Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

µ §.

8. µ § parзasэnda µ § olarsa, onda

µ §.

9. µ § parзasэnda tYyin olunmuє µ § funksiyasэ ьзьn aєaрэdakэ bYrabYrlik doрrudur:

µ §.

10. ЏgYr m vY M YdYdlYri µ § funksiyasэnэn µ § parзasэnda Yn bцyьk vY Yn kiзik qiymYtlYri vY µ § olarsa, onda

µ §.

11. Orta qiymYt haqqэnda teorem. ЏgYr µ § funksiyasэ µ § parзasэnda kYsilmYzdirsY, onda bu parзada elY µ § nцqtYsi tapmaq olar ki, aєaрэdakэ bYrabYrlik doрru olsun:

µ §.

єMьYyyYn vY qeyri-mьYyyYn inteqrallar arasэnda YlaqY

Tutaq ki, µ § inteqralэnэn aєaрэ sYrhYdi hYmiєYki kimi sabit YdYddir, lakin yuxarэ sYrhYdi ЁC b dYyiєir. Onda inteqralэn qiymYti dY dYyiєYr, yYni inteqral yuxarэ sYrhYdin funksiyasэdэr.

Yuxarэ sYrhYdi x ilY iєarY edYk vY bunu inteqrallama dYyiєYni ilY qarэєdэrmamaq ьзьn sonuncunu t ilY iєarY edYk µ §

ѓи

x+ѓґx

y = f (x)

a

x

y

x

X

A

O

ѓґѓ¶

ѓ¶ѓnѓn(x)

f (ѓиѓnѓw

ЄYkil 3

a sabit olduрundan bu inteqral yuxarэ sYrhYdin, yYni x-in funksiyasэnэ tYyin edir. Bu funksiyanэ µ § ilY iєarY edYk

µ § (1)

ЏgYr µ § mYnfi deyilsY, µ § funksiyasэ YdYdi qiymYtcY aAXx YyrixYtli trapesiyasэnэn sahYsinY bYrabYrdir (єYkil3). Aydэndэr ki, hYmin sahY

x-dYn asэlэ olaraq dYyiєir.

Teorem. ЏgYr µ § funksiyasэ kYsilmYzdirsY, onda yuxarэ sYrhYdi dYyiYєYn olan mьYyyYn inteqralэn tцrYmYsi vardэr vY inteqralaltэ funksiyanэn yuxarэ sYrhYddY aldэрэ qiymYtY bYrabYrdir, yYni

µ § (2)

Эsbatэ. x-in ixtiyari µ § qiymYtini gцtьrYk vY ona elY µ § artэmэ verYk ki, µ §. Onda mьYyyYn inteqralэn 4-cь xassYsinY YsasYn alarэq:

µ §

Buradan µ § funksiyasэnэn artэmэnэ tapaq:

µ §.

Orta qiymYt haqqэnda teoremi (11-ci xassY) tYtbiq etsYk, alarэq

µ §,

burada µ § YdYdi x ilY x + ѓґx arasэndadэr. BYrabYrliyin iki tYrYfini dY ѓґx bцlYk

µ §.

ЏgYr indi µ §, onda µ § vY µ § funksiyasэ µ § parзasэnda kYsilmYz olduрu ьзьn µ §. Onda axэrэncэ bYrabYrlikdY µ § єYrtindY limitY keзsYk alarэq

µ §

vY ya µ §. Teorem isbat olundu.

BelYliklY, mьYyyYn edilib ki, istYnilYn µ § parзasэnda kYsilmYz µ § funksiyasэnэn bu parзada ibtidai funksiyasэ var vY µ § funksiyasэ ЁC yuxarэ sYrhYdi dYyiєYn olan mьYyyYn intaqral ЁC µ § ьзьn ibtidai funksiyadэr. µ § funksiyasэ ьзьn baєqa ibtidai funksiya µ §-dan yal­nэz C sabitinY fYrqlYndiyindYn biz mьYyyYn vY qeyri-mьYyyYn inteqral arasэnda olan YlaqYni mьYyyYn etmiє oluruq:

µ §

3. MьYyyYn inteqralda dYyiєYni YvYzetmY vY hissY-hissY

inteqrallama.

Teorem. ЏgYr F(x) funksiyasэ verilmiє µ §-in ibtidai funksiyalarэndan biri olarsa, onda

µ § (1)

dьsturu doрrudur. Bu dьstura Nyuton-Leybnis dьsturu deyilir.

