Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

kimi yazmaq olar.

Xьsusi halda µ § = µ § olduqda ц =0 vY µ § = 1 olar vY (1) mьnasibYti

µ § · µ § = µ §2 = µ §2 (4)

єYklindY yazэlэr. DemYli bir vektorun skalyar kvadratэ (цzьnY skalyar hasili) hYmin vektorun uzunluрunun kvadratэna bYrabYrdir. (4) bYrabYrliyindYn µ § vektorunun uzunluрu ьзьn

µ § = µ § (5)

dьsturu alэtэq.

Vektorlarэn skalyar hasilinin aєaрэdakэ xassYlYri dY vardэr:

I. Skalyar hasil yerdYyiєmY ( kommutativlik ) xaYsinY tabedir:

( µ § , µ § ) = ( µ § , µ § ). (6)

II. Skalyar vuruрu skalyar hasil iєarYsi xaricind зэxarmaq olar:

( лµ §, µ § ) = л( µ §, µ § ) = ( µ §, лµ § ) (7)

III. Skalyar hasilin paylanma ( distributivlik ) xassYsi vardэr:

( µ § + µ § , µ § ) = ( µ § , µ § ) + ( µ § , µ § ). (8)

IV. µ § = ax µ § + ay µ § + az µ § vY µ § = bx µ § + by µ § + bz µ § vektorlarэnэ skalyar hasili onlarэn koordinatlarэ ilY

(µ §) = axbx + ayby + azbz (9)

єYklindY ifadY olunur. Ortlar ьзьn lyar hasili aєaрэdaki kimi alarэq:

µ § · µ § = 1, µ § · µ § = 1, µ § · µ § = 1

µ § · µ § = 0, µ § · µ § = 0, µ § · µ § = 0.

Xьsusi halda, µ § = µ § olarsa, onda (9) bYrabYrliyini

µ § 2 = ax2 + ay2 + az2

kimi yazmaq olar. Buradan vY (5) dьsturundan µ § vektorunun uzunluрu ьзьn

µ § = µ § (10)

dьsturunu alэrэq.

V. (1) , (9) vY (10) dьsturlarэna YsasYn µ § vY µ § vektorlarэ arasэndakэ ц bucaрэnэ hesablamaq ьзьn

µ § = µ §

vY ya

µ § = µ §

dьsturunu almaq olar. Buradan µ § vY µ § vektorlarэnэn ortoqonal olmasэ єYrti alэnэr: µ § vY µ § vektorlarэnэn ortoqonal olmasэ ьзьn

axbx + ayby + azbz = 0

mьnasibYtinin цdYnilmYsi zYruri vY kafi єYrtdir.

VI. Verilmiє µ § vY µ § vektorlarэ vY ixtiyari µ § vektoru ьзьn

µ § · µ § = µ § · µ § (12)

mьnasibYti цdYnilirsY, onda µ § = µ §.

2. Vektorlarэn vektorial hasili.

MьYyyYn ardicillэqla gцtьrьlmьє vY komplanar olmayan µ §(birinci), µ § (ikinci) vY µ § (ьзьncь) vektorlarэ gцtьrYk. Bu vektorlarэn baєlanрэcэna bir nцqtYyY kцзьrsYk, aєaрэdakэ iki vYziyyYtin biri alэnэr:

I. µ § vektorunun son ucundan baxdэqda µ § vektorunu µ § vektoru ьzYrinY gYtirmYk ьзьn kiзik bucaq gYdYr fэrlama saat YqrYbi hYrYkitinin YksinY olur. Bu halda, deyirlYr ki, µ § ,µ § , µ § vektorlarэ ьзlьyь saр oriyentasiyalэdэr vY ya saр ьзlьkdьr.

II. µ § vektorunun µ § vektorunu µ § vektoru ьzYrinY gYtirmYk ьзьn kiзik bucaq gYdYr fэrlama saat YqrYbi hYrYkitinin istiqamYtindY olur. Bu halda isY µ § ,µ § , µ § vektorlarэ sol oriyentasiyalэ ьзlьk vY ya sol ьclьk adlanэr.

ЏgYr µ § , µ § , µ § Dekart koordinat bazisi ьзlьyь saр oriyentasiyalэdэrsa, onda koordinat sisteminY saр Dekart koordinat sistemi, hYmin ьзlьk sol oriyentasiyalэ olduqda isY koordinat sisteminY sol Dekart koordinat sistemi deyilir.

Biz urada saр Dekart koordinat sistemindYn istifadY edYcYyik.

