЏgYr µ § parзasэnэn bьtьn nцqtYlYrindY µ § bYrabYrliyi цdYnYrsY, onda µ § funksiyasэna µ § funksiyasэnэn ibtidai funksiyasэ deyilir. Teorem. ЏgYr µ § vY µ § ЁC eyni bir µ § funksiyasэnэn µ § parзasэnda ibtidai funksiyalarэdэrsa, onda onlarэn fYrqi sabit YdYdY bYrabYrdir. Эsbatэ. Эbtidai funksiyanэn tYrifinY YsasYn µ §, µ § (1) eyniliklYri µ § parзasэnэn istYnilYn x nцqtYsi ьзьn цdYnilir. ЏgYr µ § (2)
qYbul etsYk, onda (1) bYrabYrliklYrinY YsasYn µ §
olduрundan µ § parзasэndan gцtьrьlmьє istYnilYn x ьзьn µ § olar, bu bYrabYrlikdYn isY µ §-in sabit olmasэ alэnэr. µ § parзasэnda kYsilmYz vY diferensiallanan µ § funksiyasэna Laqranj teoremini tYtbiq edYk. Laqranj dьsturuna YsasYn µ § parзasэnэn ixtiyari x nцqtYsi ьзьn µ § bYrabYrliyi doрrudur, burada µ §. µ § olduрundan µ §, yaxud µ §. (3)
BelYliklY, µ § funksiyasэ µ § parзasэnэn istYnilYn x nцqtYsindY µ § YdYdinY bYrabYr qiymYt alэr. Bu isY µ § funksiyasэnэn µ § parзasэnda sabit olmasэ demYkdik. µ § sabitini C ilY iєarY edYrYk, (2) vY (3) bYrabYrliyindYn alarэq ki, µ §.
Bu teoremdYn alэnэr ki, YgYr verilmiє µ § funksiyasэnэn hYr hansэ bir µ § ibtidai funksiyasэ tapэlmэєdэrsa, onda µ § ьзьn istYnilYn baєqa ibtidai funksiya µ § єYklindY olar, burada µ §. TYrif 2. ЏgYr µ § funksiyasэ µ § ьзьn ibtidai funksiyadэrsa, onda µ § ifadYsinY µ § funksiyasэnэn qeyri-mьYyyYn inteqralэ deyilir vY µ § simvolu ilY iєarY edilir. BelYliklY, tYrifY gцrY YgYr µ § olarsa, onda µ § olar. Burada µ § inteqralaltэ funksiya, µ §dx inteqralaltэ ifadY adlanэr. DemYli, qeyri-mьYyyYn inteqral µ § funksiyalarэ ailYsindYn ibarYtdir. HYndYsi olaraq qeyri-mьYyyYn inteqral elY YyrilYr зoxluрudur (ailYsidir) ki, bu YyrilYrdYn hYr biri digYrindYn цzьnY paralel olaraq yuxarэ vY ya aєaрэ (yYni OY oxu boyunca) kцзьrmY nYticYsindY alэnэr. Qeyd edYk ki, µ § parзasэnda kYsilmYz µ § funksiyasэnэn ibtidai funksiyasэ (demYli, qeyri-mьYyyYn inteqralэ) var. Verilmiє µ § funksiyasэnэn ibtidai funksiyasэnэ tapmaрa µ § funksiyasэnэ inteqrallamaq deyilir. TYrif 2-dYn alэnэr ki: 1. Qeyri-mьYyyYn inteqralэn tцrYmYsi inteqralaltэ funksiyaya bYrabYrdir, yYni µ § olarsa, onda µ §. (4) 2. Qeyri-mьYyyYn inteqralэn diferensialэ inteqralaltэ ifadYyY bYrabYrdir: µ § (5) 3. HYr hansэ bir funksiya diferensialэnэn qeyri-mьYyyYn inteqralэ hYmin funksiya ilY ixtiyari sabitin cYminY bYrabYrdir: µ §. є Qeyri-mьYyyYn inteqralэn xassYlYri Teorem 1. Эki vY ya bir neзY funksiyanэn cYminin qeyri-mьYyyYn inteqralэ onlarэn inteqrallarэnэn cYminY bYrabYrdir µ §. (1)