Эsbatэ. Tutaq ki, F(x) funksiyasэµ §-in hYr hansэ bir ibtidai funk­siyasэdэr. Yuxarэda isbat olunan teoremY gцrY µ § funksiyasэ da µ § ьзьn ibtidaidir. VerilYn funksiyanэn iki ibtidaisi bir-birindYn C sabiti qYdYr fYrqlYndiyindYn aєaрэdakэ kimi yazmaq olar

µ § (2)

C sabiti dьzgьn seзildikdY bu bYrabYrlik istYnilYn x ьзьn doрrudur, yYni eynilikdэr. Bu C sabitini tapmaq ьзьn bu eynilikdY µ § gцtьrYk, onda

µ §,

yaxud µ §; vY buradan µ §

DemYli,

µ §.

Burada x = b gцtьrmYklY Nyuton-Leybnis dьsturunu alarэq

µ §,

vY yaxud inteqrallama dYyiєYni x gцtьrYrYk

µ §.

ЏgYr fYrqi simvolik olaraq

µ §

єYklindY iєarY etsYk, onda (1) dьsturunu belY yazmaq olar

µ §.

Эnteqralaltэ funksiyanэn ibtidai funksiyasэ mYlum olduqda Nyuton-Leybnis dьsturu mьYyyYn inteqralэ hesablamaq ьзьn Ylveriєli ьsul verir.

4. MьYyyYn inteqralэn tYqribi hesablanmasэ.

єDьzbucaqlэlar dьsturu. Tutaq ki, µ § parзasэnda kYsilmYyYn y=f(x) funksiyasэ verilmiєdir vY

µ § (1)

inteqralэnэ tYqribi hesablamaq tYlYb olunur.

µ §

µ § (2)

µ § (3)

bunlara dьzbucaqlэlar dьsturu deyilir.

єTrapeslYr dьsturu . Bu halda (1) YvYzinY

µ § (4)

tYqribi bYrabYrliyi gцtьrьlьr. Bu tYqribi bYrabYrliklYri tYrYf-tYrYfY toplasaq

µ § (5)

tYqribi bYrabYrliyi alэnэr. Buna (1) mьYyyYn inteqralэnэn tYqribi hesablanmasэ ьзьn

trapesiyalar dьsturu deyilir.

єParabolalar vY ya Simpson dьsturu.

(1) Inteqralэnэ tYqribi hesablamaq ьзьn bu halda µ § parзasэnэ

µ §

nцqtYlYri vasitYsilY 2n sayda bYrabYr hissYlYrY ayэrэrlar.

µ §

tYqribi bYrabYrliyini alarэq.

Mцvzu 22

Qeyri-mYxsusi inteqrallar.

1. Sonsuz sYrhYdli inteqrallar.

2. KYsilYn funksiyalarэn inteqrallarэ.

3. Puasson inteqralэ.

1. Sonsuz sYrhYdli inteqrallar.

єTutaq ki, f(x) funksiyasэ µ § sonsuz yarэqapэlэ intervalэnda kYsilmYzdir. IstYnilYn ba ьзьn µ § inteqralэ mцvcьddur vY b dYyiєdikcY da dYyiєir, inteqral b yuxarэ sYrhYdinin kYsilmYz funksiyasэdэr. Bu inteqralэn bµ § єYrtindY dYyiєmYsinin xarakterini цyrYnYk.

TYrif. ЏgYr

µ §

Limiti varsa vY sonludursa, onda hYmin limitY f(x) funksiyasэnэn µ § intervalэnda qeyri-mYxsusi inteqral deyilir vY

µ § (1)

simvolu ilY iєarY edilir. DemYli, tYrifY YsasYn

µ § = µ §

Bu halda deyirlYr ki, µ § qeyri-mYxsusi inteqral var, yaxud yэрэlэr. ЏgYr bµ § єYrtindY µ § inteqralэnэn sonlu limiti yoxdursa, onda deyirlYr ki, µ § qeyri-mYxsusi inteqralэ daрэlэr, yaxud yoxdur.

Misal 1. µ § qeyri-mYxsusi inteqralэ hesablayэn.

µ § = µ § = µ § = µ §,

yYni limiti yoxdur. DemYli, qeyri-mYxsusi inteqral daрэlandэr.

Misal 2. µ § inteqralэ hesablayэn.

µ § = µ § = µ § = µ § = +,

yYni qeyri-mYxsusi inteqral daрэlandэr.

Misal 3. µ § inteqralэ hesablayэn.

µ § = µ § = µ § = µ §(µ §+1) =1.

DemYli, qeyri-зYxsusi inteqral yэрэlandэr.

єTutaq ki, F(x) funksiyasэ f(x) funksiyasэnэn ibtidai funksiyasэdэr.

Onda

µ § = µ § = µ § = µ §.