є TYrif. µ §(birinci) vektorunun µ § (ikinci)vektoruna vektorial hasili aєaрэdakэ ьз єYrti цdYyYn µ § vektoruna deyilir:

1) µ § vektorunun uzunluрu µ § vY µ § vektorlarэ ьzYrindY qurulmuє paraleloqramэn sahYsinY bYrabYr olsun:

µ § = µ § µ § µ § , ц = (µ § ,€ µ §).

2) µ § vektoru µ § vY µ § vektorlarэnэn mustYvisinY perpendikulyar olsun.

3) µ § ,µ § , µ § ьзlьyь saр oriyentasiyalэ olsun.

µ § vY µ § vektorlarэnэn vektoriyal hasili µ § = µ § vY ya µ § = µ § · µ § ilY iєarY olunur.

TYrifdYn aydэndэr ki, kollinear olan µ § vY µ § vektorlarэn vektorial hasili sэfra bYrabYrdir. Bunun tYrsi dY doрrudur. DemYli µ § vY µ § vektorlarэnэn kollinear olmasэ ьзьn onlarэn vektorial hasilinin sэfra bYrabYr olmasэ, µ § = 0, zYruri vY kafi єYrtdir. Xьsusi halda,

µ § · µ § = 0.

Vektorlarэnэn vektorial hasilinin aєaрэdakэ xassYlYri vardэr.

I. Vektorial hasil yerdYyiєmY (kommutativlik) xassYsinY tabe deyildir

µ § · µ § = - µ § · µ § (1)

II. Skalyar vuruрu vektorial hasil iєarYsi xaricinY зэxarmaq olar:

(лµ §) · µ § = µ § · (лµ §) = л(µ § · µ §). (2)

III. Vektorial hsdilin paylanma xassYsi vardэr:

µ § · (µ §) = µ § · µ § + µ § · µ § (3)

(µ § + µ §) · µ § = µ § · µ § + µ §. (4)

3. Paraleloqramэn vY ьзbucaqэn sahYsi.

Tutaq ki, µ § ( ax, ay, az ) vY µ § ( bx, by, bz ) vektorlarэ цz koordinatlarэ ilY verilmiєdir. Bu vektorlarэn vektorial hasilinin verilmiє koordinatlarla ifadYsini tapaq. Bu mYqsYdlY µ § , µ § , µ § koordinat ortlarэnэn cьt-cьt vektorial hasillYrini hesablayaq. Vektorial hasilin tYrifinY gцrY:

µ § · µ § = 0, µ § · µ § = 0, µ § · µ § = 0.

Koordinat ortlarэnэn yerlYєmYsindY isY aydэndэr ki,

z µ § · µ § = µ § , µ § · µ § = - µ §,

µ § · µ § = µ §, µ § · µ § = - µ §,

µ § µ § · µ § = µ §, µ § · µ § = - µ §.

Onda

0 µ § y µ § = ax µ § + ay µ § + az µ §

vY

µ § µ § = bx µ § + by µ § + bz µ §

x vektorlarэnэn vektorial hasilini

µ § · µ § = µ § · µ § + µ § · µ § + µ § · µ § (1)

µ § · µ § = µ § (2)

yazmaq olar.

єN Y t i c Y 1. Iki tYrifi uyрun olaraq

µ § ( ax , ay , az ) vY µ § ( bx , by , bz )

olan ьзbucaqin sahYsi, hYmin vektorlar ьzYrindY qurulmuє paraleloqramэn sahYsinin yarэsэna bYrabYrdir:

S = µ § µ § · µ § . (3)

ЏgYr ьзbucaqэn verilmiє A( x1, y1, z1 ), B (x2, y2, z2) vY C(x3, y3, z3) tYpYlYrini birlYєdirsYk µ § = AB vY µ § = AC vektorlarэnэ alэrэq. Bu vektorlarэn koordinatlarэ:

ax = x2 ЁC x1, ay = y2 ЁC y1, az = z2 ЁC z1,

bx = x3 ЁC x1, by = y3 ЁC y1, bz = z3 ЁC z1.

Onda ьзbucaрэn sahYsini

S = µ § µ §

dьsturunda ax, ay, az, bx, by, bz YdYdlYrinin yerinY gцstYrilYn qiymYtlYri yazmaqla hesablamaq olar.

єN Y t i c Y 2. µ § ( ax , ay , az ) vY µ § ( bx , by , bz ) vektorlarэnэn kollinear olmasэ ьзьn zYruri vY kafi єYrt

µ § = µ § = µ § (4)

olmasэdэr.