Teorem 2. Sabit vuruрu inteqral iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar, yYni µ § olarsa, onda µ §. (2)
Qeyri-mьYyyYn inteqralэ hesablayarkYn aєaрэdakэ qaydalarэ nYzYrY almaq faydalэ olur. ЏgYr µ § olarsa, onda 1. µ § 2. µ §
3. µ § 2. Џsas inteqrallar cYdvYli. єЭnteqrallar cYdvYli 1. µ § (µ §). (Burada vY digYr dьsturlarda C ixtiyari sabitdir.) 2. µ § 3. µ §
4. µ § 5. µ §
6. µ § 7. µ §
8. µ § 9. µ §
10. µ § 11. µ §
11'. µ § 12. µ §
13. µ § 13'. µ §
14. µ § 3. Эnteqrallama ьsullarэ. Eyler YvYzlYmYlYrinin kцmYyilY, hYmзinin universal YvYzlYmYlYrinin kцmYyi ilY inteqrallarэ hesablamaq vY geniє tYhlil etmYk. Verilmiє inteqralэ hesablamaq ьзьn, YgYr mьmkьndьrsY, bu vY ya baєqa ьsullardan istifadY edYrYk onu cYdvYl inteqralэna gYtirib hesablamaq lazэmdэr. Daha vacib inteqrallama ьsullarэ aєaрэdakэlardэr: ayэrma ьsulu, dYyiєYni YvYzetmY ьsulu vY hissY-hissY inteqrallama ьsulu. єAyэrma ьsulu. Bu ьsulun mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, inteqralaltэ funksiya inteqrallarэ asan hesablana bilYn funksiyalarэn cYmi єYklindY gцstYrilir, sonra isY hYr bir inteqral ayrэlэqda hesablanэr. єDYyiєYni YvYzetmY, yaxud YvYzlYmY ьsulu. Tutaq ki, µ § inteqralэnэ tapmaq lazэmdэr vY µ § ьзьn ibtidai funksiyanэn varlэрэnэ bilirik, lakin onu bilavasitY tapmaрэ bacarmэrэq. Эnteqralaltэ funksiyada µ § (1) qYbul edYrYk dYyiєYni YvYz edYk; burada µ § kYsilmYz, tцrYmYsi vY tYrs funksiyasэ olan funksiyadэr. Onda µ §. Эsbat etmYk olar ki, µ § (2) bYrabYrliyi doрrudur. Burada belY hesab edirik ki, inteqralladэqdan sonra bYrabYrliyinin saр tYrYfindY t-nin yerinY onun (1) bYrabYrliyindYn tapэlmэє x ilY ifadYsi yazэlacaqdэr. єHissY-hissY inteqrallama. Tutaq ki, u vY v kYmiyyYtlYri
µ §
dьsturu ilY hesablanэr. Bu bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini inteqrallamaqla µ §,
yaxud µ §
alarэq. Axэrэncэ dьstura hissY-hissY inteqrallama dьsturu deyilir. Bu dьsturu tYtbiq etmYk o halda Ylveriєlidir ki, verilYn inteqralda inteqralaltэ ifadYni u vY dv kimi iki vuruрun hasili єYklindY elY gцstYrmYk mьmkьndьr ki, dv diferensialэna gцrY v funksiyasэnэ tapmaq vY µ § inteqralэnэ hesablamaq µ § inteqralэnэ bilavasitY hesablamaqdan asan olsun. Mцvzu 19
Kvadrat ьзhYdlinin daxil olduрu bYzi funksiyalarэn inteqrallanmasэ. 1. µ § inteqralэn hesablanmasэ. 2. µ § inteqralэn hesablanmasэ. 3. µ § inteqralэn hesablanmasэ. 4. µ § inteqralэn hesablanmasэ. 1. µ § inteqralэn hesablanmasэ. є Aєaрэdakэ inteqrala baxaq µ §. MYxrYcdYki ьзhYdlini зevirib, kvadratlar cYmi vY ya fYrqi єYklindY gцstYrYk: µ §, burada