ЏgYr µ § F(x) = F() iєarYsini qYbul etsYk, onda Nyuton-Leybnis dьsturunun analoqunu alэrэq:

µ § = F() ЁC F(a) (2)

f(x) 0 olduqda qeyri-mYxsusi inteqralэn sadY hYndYsi mYnasэ var: µ § inteqralэ, y = f(x) Yyrisi, absis oxu vY x=a, x=b dьz xYtlYri ilY YhatY olunan YyrixYtli trapesin sahYsini ifadY etdiyi kimi, µ § qeyri-mYxsusi inteqralэ da y = f(x) Yyrisi, x=a xYtti vY absis oxu arasэnda qalan qeyri-mYhdud (sonsuz) oblastэ sahYsini ifadY etdiyini demek tYbiidir.

Baєqa sonsuz intervallarda da qeyri-mYxsusi inteqral anlayэєэ oxєar qayda ilY verilir:

µ § = µ §,

µ § = µ §.

2. KYsilYn funksiyalarэn inteqrallarэ.

єTutaq ki, f(x) funksiyasэ aµ § intervalэnda tYyin olunub vY kYsilmYzdir, lakin x=b nцqtYsindY kэsilir (µ §). a vY b nцqtYlYri arasэnda µ § nцqtYsini gцtьrYk. Onda aydэndэr ki, f(x) funksiyasэ µ § parзasэnda kYsilmYzdir vY onun µ § inteqralэ var. Bu halda

µ § (3)

LimitinY qeyri-mYxsusi inteqral deyilir vY

µ § (4)

simvolu ilY iєarY olunur. ЏgYr (3) limiti varsa vY sonludursa, onda deyirlYr ki, (4) inteqralэ yaрэlandэr.

ЏgYr f(x) funksiyasэ µ § parзasэnэn daxэlэ bir x=c nцqtYsindY kYsilirsY, onda

µ § = µ § + µ § (aµ §).

Burada saр tYtYfdY duran hYr iki qeyri-mYxsusi inteqrallarэn varlэрэ fYrz olunur.

2-ci tip inteqrala dYqiq fikir vermYk lazэmdэr, зьnkь bir єox hallarda sYhvY yol verilir.

Misal 4. I = µ § inteqralэnэ hesablayэn.

I =µ § = µ § = µ §.

Lakin bu doрru deyildir, зьnki inteqralaltэ funksiya mьsbYt olduрundan µ § inteqralэn qiymYti dY mьsbYt olmalэydэ. Эnteqrallama intervalэ daxilindY x=0 µ § nцqtYsindY inteqralaltэ funksiya kYsilir, demYli, tYrifY YsasYn, verilYn inteqralэ iki toplananэn sYmi kimi gцstYrmYliyik:

I = µ § = µ § + µ § = µ § + µ § =

= µ § µ § µ § + µ § µ § µ §=

µ § µ §+ µ § =µ §.

BelYliklY, verilYn inteqral µ § parзasэnda daрэlandэr.

3. Puasson inteqralэ.

Ehtimal nYzYriyyYsindY YhYmiyyYtli rol oynayan sonsuz sYrhYdli qeyri-mYxsusi µ § inteqrala baxaq. Xьsusi halda (a=1 olduqda) µ § inteqralэ Puassonun adэ ilY mYєhurdur. Bu inteqral yэрэlandэr vY onun qiymYti

µ §= µ § vY ya µ § = µ § .

Mцvzu 23

MьYyyYn inteqralэn hYndYsi tYdbiqlYri.

1. Qцvsьn uzunluрu.

2. Fэrlanmadan alэnan cismin hYcmi.

3. Firlanmadan alэnan sYthin sahYsi.

4. ЏyrixYtli trapesiyanэn sahYsi.

1. Qцvsьn uzunluрu.

MьstYvi Yyrinin gцvsьnьn ьzьnlьрunu tapmaq ьзьn hYmin Yyri xYtti ya

y = f(x) , ya x = f(y), vY ya x = x(t), y=y(t) parametrik єYklindY yazmaq lazэmdэr. Onda hYmin gцvsьn diferensialэ funksiyanэn verilmYsinY uyрun olaraq:

µ §

µ §

µ §

Bьtцv qцvsьn µ § uzunluрu isYuyрun olaraq aєaрэdakэ kimi hesablanэr:

µ §

µ §

µ §

burada µ §nцqtYlYrin absislYri, µ §ordinatlarэdэr.

ЏgYr hamar Yyrinin tYnliyi polyar koordinatlarda tYnliyi ilY verilirsY (, onda qцvsьn uzunluрu

dьstьru ilY hesablanэr.

2. Fэrlanmadan alэnan cismin hYcmi.

Burada iki variant mцvcuddur.