єMisal 1. µ § (1, -2, 3) vY µ §(2, 1, -1) vektorlarэ ьzYrindY qurulmuє paraleloqramэn sahYsini tapmalэ

(1) dьsturuna gцrY

µ § · µ §= - µ § + 7µ § + 5µ §

olduрundan

S = µ § · µ § = µ § = 5µ §

4. Ьз vektorun qarэєэq hasili.

єTYrif. µ § (birinci) , µ § (ikinci) vY µ § (ьзьncь) vektorlarэnэn birinci ikisinin µ § · µ § vektprial hasilinin ьзьncь µ § vektoruna skalyar hasili, yYni (µ § · µ §) · µ § igadYsi, hYmin vektorlarэn qarэєэq vY (µ § , µ § , µ §) vY yaxud µ § µ § µ § ilY iєarY olunur.

TYrifdYn aydэndэ r ki, ьє vektorun qarэєэq hasili skalyar kYmiyyYtdir.

Teorem. Komplanar olmayan a, b, c vektorlarэnэn qarэєэq hasilinin modulu hYmin vektorlar ьzYrindY qurulmuє paralelepipedin hYcminY bYrabYrdir.

V = (µ § · µ §) · µ § (1)

µ § µ § µ § = µ § (2)

єQarэєэq hasil ьзьn tapdэрэmэz (2) gцstYriliєindYn istifadY edYrYrk, onun bir sэra xassYlYrini mьYyyYn etmYk olar.

I. µ § µ § µ § vektorlarэnэn dairYvi yerdYyiєmYsiqarэєэq hasili dYyiєmir:

µ § µ § µ § = µ § µ § µ § = µ § µ § (3)

II. Vuruqlarэnэn dairYvi olmayan baєqa yerdYyiєmYsi nYticYsindY qarэєэq hasilin ancaq iєarYsi dYyiєir:

µ § µ § µ § = - µ § µ § µ § = - (µ § µ § µ §) = - (µ § µ § µ § ) (4)

III. Qarэєэq hasil vuruqlarэnэn hYr birinY nYzYrYn xYttidir. л vY м YdYdlYri ьзьn

(л1µ §1 + л2µ §2) µ § µ § = л1(µ §1µ § µ §) + л2(µ §2 µ § µ §) (5)

bYrabYrliyi doрrudur.

IV.Ьc µ § µ § µ § vektorunun komplanar olmasэ ьзьn onlarэn qarэєэq hasilinin sэfra bYrabYr olmasэ, yYni

µ § µ § µ § = 0 (7)

vY yaxud

µ § = 0 (8)

olmasэ zYruri vY kafэ єYrtdir.

5. Paralelepiped vY piramidanэn hYcmi.

єЬз vektorun qarэєэq hasili haqqэnda yuxarэda isbat etdiyimiz teoremnYn istifadY edYrYk, tYpYlYti verilmiє M1, M2, M3, M4 nцqtYlYri olan piramidanэn hYcmini hesablamaq olar.

V = µ § µ § µ § µ § (9)

vY ya

V = µ § µ § (10)

єMisal 1. TYрYlYri M1 (1,2,0), M2 (-1,0,1), M3 (2,-2,1) vY M4 (3,2,1) olan piramidanэn hYcmini hesablamalэ.

Bu mYqsYdlY,YlcY µ § = µ § , µ § = µ § , vY µ § = µ § vektorlarэnэ tapaq:

µ § = -2µ § - 2µ § + µ §, µ § = µ § - 4µ § + µ §, µ § = 2 · µ § + 0 · µ § + µ §.

Onda (1) dьsturuna gцrY

V = µ § µ § = µ § -8-4+8+2 = µ § .

Mцvzu 6

MьstYvidY analitik hYndYsY. Dьz xYttin tYnliklYri.

1. MьstYvidY analitik hYndYsY.

2. Dьz xYttin bucaq Ymsallэ tYnliyi.

3. Dьz xYttin ьmumi tYnliyi.

4. Dьz xYttin polyar koordinatlarda tYnliyi.

5. Dьz xYttin parзalarla tYnliyi.

6. Dьz xYttin normal tYnliyi.

7. NцqtYdY dьz xYttY gYdYr olan mYsafY.

1. MьstYvidY analitik hYndYsY.

єTYrif 1. Verilmiє Oxy koordinat sistemindY L xYttinin tYnliyi elY F(x,y)=o (1) tYnliyinY deyilir ki, onu yalnэz vY yalnэz bu xYtt ьzYrindYki nцqtYlYrin koordinatlarэ цdYyir.