µ § iєarY edilmiєdir. µ §-nэn iєarYsi sol tYrYfdY duran ifadYnin mьsbYt vY ya mYnfi, baєqa sцzlY µ § ьзhYdlisinin kцklYrinin kompleks vY ya hYqiqi olmasэndan asэlэ olaraq gцtьrьlьr . BelYliklY, µ § inteqralэ µ §
єYklini alэr. Sonuncu inteqralda µ § YvYzlYmYsini aparsaq, alarэq µ §µ §
Bu isY cYdvYl inteqralэdэr (11' vY 12-ci dьsturlara bax). 2.µ § inteqralэn hesablanmasэ. µ §
inteqralэnэ nYzYrdYn keзirYk. Эnteqralaltэ funksiyada eynilik зevirmYsi aparaq: µ §
Axэrэncэ inteqralэ iki inteqralэn cYmi єYklindY gцstYrYk vY sabit vuruqlarэ inteqral iєarYsi xaricinY зэxaraq: µ §
Burada ikinci inteqral µ § inteqralэdэr. Birinci inteqralda isY µ § gYbul edYrYk dYyiєYni YvYz edYk, onda µ § vY µ §
BelYliklY, µ §
3. µ § inteqralэn hesablanmasэ. є Aєaрэdakэ µ § inteqralэna baxaq. I bYnddYki зevirmYlYrin kцmYyi ilY bu inteqral aєaрэdakэ cYdvYl inteqrallarэndan birinY gYtirilir (cYdvYldY 13' vY 14 dьsturuna bax): µ § olduqda µ §, µ § olduqda isY µ §. 4. µ § inteqralэn hesablanmasэ. є Эndi isY µ §
єYklindY olan inteqrallara baxaq. Bu inteqrallar II bYnddYki зevirmYlYrY oxєar зevirmYlYrin kцmYyi ilY hesablanэr. Doрrudan da, µ §
µ § Alэnmэє inteqrallardan birincinY µ § YvYzlYmYsi tYtbiq etsYk onda µ § vY µ §. Эkinci inteqrala isY bu paraqrafэn III bYndindY baxmэєэq. Mцvzu 20 Rasional kYsrlYrin vY triqonometrik ifadYlYrin inteqrallanmasэ. 1. Џn sadY kYsrlYr nцvlYri. 2. Rasional kYsrin sadY kYsrlYrY ayэrmasэ. 3. SadY irrasionallэqlarэn inteqrallanmasэ. 4. µ § (µ §) єYklindY inteqrallar. 5. Triqonometrik ifadYlYrin inteqrallanmasэ. 1. Џn sadY kYsrlYr nцvlYri. є ЭstYnilYn rasional funksiya iki зoxhYdlinin nisbYtindYn ibarYt rasional kYsr єYklindY olur. MьhakimYnin ьmumiliyini azaltmadan, bu зoxhYdlYrinin ortaq vuruqlarэnэn olmadэрэnэ fYrz edY bilYrik. SurYtinin dYrYcYsi mYxrYcinin dYrYcYsindYn kiзik olan kYsrlYr dьzgьn, Yks halda isY dьzgьn olmayan kYsrlYr adlanэr. Dьzgьn olmayan kYsrin surYtini mYxrYcinY bцlYrYk (зoxhYdlilYrin bцlьnmYsi qaydasэna YsasYn) onu mьYyyYn bir зoxhYdli ilY dьzgьn kYsrin cYmi єYklindY gцstYrmYk olar: µ §,
burada µ §ЁC зoxhYdli, µ § isY dьzgьn kYsrdir. TYrif. Aєaрэdakэ єYkildY olan dьzgьn kYsrlYrY uyрun olaraq I, II, III vY IV nцv sadY kYsr deyilir: I. µ § II. µ § (k mьsbYt tam YdYddir vY kЎЭ2), III. µ § (mYxrYcin kцklYri kompleks YdYdlYrdir, yYni µ §), IV. µ § (k mьsbYt tam YdYddir vY kЎЭ2,mYxrYcin kцklYri kompleks YdYdlYrdir). I, II vY III nцv sadY kYsrlYrin inteqrallanmasэ зYtin olmadэрэndan onlarэ izah etmYdYn verY bilYrik: I. µ §
II. µ § µ §
III. µ § µ §
µ § µ § (bax §5). IV.µ § µ §