1) ЏgYr figur YyrixYtli trapesiyanэn vY ya hYr hansэ Yyrinin OX oxu Ytrafэnda fэrlanmadan alэnarsa, onda cismin parзasэndan gцtьrьlmьє istYnilYn x nцqtYsindYn єaquli istiqamYtindY aparэlan kYsik R = f(x) radiuslu bir dairYdir. Buna gцrY dY, hYmin kYsiyin sahYsi kimi hesablanэr. NYticYdY fэrlanma cismin hYcmi:

(1)

dьstura YsasYn hesablanэr.

2) ЏgYr fэrlanma cismi Yyri xYttin OY oxu Ytrafэnda fэrlanmadan YmYlY gYlYrsY, onda onun hYmin parзadan gцtьrьlmьє istYnilYn x nцqtYsindYn єaquli istiqamYtindY aparэlan kYsik R = X radiuslu dairYdir vY hYmin kYsiyin sahYsi indi artiq kimi hesablanэr. NYticYdY alэnan fэrlanma cismin bьtцv hYcmi:

(2)

Misal 1. Verilmiє vY xYtlYrin mьstYvi figurunun OX oxu Ytrafэnda fэrlanma nYticYsindY alэnan fYza cisminin hYcmini tapэn.

HYlli. Fэrlanma nYticYsindY alэnan cismin adэ parabolik seqmentdir. Fэrlanma OX oxu Ytrafэnda aparэldэqэna gцrY (1) dьsturdan istifadY edYk. Burada

.

Misal 2. Ellipsin OY oxu Ytrafэnda fэrlanma nYticYsindY alэnan cismin hYcmini tap.

HYlli. Fэrlanma nYticYsindY alэnan cismin adэ ellipsoiddir. Fэrlanma OY oxuna gцrY aparэldэqэndan (2) dьsturdan istifadY edYk, amma YvvYlcY ьзьn ifadYni alaq.

(2) dьstura gцrY alэrэq:

Nyuton-Leybnis dьsturunu tYtbiq etdikdY alэrэq:

.

3. Firlanmadan alэnan sYthin sahYsi.

ЏgYr cismin sYthi qцvsьn OX oxu Ytrafэnda fэrlanmadan YmYlY gYlYrsY, onda onun sahYsinin diferensialэ oturacaqlarэnэn radiuslarэ uyрun olaraq

r = y; R = y + y

vY doрuranэ dl olan kYsik konusun yan sYthinin sahYsinY bYrabYrdir.

NYticYdY sYthin bьtцv sahYsi

єЏgYr fэrlanma OY oxu Ytradэnda aparэlarsa, onda alэnan cismin vYziyyYtini nYzYrY alaraq onun sYthinin sahYsi:

dьsturuna gцrY hesablanar.

4. ЏyrixYtli trapesiyanэn sahYsi.

є ЏgYr YyrixYtli trapesiya bir funksiyanэn qrafikinin Yyrisi ilY

mYhdudlaєdэrэlmэєdэr, onda onun sahYsini

.

ЏgYr YyrixYtli trapesiya iki Yyri xYtli arasэnda qalan bir sahY olarsa, onda onun sahYsini

є ЏgYr misalda aєaрэ vY yuxarэ sYrhYdlYr mYchul olarsa, onlarэ mьYyyYn etmYk ьзьn tYnliyinin kцklYrini taparaq kimi gцtьrьrьk.

є ЏgYr alэnan sahY qrafiklYrin kYsiєmY nцqtYlYrinY gцrY bir neзY hissYyY bцlьnYrsY, onda bьtцv trapesiyanэn sahYsini bu kYmiyyYtin additivlik xassYsinY gцrY parзalarэn ayrэ-ayrэlэqda hesablanmэє sahYlYrinin cYmi kimi gцstYrmYk mьmkьndьr.

Misal. vY xYtlYri ilY mYhdudlaєdэrэlmэє YyrixYtli trapesiyanэn sahYsini tapэn.

HYlli. 1) ЏvvYlcY qrafiklYrin kYsiєmY nцqtYlYrini mьYyyYn edYk:

tYnliyini hYll edYrYk alэrэq:

demYli, alэnan sahYni parзada axtarэrэq.

2) Эndi isY bir baєa sahYni hesablayaq:

.

єPolyar koordinatlarэn kцmYyi ilY YyrixYtli trapesiyanэn sahYsi

Mцvzu 24

ЗoxdYyiєYnli funksiya. ЗoxdYyiєYnli funksiyanэn

limiti vY kYsilmYzliyi. Xьsusi tцrYmYlYr.

ЗoxdYyiєYnli funksiya anlayэєэ.

1. ЗoxdYyiєYnli funksiya haqqэnda anlayэє.