єTYrif 2. x vY y dYyiєYnlYrinY nYzYrYn iki dYrYcYli tYnliklY tYyin olunan xYtt (Yyri) ikitYrtibli xYtt(Yyri ) adlanэr.

2. Dьz xYttin bucaq Ymsallэ tYnliyi.

y=kx+b (1)

TYnliyinY dьz xYttin bucaq Ymsallэ tYnliyi deyilir.

b=0 olduqda (1) tYnliyi y=kx єYklinY dьєьr, y=kx isY koordinat baєlanрэcэndan keзYn vY bucaq Ymsalэ k olan dьz xYttin tYnliyidir.

k=0 olduqda (1) tYnliyi y=b єYklinY dьєьr , bu da absis oxuna paralel olan dьz xYttin tYnliyidir.

M0 (x0, y0) nцqtYsindYn keзYn vY bucaq Ymsalэ k olan dьz xYttin tYnliyi

y - y0 = k (x-x0)

єYklindYdir.

M1 (x1, y1) vY M2 (x2, y2) nцqtYlYrindYn keзYn dьz xYttin tYnliyi

µ §

olar.

3. Dьz xYttin ьmumi tYnliyi.

Dьz xYttin ьmumi tYnliyi µ § (1) єYklindYdir. Burada A,B vY C Ymsallarэnэn qiymYtlYrindYn asэlэ olaraq hYmin tYnliyin tYyin etdiyi dьz xYttin verilmiє koordinat sisteminY gцrY necY yerlYєdiyini tYdqiq edYk.

1 . µ § olsun . Onda (1) tYnliyini

µ § vY ya µ §µ § (2)

olar. (2) tYnliyi bucaq Ymsalэ µ § vY ordinat oxundan ayэrdэрэ parзanэn

qiymYti µ § olan dьz xYttin tYnliyidir.

2. µ §olsun. Bu halda (1) tYnliyini

µ § (3)

єYklindY yazmaq olar. (3) tYnliyi absis oxuna paralel olan dьz xYttin tYnliyidir.

3. µ § olduqda (1) tYnliyini

µ § (4)

єYklindY yazmaq olar, bu da ordinat oxuna paralel dьz xYttin tYnliyidir.

4. AЃ‚0, BЃ‚0 vY C=0 olduqda (1) tYnliyini

µ § (5)

єYklindY yazmaq olar, buda koordinat baєlanрэcэndan keзYn dьz xYttin

tYnliyidir.

5. AЃ‚0, B=0 vY C=0 olduqda (1) tYnliyini x=o (6) єYklindY yazmaq olar bu da ordinat oxunun tYnliyidir.

6. A=C=O vY BЃ‚O olduqda (1) tYnliyi obsis oxunun y=o (7) tYnliyinY зevrilir.

4. Dьz xYttin polyar koordinatlarda tYnliyi.

Dьz xYttin polyar koordinat sistemindY tYnliyini cэxarmaq ьзьn,mьstYvi ьzYrindY polyar koordinat sistemi vY hYr hansэ L dьz xYttini gцtьrYk. Polyusdan L dьz xYttinY ON perpendikulyarэ зYkib bu perpendikulyar ьzYrindY O nцqtYsindYn L dьz xYttinY tYrYf istiqamYt tYyin edYk.µ § vY µ § vektorunun OP oxu ilY YmYlY gYtirdiyi mьsbYt bucaрэ б ilY iєarY edYk.

L dьz xYtti ьzYrindY µ § nцqtYsi gцtьrsYk onda

µ §vY µ §

ifadYlYrinin sol tYrYflYri bYrabYr olduрundan , alarэq.

µ § (1) (1) ifadYsi L dьz xYttinin polyar koordinat sistemindY tYnliyi adlanэr.

5. Dьz xYttin parзalarla tYnliyi.

Koordinat oxlarэnэn hec birinY paralel olmayan koordinat baєlanрэcэndan keзmYyYn L dьz xYtti gцtьrYk. Dьz xYttin obsis vY ordinat oxlarэnэ kYsdiyi nцqtYlYr uyрun olaraq M(a,o) vY N(o,b) olsun.L dьz xYttinin tYnliyini

µ § (1)

єYklindY yazsaq, єYrtY gцrY AЃ‚0, BЃ‚0 vY CЃ‚0 olar.

M(a,o) vY N(o,b) nцqtYlYri L dьz xYtti ьzYrindY yerlYєdiyin

dYn, onlarэn koordinatlarэ (1) tYnliyini цdYyir.