Burada birinci inteqral µ § YvYzlYmYsi tYtbiq edilmYklY hesablanэr. Doрrudan da µ § µ §
µ § Эkinci inteqralэ µ § ilY iєarY edYk vY aєaрэdakэ kimi зevirYk: µ § burada
µ § qYbul edilmiєdir (єYrtY YsasYn mYxrYcin kцklYri kompleks YdYdlYrdir, demYli, µ §). Sonra isY hesablamanэ belY aparэrэq: µ § µ § (1)
Axэrэncэ inteqralэ aєaрэdakэ kimi зevirYk: µ §
µ § Alэnmэє inteqralэ hissY-hissY inteqrallayaraq: µ § Bu ifadYni (1) bYrabYrliyindY yerinY yazaq: µ § µ §
µ § Saр tYrYfdY dY µ § єYklindY µ § inteqralэ var, lakin inteqralaltэ funksiyanэn mYxrYcinin dYrYcYsi bir vahid kiзikdir, yYni k-1-dir. BelYliklY, µ § inteqralэnэ µ § inteqralэ ilY ifadY etdik. Bu qayda ilY davam etmYklY, mYlum inteqrala gYlib зэxarэq: µ §
t vY m-in yerinY onlarэn ifadYlYrini yazsaq IV inteqralэnэn x vY verilmiє A, B, p, q YdYdlYri vasitYsi ilY ifadYsini alarэq. 2. Rasional kYsrin sadY kYsrlYrY ayэrmasэ. Tutaq ki, µ § dьzgьn rasional kYsri verilmiєdir. FYrz edYk ki, surYt vY mYxrYcdYki зoxhYdlilYrin Ymsallarэ hYqiqi YdYdlYrdir vY kYsr ixtisar olunmayandэr (yYni surYt vY mYxrYcin ortaq kцklYri yoxdur). Teorem 1. Tutaq ki, µ § mYxrYcin k dYfY tYkrarlanan kцkьdьr, yYni µ §. Onda verilmiє µ §dьzgьn kYsrini aєaрэdakэ kimi digYr iki dьzgьn kYsrin cYmi єYklindY gцstYrmYk olar: µ § burada A sэfra bYrabYr olmayan sabit, µ § isY dYrYcYsi µ § mYxrYcinin dYrYcYsindYn kiзik olan зoxhYdlidir. Teorem 2. Tutaq ki, µ § vY burada µ § зoxhYdlisi µ § ifadYsinY bцlьnmьr. Onda µ § dьzgьn kYsrini aєaрэdakэ kimi digYr iki dьzgьn kYsrin cYmi єYklindY gцstYrmYk olar: µ §
burada µ § зoxhYdlisinin dYrYcYsi µ § зoxhYdlisinin dYrYcYsindYn kiзikdir. Эndi isY µ § dьzgьn kYsrinY 1 vY 2 teoremlYrini tYtbiq edYrYk µ § mYxrYcinin bьtьn kцklYrinY uyрun sadY kYsrlYri ardэcэl olaraq ayэraq. BelYliklY, aєaрэdakэ nYticYni alarэq. ЏgYr µ §
olarsa, onda µ § dьzgьn rasional kYsrini aєaрэdakэ єYkildY yazmaq olar: µ §
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ §
µ § . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ § Buradakэ µ § Ymsallarэnэ belY bir mьlahizYyY gцrY tYyin etmYk olar: yazэlmэє bYrabYrlik eynilikdir, ona gцrY dY saр tYrYfdYki kYsrlYri ьmumi mYxrYcY gYtirdikdYn sonra saр vY sol tYrYflYrin surYtlYrindY eyni зoxhYdlilYr alarэq. x-lYrin eyni dYrYcYlYrinin qarєэsэndakэ Ymsallarэnэ bYrabYrlYєdirYrYk µ § mYchul Ymsallarэnэ tapmaq ьзьn tYnliklYr sistemini alarэq. Џmsallarэn tapэlmasэnэn bu ьsьlu namYlum Ymsallar ьsulu adlanэr. BelYliklY, gцstYrdik ki, istYnilYn dьzgьn rasional kYsr sadY rasional kYsrlYrin cYmi єYklindY gцstYrilY bilYr. 