2. ЗoxdYyiєYnli funksiyalarэn tYrifi.

3. ЗoxdYyiєYnli funksiyalarэn xьsusi artэmlarэ.

4. ЗoxdYyiєYnli funksiyalarэn tam artэmэ vY limiti.

1. ЗoxdYyiєYnli funksiya haqqэnda anlayэє.

Bir зox hadisYlYri цyrYnYn zaman iki vY daha зox dYyiєYndYn asэlэ olan funksiyalara tYsadьf olunur.

TYrif 1. ЏgYr D dYyiєmY oblastэndan gцtьrьlmьє bir-birindYn asэlэ olmayan iki x vY y dYyiєYn kYmiyyYtinin hYr bir (x, y) qiymYtlYr cьtьnY z kYmiyyYtin mьYyyYn bir qiymYti uyрun olarsa onda deyirik ki, z kYmiyyYti x vY y sYrbYst dYyiєYnlYrinin funksiyasэdэr vY D oblastэnda tYyin olunmuєdur.

Эki dYyiєYnin funksiyasэ simvolik olaraq belY iєarY olunur:

z = f(x, y), z = F (x, y) vY s.

ЭkidYyiєYnli funksiya cYdvYl vasitYsi ilY vY ya analitik єYkildY ЁC dьstur vasitYsi ilY verilY bilYr. BirdYyiєYnli funksiyada olduрu kimi, ikidYyiєYnli funksiya da x vY y arqumentlYrinin, ьmumiyyYtlY, bьtьn qiymYtlYrindY tYyin olunmur.

TYrif 2. x vY y dYyiєYnlYrinin µ § funksiyasэnэn tYyin olunduрu (x, y) qiymYtlYr cьtьnьn зoxluрuna bu funksiyanэn tYyin oblastэ vY ya varlэq oblastэ deyilir.

Funksiyanэn tYyin oblastэ hYndYsi olaraq belY tYsvir edilY bilYr. ЏgYr x vY y dYyiєYnlYrinin hYr bir qiymYtlYr cьtьnь OXY mьstYvisi ьzYrindY M (x, y) nцqtYsi kimi gцstYrsYk, onda funksiyanэn tYyin oblastэ mьstYvi nцqtYlYlrinin mьYyyYn bir зoxluрu YmYlY gYtirYr. HYmin bu nцqtYlYr зoxluрuna funksiyanэn tYyin oblastэ deyYcYyik. HYr hansэ oblastэ hьdudlandэran xYtt hYmin oblastэn sYrhYdi adlanэr. Oblastэn sYrhYdi ьzYrindY yerlYєmYyYn nцqtYlYrinY onun daxili nцqtYlYri deyilir.

ЭkidYyiєYnli funksiyanэn tYrifini ьз vY daha зox dYyiєYnin funk­siyasэ ьзьn dY asanlэqla ьmumilYєdirmYk olar.

єЏlavY mYlumat.

1) ЏgYr µ § funksiyasэnda dYyiєYnlYrdYn birini fiksY elYsYk, onda ikidYyiєYnli funksiya birdYyiєYnli funksiya kimi gYbul oluna bilYr. Misal kimi

S = xy dьzbucaqlэnэn sahYsini ifadY edYn dьstura biz iki x(eni), y(uzunluрu) dYyiєYnli funksuya kimi baxa bilYrik.

2) Ьmumi halda µ §funskiyasэnэn qrafiki Oxyz fYzada bir sYth kimi tYsvir etmYk mьmkьndьr.

TYrif 3. µ §funksiyanэn eyni qiymYtini alan Oxy mьstYvisinin nцqtYlYr toplusuna hYmin funksiyanэn kontur xYtti vY ya izoYyri deyilir vY aєaрэdakэ kimi yazэlэr:

f(x, y)= C

2. ЗoxdYyiєYnli funksiyalarэn tYrifi.

TYrif 1. ЏgYr µ § dYyiєYnlYrinYn baxэlan hYr bir qiymYtlYr зoxluрuna y dYyiєYninin mьYyyYn bir qiymYti uyрun olarsa, onda y kYmiyyYtinY µ § dYyiєYnlYrinin funksiyasэ deyilir vY µ §, yaxud µ § vY s. kimi iєarY edilir.

ЭkidYyiєYnli funksiyada olduрu kimi, ьз, dцrd vY daha зox dYyi­єYnli funksiyalarэn da tYyin oblastэndan danэєmaq olar. MYsYlYn, ьзdY- yiєYnli funksiyanэn tYyin oblastэ (x, y, z) YdYdlYr ьзlьyьnьn mьYyyYn зoxluрu olur. Qeyd edYk ki, YdYdlYrin hYr bir ьзlьyь OXYZ fYzasэnэn bir M (x, y, z) nцqtYsini tYyin edir.