Aa+C=o, Bb+C=o Buradan ;

µ § vY µ § (2)

(1) tYnliyini Ax+By=- C єYklindY yazaraq, bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini (- C)-

yY bцlsYk

µ §

vY (2) bYrabYrliklYrini nYzYrY alsaq ;

µ § (3)

olar. Bu tYnliyY dьz xYttin parзalarla tYnliyi deyilir.

6. Dьz xYttin normal tYnliyi.

MьstYvi ьzYrindY (0Чy) koordinat sistemi vY ЃН L dьz xYtti gцtьrYk. Koordinat baєlanрэcэnэ polyus vY absis oxunu polyar ox hesab etsYk , alэnan polyar koordinat sistemindY L dьz xYttinin tYnliyi

с cos(б-ц)=p (1)

olacaqdэr. (1) tYnliyinin sol tYrYfini aзsaq

с cosцcosб+с sinцsinб=p

vY polyar koordinatlarla dьzbucaqlэ koordinatlar arasэndakэ x=сcosц vY y=сsinц YlaqY dьsturlarэndan istifadY etsYk

xcosб+ysinб-p=0 (2)

tYnliyini alarэq. Bu tYnlik dьz xYttin normal tYnliyi vY ya dьz xYttin tYnliyinin normal єYkli adlanэr. P vY б YdYdlYrinY normal tYnliyin parametirlYri deyilir.

7. NцqtYdY dьz xYttY gYdYr olan mYsafY.

Verilmiє Mo (xo, yo) nцqtYsindYn Ax + By + C =0 (1) dьz xYttY qYdYr olan mYsafYni tapmaq ьзьn YvvYlcY dьz xYttin (1) tYnliyini normal єYklY salmaq , hYr iki tYrYfini м YdYdinY vururlar.

µ §

Bu tYnliyin normal tYnlik olmasэ ьзьn

µ §

olmalэdэr. Birinci iki bYrabYrlikdYn м vuruрunu tapaq;

м = µ §

м YdYdinY normallaєdэrэcэ vuruq deyilir. (1) tYnliyini normal єYklY gYtirdikdYn sonra M0 (x0, y0 ) nцqtYsindYn hYmin dьz xYttY qYdYr olan mYsafY

µ §

dьsturu ilY hesablanэr.

Mцvzu 7

ЭkitYrtibli YyrilYr.

1. Ellips (kanonik tYnliyi).

2. Hiperbola (kanonik tYnliyi).

3. Parabola (kanonik tYnliyi).

1. Ellips (kanonik tYnliyi).

єTYrif. MьstYvi ьzYrindY fokus adlanan verilmlє iki µ §vY µ § nцqtYsindYn mYsafYlYrinin cYmi sabit YdYd olan nцqtYlYrin hYndYsi yerinY ellips deyilir.

Ellipsin tYnliyini зэxarmaq ьзьn mьstYvi ьzYrindY dьzbucaqlэ koordinat sistemi gцtьrYk vY ellepsin fokuslarэnэn absis oxu ьzYrindY koordinat baєlanрэcэna nYzYrYn simmetrik yerlYєdiyini fYrz edYk.

Onda ellips ьzYrindY yerlYєYn µ § nцqtYsi ьзьn ;

µ § (1)

Burada 2a ilY tYrifdY gцstYrilYn sabit YdYd iєarY olunmuєdur.

µ §

qYbul etsYk , onda

µ § µ § vY µ §

olar. Bu halda iki nцqtY arasэndakэ mYsafY dьsturuna gцrY

µ § vY µ §

(1) bYrabYrliyinY YsasYn B2

µ § + µ § =2a (2)

Bu ellipsin axtarэlan tYnliyidir. Ellipsin (2) tYnliyini sadY єYklY gYtirmYk ьзьn onu radikallardan qurtardэqdan sonra

µ § olar.

Buradan

µ § (3)

µ § olduрundan µ § qYbul etmYk olar. Onda (3) tYnliyi

µ § (4)

єYklindY yazэlar. (4) tYnliyinY ellipsin kanonik tYnliyi deyilir.

y

B1

b

F2 F1 x

A2 0 A1

a

B2

єElipsin formasэ a / b nisbYtindYn vY ya ellipsin ekssentrisiteti adlanan

µ § = µ §

adlanan kYmiyyYtdYn asэlэdэr. µ § olduрundan µ § olar. b = a olduqda (yYni µ §) kanonik tYnliyi

x2 + y2 = a2 (5)

kimi зevrY tYnliyinY зevrilir, yYni ellips a radiuslu зevrYyY зevrilir.