3. SadY irrasionallэqlarэn inteqrallanmasэ. I. µ § inteqralэna baxaq, burada R ЁC цz arqumentlYrinin rasional funksiyasэdэr. Tutaq ki, k YdYdi µ § kYsrlYrinin ortaq mYxrYcidir. µ § µ § YvYzlYmYsi aparaq. Onda x-эn hYr bir kYsr ьstlь qьvvYti t-nin tam qьvvYti ilY ifadY olunar vY demYli, inteqralaltэ funksiya t-nin rasional funksiyasэna зevrilYr. II. Эndi µ § єYklindY inteqrala baxaq. Bu inteqral µ § YvYzlYmYsinin kцmYyi ilY t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir, burada k YdYdi µ § kYsrlYrinin ьmumi mYxrYcidir. 4. µ § (µ §) єYklindY inteqrallar. BelY inteqrallar aєaрэdakэ Eyler YvYzlYmYlYrinin kцmYyi ilY yeni dYyiєYninin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir. 1. Eylerin birinci YvYzlYmYsi. ЏgYr µ §olarsa, µ §
YvYzlYmYsini qYbul edirik. MьYyyYnlik ьзьn µ §-nэn iєarYsini mьsbYt gцtьrYk. Onda µ §
olar. Buradan isY x dYyiєYni t-nin rasional funksiyasэ kimi tapэlэr: µ §
(demYli, dx dY t ilY rasional єYkildY ifadY olunar). Buna gцrY µ § ifadYsi t-nin rasional funksiyasэ olur µ §
BelYliklY, µ §, x vY dx ifadYlYri t vasitYsi ilY rasional єYkildY gцstYrilir; demYli, verilmiє inteqral t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir. 2. Eylerin ikinci YvYzlYmYsi. ЏgYr µ §olarsa, µ § YvYzlYmYsini aparaq. Onda (mьYyyYnlik ьзьn µ § qarєэsэndakэ iєarYni mьsbYt gцtьrYk) µ §. Buradan x rasional funksiya kimi t ilY ifadY olunur: µ § Gцrьndьyь kimi, dx vY µ § dY t ilY rasional єYkildY ifadY olunur; ona gцrY x, µ § vY dx-in qiymYtlYrini µ § inteqralэnda yerinY yazaraq onu t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirYrik. 3. Eylerin ьзьncь YvYzlYmYsi. Tutaq ki, µ § vY µ § hYqiqi YdYdlYri µ §ьзhYdlisinin kцklYridir. µ § qYbul edYk. µ § olduрundan µ § µ §
µ § Buradan x dYyiєYni t-nin rasional funksiyasэ kimi ilY ifadY olunur: µ §. dx vY µ § dY t ilY rasional ifadY olunduqlarэndan, verilmiє inteqral t-nin rasional funksiyasэnэn inteqralэna gYtirilir. Qeyd. Eylerin ьзьncь YvYzlYmYsi yalnэz µ § olduqda deyil, µ § olduqda da tYtbiq olunur, ancaq µ § зoxhYdlisinin kцklYrinin hYqiqi olmalэdэr. 5. Triqonometrik ifadYlYrin inteqrallanmasэ. єЏvvYlcY µ § (1)
єYklindY inteqrala baxaq. GцstYrmYk olar ki, bu inteqral µ § (2)
YvYzlYmYsinin kцmYyi ilY hYmiєY rasional funksiyanэn inteqralэna gYtirilY bilYr. µ § vY µ § funksiyalarэnэ µ § vasitYsi ilY, demYli t ilY ifadY edYk: µ §