ЭkidYyiєYnli funksiyanэn hYndYsi tYsviri. OXY mьstYvisindY yerlYєYn G oblastэnda tYyin olunmuє

µ § (1)

ЄYkil 1

O

z

y

x

µ §

z

x

y

P

O

z

x

y

G

funksiyasэnэ vY OXYZ dьzbucaqlэ Dekart koordiniat sistemi gцtьrYk. G tYyin oblastэnэn hYr bir (x, y) nцqtYsindY OXY mьstYvisinY qaldэrэlmэє perpendikulyar ьzYrindY f(x, y) YdYdinY bYrabYr parзa ayэraq. Onda biz fYzada koordinatlarэ x, y, µ § olan P nцqtYsini alarэq (єYkil 1). Koordinatlarэ (1) tYnliyini цdYyYn P nцqtYlYrinin hYndYsi yerinY ikidYyiєYnli funksiyanэn qrafiki deyilir. (1) tYnliyi fYzada mьYyyYn bir sYthi tYyin edir. BelYliklY, ikidYyiєYnli funksiyanэn qrafiki sYthdYn ibarYtdir, bu sYthin OXY mьstYvisi ьzYrindYki proeksiyasэ funksiyanэn G tYyin oblastэ olur.

Ьз vY daha зox arqumetli funksiyalarэn fYzada qrafiklYrini Yyani tYsvir etmYk mьmkьn deyil.

3. ЗoxdYyiєYnli funksiyalarэn xьsusi artэmlarэ.

Tutaq ki, µ § ikidYyiєYnli funksiyasэ verilmiєdir. OXY mьstYvisinY paralel olan y=const mьstYvisinin µ § sYthini kYsdiyi PS xYttinY baxaq (єYkil 2). Bu mьstYvi ьzYrindY y qiymYtini sabit saxladэрэ ьзьn, PS xYtti boyunca z-in dYyiєmYsi ancaq x-in dYyiєmYsindYn asэlэ olar. x sYrbYst dYyiєYninY ѓґx artэmэ versYk onda z uyрun artэm alar. Bu artэma z funksiyasэnэn x arqumentinY gцrY xьsusi artэmэ deyilir vY µ § ilY iєarY edilir, belY ki,

µ §= f(x + Dx, y) ЁC f(x, y). (1)

Analoji olaraq, x-in qiymYti sabit qalmaqla y dYyiєYrsY, onda z funksiyanэn aldэрэ artэma funksiyanэn y arqumentinY gцrY xьsusi artэmэ deyilir. Bu artэmэ µ § simvolu ilY iєarY edirlYr:

µ § (2)

Funksiya цz µ § xьsusi artэmэnэ µ § sYthi ilY OYZ mьstYvisinY paralel olan x=const mьstYvisinin kYsiєdiyi “xYtt boyunca” alэr.

S„S

ѓґxz

S

P

O

ѓґz

z

y

y

ѓґy

ѓґx

x

x

ЄYkil 2

NYhayYt, x arqumentinY ѓґx artэmэnэ, y arqumentinY isY ѓґy artэmэnэ vermYklY z ьзьn yeni ѓґz artэmэnэ alarэq. Bu artэm funksiyanэn tam artэmэ adlanэr vY

µ § (3)

bYrabYrliyi ilY tYyin olunur.

ЬmumiyyYtlY, tam artэm xьsusi artэmlarэn cYminY bYrabYr olmur, yYni

µ §.

ЭstYnilYn sayda dYyiєYn kYmiyyYtin funksiyasэnэn xьsusi vY tam artэmlarэ oxєar qayda ilY tYyin olunur.

Зox mьhьm olan kцmYkзi bir anlayэєэ ЁC nцqtYnin Ytrafэ anlayэєэ verYk. MYrkYzi µ § nцqtYsindY olan r radiuslu dairYnin daxilindY yerlYєYn bьtьn nцqtYlYr зoxluрuna µ § nцqtYsinin r radiuslu Ytrafэ deyilir.

Misal 1. ЭkidYyiєYnli z =x3sin y + y4 funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYrini tapэn:

x dYyiєYnY gцrY xьsusi tцrYmY hesablayarkYn y dYyiєYnini sabit kimi qYbul etmYliyik:

µ §=3 x2sin y;

y dYyiєYninY gцrY isY xьsusi tцrYmY hesablayarkYn x dYyiєYnini sabit kimi qYbul etmYliyik:

µ § = x3cos y +4 y3.