Ellipsэn fokuslarэnэ yerlYєdiyi simmetriyaya oxuna onun fokal oxu deyilir. Kanonik tYnliyi ьзьn fokal ox absis oxudur.

Ellipsin fokal oxuna perpendikulyar olan x = µ § vY x = µ § dьzxYtlYri onun direktrislYri adlanэr. µ § olduqundan µ § olar. DemYli, ellipsin ditektrislYrinin biri A1 tYpYsinin saрэnda, obiri isY A2 tYpYsinin solundan keзir vY ellipsэ kYsmillYr.

2. Hiperbola (kanonik tYnliyi).

єTYrif. Fokus adlanan verilmiє iki F1 vY F2 nцqtYsindYn mYsafYlYrinin fYrqi mьtlYq qiymYtcY sabit kYmiyyYt olan nцqtYlYrin hYndYsi yerinY hiperbola deyilir.

y

r2 M

r1

F2 A2 0 A1 F1 x

Hiperbolanэn tYnliyini зэxarmaq ьзьn yenYdY tYrifdY gцstYrilYn mьsbYt sabiti 2a , fokuslar arasэndakэ mYsafYni 2c vY fokuslarэn absis oxu ьzYrindY koordinat baєlanрэcэna nYzYrYn simmetrik yerlYєdiyini qYbul edYk. Onda tYrifY gцrY F1( c; o), F2( -c; o) vY M( x,y) nцqtYlYri ьзьn

µ § vY ya µ §

buradan

µ § µ §=µ § (1)

tYnliyi hiperbolanэn axtarэlan tYnliyidir. Bu tYnliyi ellipsin tYnliyi kimi sadYlYєdirsYk, yenY dY

µ § (2)

mьnasibYtini alarэq. Bu halda µ §olduрundan µ § qYbul edYrYk (2) tYn-liyini

µ § (3)

єYklindY yazmaq olar. (3) tYnliyinY hiperbolanэn kanonik tYnliyi deyilir.

єHiperbolanэn asimptodlarэnэn tYnlikYri µ § vY µ § x bunlardэr.

Koordinat oxlarэ hiperbolanэn simmetriya oxlarэdэr.

Hiperbolanэn simmetriya oxlarэnэn kYsiєmY nцqtYsinY onun mYrkYzi deyilir.

A1A2 vY B1B2 parзalarэ hiperbolanэn uyрun olaraq hYqiqi vY xYyali oxlarэ adlanэr. Hiperbolanэn hYqiqi oxunun uzunluрu 2a xYyali oxunun uzunluрu isY 2b-yY bYrabYrdir. a vY b YdYdlYri hiperbolanэn uyрun olaraq hYqiqi vY xYyali yarэmoxlarэ adlanэrlar.

єHiperbolanэn formasэ µ § nisbYtindYn vY ya onun ekssentrisiteti adlanan

µ § = µ §

kYmiyyYtindYn asэlэdэr. µ § olduqundan, µ § alэnэr. a = b olduqda hiperbolanэn tYnliyi

x2 ЁC y2 = a2 (4)

єYklindY yazэlэr. Bu halda hiperbolaya bYrabYrtYrYfli hiperbola deyilir. Fokuslarэn yerlYєdiyi oxa hiperbolanэn fokal oxu deyilir. TYnliklYri x = µ § vY x = µ § olan dьzxYtlYr fokal oxa perpendikulyar olur hiperbolanэn tYpYlYri ilY koordinat baєlanрэcэ arasэndan keзir. Bu xYtlYrY hiperbolanэn direktrislYri deyilir.

TYnliklYri uyрun olaraq

µ § vY µ §

olan hiperbolar qoєma hiperbolar adlanэrlar.

3. Parabola (kanonik tYnliyi).

єTYrif. Fokus adlanan verilmiє F nцqtYsindYn vY direktris adlanan verilmiє d dьz xYttindYn eyni uzaqlэqda olan nцqtYlYrin hYndYsi yerinY parabola deyilir.