µ § daha sonra µ § BelYliklY, µ §, µ § vY dx yeni t dYyiєYni ilY rasional ifadY edildilYr. Rasional funksiyanэn rasional funksiyasэ rasional funksiya olduрundan, alэnmэє ifadYlYri (1) inteqralэnda yerinY yazэb, rasional funksiyanэn inteqralэnэ alarэq: µ § Baxэlan YvYzlYmY µ § єYklindY olan istYnilYn funksi-yanэ inteqrallamaрa imkan verir. Ona gцrY dY bYzYn onu «universal triqonometrik YvYzlYmY» adlandэrэrlar. Lakin praktikada o, зox zaman hYddYn artэq mьrYkkYb rasional funksiyalara gYtirib зэxarэr. Ona gцrY dY “universal” YvYzlYmY ilY birlikdY bYzi hallarda mYqsYdY daha tez nail olmaрa imkan verYn digYr YvYzlYmYlYri dY bilmYk faydalэdэr. є1) ЏgYr inteqral µ § єYklindYdirsY, onda µ § µ § YvYzlYmYsi onu µ § єYklindY inteqrala gYtirir. є2) ЏgYr inteqral µ § єYklindY olarsa, onda o, µ § µ § YvYzlYmYsi ilY rasional funksiya inteqralэna gYtirilYr. є3) Эnteqralaltэ funksiya yalnэz µ §-dYn asэlэ olarsa, onda µ § µ § YvYzlYmYsi hYmin inteqralэ rasional funksiya inteqralэna gYtirir: µ §
є4) ЏgYr inteqralaltэ funksiya µ § єYklindY olarsa, ancaq µ § vY µ § yalnэz cьt dYrYcYdYn daxildirsY, onda hYmin µ § YvYzlYmYsi tYtbiq olunur, зьnki µ § vY µ § funksiyalarэ µ § ilY rasional єYkildY ifadY olunur: µ § µ §µ § є5) Эndi µ § єYkilli bir inteqrala da baxaq: inteqral iєarYsi altэnda µ § hasili durur (burada m vY n tam YdYdlYrdir). Burada ьз hala baxaq. a) µ § inteqralэnda m vY n YdYdlYrindYn heз olmasa biri tYk YdYddir. MьYyyYnlik ьзьn n YdYdinin tYk olduрunu qYbul edYk (µ §) vY inteqralэ зevirYk: µ § µ §
µ § YvYz edYk, onda µ § vY µ §
olar. Bu isY t-nin rasional fnksiyasэnэn inteqralэdэr. b) µ §, burada m vY n mYnfi olmayan cьt YdYdlYrdir. µ § qYbul edib, triqonometriyadan mYlum olan dьsturlarэ yazaq: µ § µ § (3) Bu ifadYlYrinin qiymYtlYrini inteqralda yerinY yazsaq alarэq µ § QьvvYtY yьksYldib, mцtYrizYlYri aзdэqdan sonra µ § funksiyasэnэn tYk vY cьt dYrYcYli qьvvYtlYrini alarэq. TYk dYrYcYli hYdlYr a) halэnda gцstYrilYn qayda ilY inteqrallanэr, cьt dYrYcYli qьvvYtlYrin dYrYcYsini isY yenY (3) dьsturlarэnэn kцmYyi ilY azaldэrэq. Bu qaydanэ davam etdirYrYk µ § hYddinY gYlib зэxarэq, bu isY asan inteqrallanэr. c) ЏgYr hYr iki qьvvYt ьstь cьt vY heз olmasa biri mYnfi olarsa, onda yuxarэda gцstYrdiyimiz ьsьl bir nYticY vermir. Bu halda µ § (yaxud µ §) YvYzlYmYsi Ylveriєlidir. є6) Sonda µ § єYklindY inteqrallara baxaq. Bunlar aєaрэdakэ dьsturlarэn (µ §) kцmYyi ilY hesablanэr: µ § µ §
µ § Mцvzu 21