Misal 2. ЬзdYyiєYnli u = x6 ЁC y4 +3z5 funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYrini tapэn:

x dYyiєYnY gцrY xьsusi tцrYmY hesablayarkYn y,z dYyiєYnlYrini sabit kimi qYbul etmYliyik:

µ § = 6x5;

y dYyiєYninY gцrY isY xьsusi tцrYmY hesablayarkYn x,z dYyiєYnlYrini sabit kimi qYbul etmYliyik:

µ § = µ §;

z dYyiєYninY gцrY isY xьsusi tцrYmY hesablayarkYn x,y dYyiєYnlYrini sabit kimi qYbul etmYliyik:

µ § = 15z4.

4. ЗoxdYyiєYnli funksiyalarэn tam artэmэ vY limiti.

TYrif 1. ЏgYr istYnilYn e > 0 YdYdinY gцrY elY r > 0 YdYdi tapmaq olarsa ki, µ § bYrabYrsizliyinin цdYndiyi bьtьn µ § nцqtYlYri ьзьn

µ §

bYrabYrsizliyi doрru olsun, onda A YdYdinY µ § nцqtYsi µ § nцqtYsinY yaxэnlaєdэqda µ § funksiyasэnэn limiti deyilir vY belY iєarY edilir:

µ §

TYrif 2. Tutaq ki, µ § nцqtYsi µ § funksiyasэnэn tYyin oblastэna daxildir. ЏgYr µ § nцqtYsi istYnilYn qayda ilY µ § nцqtYsinY yaxэnlaєdэqda

µ §

olarsa, onda µ § funksiyasэna µ § nцqtYsindY kYsilmYz funksiya deyilir.

Oblastэn bьtьn nцqtYlYrindY kYsilmYz funksiyaya hYmin oblastda kYsilmYz funksiya deyilir.

TYrif 3. µ § funksiyasэnэn x-Y gцrY µ § xьsusi artэmэnэn Dx artэmэna nisbYtini dьzYldYk. Dx sэfra yaxэnlaєdэqda bu nisbYtin limitinY hYmin funksiyanэn x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmYsi deyilir. µ § funksiyanэn x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmYsini

µ §

simvollardan biri ilY iєarY etmYk olar. BelYliklY, tYrifY YsasYn

µ §

Oxєar qayda ilY µ § xьsusi artэmэnэn ѓґy-Y nisbYtinin ѓґy sэfra yaxэnlaєdэqda limitinY µ § funksiyasэnэn y-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmYsi deyilir vY

µ §

simvollardan biri ilY iєarY edilir. BelYliklY,

µ §

µ § artэmэnэ hesablayarkYn y-in, µ §-i hesablayarkYn isY x-in sabit saxlandэрэnэ nYzYrY alaraq, xьsusi tцrYmYlYrin tYrifini belY ver­mYk olar: µ § funksiyasэnda y-i sabit fYrz edYrYk, x-Y nYzYrYn hesablanmэє tцrYmYyY x-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmY deyilir. µ § funk­siyasэnda x-i sabit fYrz edYrYk y-Y nYzYrYn hesablanmэє tцrYmYyY y-Y nYzYrYn xьsusi tцrYmY deyilir.

Bu qaydadan aydэndэr ki, зoxdYyiєYnli funksiyanэn xьsusi tцrYmYlYrinin tapэlmasэ birdYyiєYnli funksiyanэn tцrYmYsinin tapэlmasэ qaydasэ kimidir, yalnэz yadda saxlamaq lazэmdэr ki, hansэ dYyiєYnY nYzYrYn tцrYmY alэnэr.

Mцvzu 25

Tam diferensial. ЭstiqamYt ьzrY tцrYmYlYr.

1. YьksYk tYrtibli xьsusi tцrYmYlYr.

2. Tam diferensial anlayэєэ.

3. ЭstiqamYt ьzrY tцrYmYlYr.

4. Qradiyent anlayэєэ.

5. Teylor dьsturu.

1. YьksYk tYrtibli xьsusi tцrYmYlYr.

єTutaq ki, ikidYyiєYnli µ § funksiyasэ verilmiєdir. Ьmumiy­yYtlY desYk, µ § vY µ § xьsusi tцrYmYlYri x vY y kYmiyyYtlYrinin funksiyalarэdэr. Ona gцrY dY onlardan yenidYn xьsusi tцrYmYlYr almaq olar. DemYli, ikidYyiєYnli funksiyanэn ikitYrtibli xьsusi tцrYmYlYrinin sayэ dцrddьr, зьnki µ § vY µ § funksiyalarэndan hYr birini hYm x vY hYm dY y arqumetlYrinY nYzYrYn diferensiallamaq olar: µ §; µ §; µ §; µ § ЭkitYrtibli tцrYmYlYri dY yenY hYm x, hYm dY y-Y nYzYrYn diferensiallamaq olar. Onda ьзtYrtibli xьsusi tцrYmYlYr alarэq. Bunlarэn sayэ sYkkiz olar: µ §; µ §; µ §; µ §; µ §;µ §; µ §; µ §. ЭstYnilYn n tYrtibli tцrYmY µ § tYrtibli tцrYmYnin birinci tцrYmYsidir.