Parabolanэn tYnliyini зэxarmaq ьзьn F fokusunun absis oxu ьzYrindY yerlYєdiyini vY d direktrisinin hYmin oxa µ § olduрunu qYbul edYk. Fokusla direktris arasэndakэ mYsafY µ § olsun . FYrz edYk ki, koordinat baєlanрэcэ FD parзasэnэn orta nцq-tYsindY yerlYєir. Onda

µ §

vY parabolanэn ЃН M (x,y) nцqtYsi ьзьn ;

MF=MN

µ §

Buradan

µ § vY yaxud

µ § (1)

єP kYmiyyYti parabolanэn parametri adlanэr. Parabola Yyrisi absis oxuna nYzYrYn simmetrikdir. Parabola Yyrisinin 1 simmetriya oxu varsэr. O nцqtYsi onun tYpY nцqtYsi, OX oxu isY onun fakal oxu adlanэr.

Bir parabolasэ ilY ordinat oxuna nYzYrYn simmetrik olan parabola

y2 = -2px

tYnliyi ilY tYyin olunar.

(1) tYnliyinY parabolanэn kanonik tYnliyi deyilir.

y

N M(x, y)

P

D 0 F x

Mцvzu 8

FYzada dьz xYtt vY mьstYvi tYnliklYri.

1. FYzada iki dьz xYttin qarєэlэqlэ vYziyyYti.

2. FYzada dьz xYtt vY mьstYvinin qarєэlэqlэ vYziyyYti.

3. SYthin fYzada tYnliyi ( silindrik vY fэrlanma sYthlYri).

1. FYzada iki dьz xYttin qarєэlэqlэ vYziyyYti.

єMьstYvinin normal tYnliyi. Tutaq ki, mьstYvidY veriilmiє M nцqtYsinY gYdYr koordinat baєlanрэcэndan olan p mYzafYsindY r radius vektoru зYkilmiзdir. Bundan YlavY hYmin O nцqtYsindYn mьstYviyY doрru n0 perpendikulyar endirilmiєdir. Bu єYrtlYrdY r radius vektorunun proyeksiyalarэ vY n0 perpendikulyarэn yцnYldici kosinuslarэndan istifadY etsYk, mьstYvi ьзьn

x cosµ § (1)

normal tYnliyi alэrэq.

MьstYvinin

Ax + By + Cz + D = 0 (2)

Ьmьmi tYnliyini normal tYnliyY gYtirmYk ьзьn onu normallayэcэ

µ § (3)

Vuruрa vurmaq lazэmdэr.

Misal 1. MьstYvinin µ § ьmumi tYnliyini normal єYklY gYtirin.

1-ci addэm. Normallayэcэ vuruрu hesablayaq:

µ § .

2-ci addэm. M qiymYtini verilmiє tYnliyin hYr iki tYrYfinY vuraraq alэrэx:

µ §.

3-cь addэm. YцnYldici kosinuslarэ isY vY p qiymYtini aєaрэdakэ dьsturlara gцrY alэrэq:

µ § = µ § ; µ § =µ § ;

µ § ; µ §

єЭki mьstYvinin arasэndakэ bucaq. Tutaq ki, iki

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (4)

mьstYvi verilir. Iki mьstYvinin YmYlY gYtirdiyi iki qonєu ikiьzlь bucaqdan istYnilYn birinY hYmin iki mьstYvi arasэndakэ bucaq deyilir vY

µ § (5)

єFYzada dьzxYttin tYnliyi. FYzada dьzxYtti kanonik tYnliklYrini

µ § (6)

єYklindY yaza bilYrik. Burada (x, y, z) cari nцqtYnin koordinatlarэdэr,

µ §

M nцqtYsinin µ § vektorunun koordinatlarэdэr.

єЭki dьzxYtt arasэndakэ bucaq. Tutaq ki, tYnliklYri

µ §

Olan iki mьstYvi verilmiєdir vY onlar kYsiєYrYk ц bucaqэnэ tYзkil edirlYr. HYmin bucaрэ

µ § (7)

Dьsturuna YsasYn hesablayэrэq. Burada (m1, n1, p1) vY (m2, n2, p2) mьstYvilYrin yцnYldici vektorlarэdэr.

Misal 2. µ § vY µ § dьz xYtlYri arasэndakэ bucaрэ tapэn.

Birinci dьzxYtt ьзьn yцnYldici Ymsallar m1=1, n1=-4, p1=1, ikinci ьзьn isY m2=2, n2=-2, p2=-1 olur, ona gцrY

cosµ § .

Buradan ц=µ § vY ya ц=µ § alэnэr.

єЭki dьz xYttin paralellik vY perpendikulyarlэq єYrtlYri. Dьz xYtlYrin perpendikulyar olmasэ halэnda cosµ § olur vY (7) dьsturdan axtarэlan єYrti alэrэq.

µ §= 0 (8)

bu perpendikulyarlэq єYrtidir.