MьYyyYn inteqral. MьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri. MьYyyYn vY qeyrimьYyyYn inteqrallar arasэnda YlaqY. Nyuton-Leybnis dьsturu. MьYyyYn inteqralэn hesablanmasэ ьsullarэ. 1. MьYyyYn inteqral. 2. MьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri. 3. MьYyyYn inteqralda dYyiєYni YvYzetmY vY hissY-hissY inteqrallama. 4. MьYyyYn inteqralэn tYqribi hesablanmasэ. 1. MьYyyYn inteqral єTutaq ki, µ § parзasэnda kYsilmYz µ § funksiyasэ verilmiєdir. Bu parзanэ µ § bцlgь nцqtYlYri ilY n ixti-yari hissYlYrY bцlYk, belY ki, µ § µ §, µ §, ЎK ,µ § iєarYlYrini qYbul edYk. µ §parзalarэnэn hYr birindY bir µ § nцqtYsi gцtьrYk (µ §) vY aєaрэdakэ cYmi dьzYldYk µ § (1)
Bu cYmi µ §-nin xьsusi parзalara verilmiє bцlgьsunY vY µ § aralэq nцqtYlYrinin verilmiє seзiminY uyрun olan µ § parзasэnda µ § funksiyasэ ьзьn inteqral cYmi adlandэracэq. µ § olduqda µ § inteqral cYminin hYndYsi mYnasэ aydэndэr: o oturacaqlarэ µ § vY hьndьrlьklYri µ § olan dьzbucaqlarэn sahYlYri cYminY bYrabYrdir (єYkil 1). x O
x1 x2 xn-1 x0 = a ѓи1
ѓи2 A1 A0 A2 A3 A2n-1 A2n y = f(x)
Шякил 21 ѓиn
f(ѓи1) f(ѓи2)
f(ѓиѓnn) y ЄYkil 1 Эndi, µ §, µ §, ЎK, µ § parзalarэ iзYrisindY Yn bцyьk olanэnэn uzunluрunu µ §
ilY iєarY edYk. TYrif. ЏgYr µ § єYrtindY (1) inteqral cYminin sonlu I limiti varsa, onda bu limit µ § funksiyasэnэn µ § parзasэnda mьYyyYn inteqralэ adlanэr vY aєaрэdakэ kimi iєarY edilir µ § (2) Bu halda µ § funksiyasэna µ § parзasэnda inteqrallanan funksiya deyilir. µ § ЁC inteqralaltэ funksiya, a vY b YdYdlYri uyрun olaraq inteqralэn aєaрэ vY yuxarэ sYrhYdlYri, x isY inteqrallama dYyiєYni adlanэr. y y = f (x) b a
O ЄYkil 2
µ § olduqda µ § inteqralэ YdYdi qiymYtcY YyrixYtli trapesiya adlanan fiqurun sahYsinY bYrabYr olur. ЏyrixYtli trapesiya (єYkil 2) yuxarэdan µ § funksiyasэnэn qrafiki, aєaрэdan OX oxu vY yanlardan x=a, x=b dьz xYtlYri ilY hьdudlanan fiqura deyilir. Teorem. ЏgYr µ § funksiyasэ µ § parзasэnda kYsilmYzdirsY, onda hYmin parзada inteqrallanandэr. 2. MьYyyYn inteqralэn Ysas xassYlYri 1. MьYyyYn inteqral yalnэz µ § funksiyasэnэn єYklindYn vY inteqralэn sYrhYdlYrindYn asэlэ olur, inteqrallama dYyiєYnindYn isY asэlэ olmur. Ona gцrY dY inteqrallama dYyiєYnini istYnilYn hYrflY iєarY etmYk olar: µ §. 2. ЏgYr yuxarэ vY aєaрэ sYrhYdlYr ьst-ьstY dьєYrsY, onda inteqral sэfra bYrabYrdir: µ §. 3. Yuxarэ vY aєaрэ sYrhYdlYrin yerini dYyiєYndY inteqral цz qiymYtini YksinY dYyiєYr µ §. 4. a, b, c YdYdlYrinin neзY olmalarэndan asэlэ olmayaraq aєaрэdakэ bYrabYrlik doрrudur µ §. 5. Sabit vuruрu mьYyyYn inteqral iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar, yYni µ § olduqda µ §. 6. Bir neзY funksiyanэn cYbri cYminin mьYyyYn inteqralэ toplananlarэn inteqrallarэnэn cYbri cYminY bYrabYrdir µ §. 7. ЏgYr µ § parзasэnэnda µ § olarsa, onda Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|