2. Tam diferensial anlayэєэ.

µ § funksiyasэ tam artэmэnэn tYrifinY gцrY

µ §µ §. (1)

FYrz edYk ki, baxэlan (x, y) nцqtYsindY µ § funksiyasэnэn birinci tYrtib kYsilmYz xьsusi tцrYmYsi var. (1) bYrabYrliyinin saр tYrYfinY f(x, y + ѓґy) ifadYsini YlavY edYk vY зэxaq:

µ §

µ §. (2)

HYr bir kvadrat mцtYrizYyY Laqranj dьsturunu tYtbiq edYk.

µ §, (3)

burada µ § YdYdi x ilY x+Dx arasэndadэr;

µ §, (4)

burada µ § YdYdi y ilY y+ѓґy arasэndadэr.

(3) vY (4) ifadYlYrini (2) bYrabYrliyindY yerinY yazaq:

µ § + µ §. (5)

FYrziyyYyY gцrY xьsusi tцrYmYlYr kYsilmYz olduqlarэndan

µ § (6)

Limitin tYrifinY YsasYn (6) bYrabYrsizliklYrini

µ § (6„S)

єYklindY yazmaq olar; burada Dx vY ѓґy sэfra yaxэnlaєanda ѓЧ1 vY ѓЧ2 da sэfra yaxэnlaєэr. (6„S) bYrabYrsizliklYrinY YsasYn (5) mьnasibYti

µ § (7)

єYklini alar.

Birinci iki hYddin cYmi Dx vY ѓґy kYmiyyYtlYrinY nYzYrYn xYttidir. Bu cYm ѓґz artэmэndan sonsuz kiзilYn qYdYr fYrqlYnmYklY, hYmin artэmэn baє hissYsini tYєkil edir.

TYrif. Verilmiє (x, y) nцqtYsindYki ѓґz tam artэmэ aєaрэdakэ kimi iki hYddin cYmi єYklindY gцstYrilY bilYn µ § funksiyasэna hYmin nцqtYdY diferensiallana bilYn funksiya deyilir; burada hYdd adlandэrdэрэmэz birinci ifadY Dx vY ѓґy artэmlarэna nYzYrYn xYttidir, ikinci hYdd isY yьksYktYrtibli sonsuz kiзilYndir. Tam artэmэn xYtti hissYsinY funksiyanэn tam diferensialэ deyilir vY dz yaxud df ilY iєarY edilir

µ §

SYrbYst dYyiєYnlYrin Dx vY ѓґy artэmlarэnэ x vY y dYyiєYnlYrinin diferensiallarэ adlandэraq vY uyрun olaraq dx vY dy ilY iєarY edYk. Bu halda tam diferensialэn ifadYsi

µ § (8)

єYklini alar.

єBir neєY misala baxaq.

Misal 1. z = x y ikidYyiєYnli funksiyasэnэn tam diferensialэnэ tapэn.

Xьsusi tцrYmYlYrin tYrifinY gцrY (8) dьsturunu nYzYrY alaraq:

dz = (yx y ЁC 1) dx + (x y ln x) dy.

Misal 2. z = x2y ikidYyiєYnli funksiyasэnэn tam diferensialэnэ tapэn.

Xьsusi tцrYmYlYrin tYrifinY gцrY (8) dьsturunu nYzYrY alaraq:

dz = (2xy) dx + (x2)dy.

Misal 3. z = µ § ikidYyiєYnli funksiyasэnэn x=2, y=1, dx=0.1, dy=0.2, єYrtlYrinY gцrY tam diferensialэnэ tapэn.

dz = µ § dx + µ §dy

dz = µ § = 0.075

Misal 4. z = xy funksiyasэ ьзьn x=5, y=4, x=dx=0.1, y=dy=µ §, єYrtlYrinY gцrY funksiyanэn z tam artэmэnэ vY dz tam diferensialэnэ hesablayэn:

1) dz = y dx + x dy

dz = 4 · 0.1 + 5 · (µ §) = µ § - tam diferensialэ;

2) z = z (x + x, y + y) µ §, dьstura gцrY aliriq:

z = µ §

z = 0.62 - tam artэmэ.

3. ЭstiqamYt ьzrY tцrYmYlYr.