єDьz xYttin istiqamYti. µ § nisbYtlYri ilY mьYyyYn olduрu halda iki dьz xYttin paralellik єYrti

µ § . (9)

2. FYzada dьz xYtt vY mьstYvinin qarєэlэqlэ vYziyyYti.

єDьz xYtlY mьstYvi arasэndakэ bucaq. Tutaq ki, dьz xYttin tYnliklYri

µ § ,

mьstYvinin tYnliyi isY

Ax + By + Cz + D = 0-dir

MьstYviyY perpendikulyarэn A, B, C proyeksiyalarэna vY verilYn dьz xYttin m, n, p yцnYldici Ymsallarэna gцrY bucaрэn kosinusunu aєaэрэdakэ dьstura gцrY tapmaq mьmkьndьr.

µ § (1)

єDьz xYtlY mьstYvinin paralellik vY perpendikulyarlэq єYrtlYri.

µ § ,

dьz xYtti ilY

Ax + By + Cz + D = 0

MьstYvinin paralel olmasэ halэnda bunlarэn arasэndakэ bucaq sэfra bYrabYr olur; buna gцrY dY, sinц=0 vY (1) dьsturu axtarэlan єYrti verir:

Am+Bn+Cp = 0 (2)

3. SYthin fYzada tYnliyi ( silindrik vY fэrlanma sYthlYri).

єTYrif. x y, z dYyiєYnlYrinY nYzYrYn ikidYrYcYli tYnliklY tYyin olunan sYthY ikitYrtibli sYth deyilir.

ЭkitYrtibli sYthlYrin ьmumi tYnliyi.

µ § (1)

єYklindY yazэlэr.

VerilYn dьz xYttY paralel qalan vY verilYn L xYttini kYsYn mьtYhYrrik dьz xYttin cэzdэрэ sYthY silindirik sYthY deyilir.

Elliptik silindir, µ § tYnliyi ilY hYll olunmuє vY doрuranlarэ Oz oxuna paralel olan silindrY deyilir. Elliptik silindrin yцnYldicisi Oxy mьstYvisi ьzYrindY yerlYєYn ellipsdir.

µ §

tYnliklYr ilY, tYyin olunan vY doрuranlarэ Oz oxuna paralel olan silindrik sYthlYrY uyрun olaraq hiperbolik vY parabolik silindr deyilir.

Elliptik, hiperbolik vY parabolik silindirlYrY ikitYrtibli silindirlYr deyilir.

є1. Ellipsoid kanonik tYnliyi.

µ §

olan ikitYrtibli sYthY deyilir. a=b=c olduqda ellipsoid sferaya зevrilir.

2. Biroyuqlu hiperboloid kanonik tYnliyi

µ §

olan ikitYrtibli sYthY deyilir.

3. Эkioyuqlu hiperboloid kanonik tYnliyi

µ §

olan ikitYrtibli sYthY deyilir.

4. Konus kanonik tYnliyi

µ §

olan ikitYrtibli sYthY deyilir.

5. Elliptik paraboloid kanonik tYnliyi

µ §

olan ikitYrtibli sYthY deyilir.

6. Hiperbolik paraboloid kanonik tYnliyi

µ §

olan ikitYrtibli sYthY deyilir.

Mцvzu 9

Funksiyanэn tYrifi, tYyin vY qiymYtlYr oblastэ.

1. Funksiyanэn tYrifi, tYyin vY qiymYtlYr oblastэ.

2. Funksiyanэn verilmYsi ьsullarэ.

3. Џsas elementar funksiyalarэn xassYlYri.

4. Sonsuz azalan vY sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtlYr, xassYlYri.

1. Funksiyanэn tYrifi, tYyin vY qiymYtlYr oblastэ.

єVerilmiє x vY y dYyiєYn kYmiyyYtlYri bir-birindYn asэlэ olmayaraq istYnilYn qiymYtlYri ala bilirsY, yYni birinin aldэрэ qimYtlYr, o birinin aldэрэ qiymYtlYr alэb-almamasэndan asэlэ deyilsY, onlara asэlэ olmayan vY ya sYrbYst dYyiєYn kYmiyyYtlYr deyilir. Aydэndэr ki, belY dYyiєYn kYmiyyYtlYri ayэrdэqda цyrYnmYyin heз bir mYnasэ yoxdur. Buna gцrY dY riyaziyyat elmindY asэlэ olan dYyiєYn kYmiyyYtlYr цyrYnilir.

Funksiya

Y = y(x), y = f(x), y = ц(x), y = F(x), ...