Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

Ytjkjhhkjg

-10

-880--

4 0

Ytjkjhhkjg 32

0

4 3

Ytjkjhhkjg 3

0

4 18

Ytjkjhhkjg 9

0

2101--

4 0

Ytjkjhhkjg 4

4

4 12

Ytjkjhhkjg 12

12

4 12

Ytjkjhhkjg 6

6

24242---

4 1

Ytjkjhhkjg 1

2

4 10

Ytjkjhhkjg 5

10

1122µ §-820-61416µ §u · U16-2001432µ §yoxlama

µ §

Hesablamaya nYzYrYt ьзьn axэrэncэ sYtirdYki YdYdlYrin cYmini tapэrэq:

µ §

CYmlYrin ьst-ьstY dьєmYsi hesablamanэn dьzgьnlьyьnь gцstYrir.

3-cь cYdvYlin tYrtibinY aid izahat.

1. µ § tezliyinin u variyanta hasili, yYni µ § saр yuxarэ kьncdY tezliyin qiymYti daxil olan damaya yazэlэr. MYsYlYn, birinci sYtrin saр yuxarэ kьnclYrindYki damalarda 4(-2) = -8; 6(-1) = -6 hasillYri yazэlmэєdэr.

2. Bir sYtrdY saр yuxarэ kьncdY yerlYєYn damalardakэ bьtьn YdYdlYri toplayэb vY onlarэn cYmini hYmin sYtrin “U sьtununa” yerlYєdirirlYr. MYsYlYn, birinci sYtr ьзьn u = -8+(-6) = -14.

3. NYhayYt v variantэnэ U-ya vurub vY alэnan hasili “vU sьtununun” uyцun damasэnda yazэrlar. MYsYlYn, cYdvYlin birinci sYtrindY v = -2, U = -14, demYli, vU = (-2)·(-14) = 28.

4. “vU sьtununun bьtьn YdYdlYrini toplayэb, axtarэlan µ § cYminY bYrabYr µ § cYmini alэrlar. ЗYsYlYn, 3-cь cYdvYl ьзьn µ §; demYli, axtarэlan cYm µ §.

NYzarYt ьзьn analoji hesablama sьtuna gцrY aparэlэr: µ § hasilini tezliyin qiymYti yerlYєYn damanэn sol aєaрэ kьncьndY yazэrlar; bir sьtunun sol aєaрэ kьncьndY yerlYєYn bьtьn YdYdlYri toplayэb vY onlarэn cYmini “V sYtrindY” yerlYєdirirlYr; nYhayYt, hYr bir u variantэn V-yY vurub vY nYticYni axэrэncэ sYtirdYki damaya yazэllar.

Axэrэncэ sYtrin bьtьn YdYdlYrini cYmlYyib axtarэlan µ § cYminY bYrabYr olan µ § cYmini alэrlar. MYsYlYn, 3-cь cYdvYl ьзьn µ § , demYli, µ §

Axtarэlan, seзmY korrelyasiya Ymsalэnэ tapaq:

µ § .

µ § vY µ § addэmlarэnэ (ixtiyari iki qonєu variantlar arasэndakэ fYrg) tapaq:

µ §

C1 = 30, C2 = 36 olduрunu nYzYrY alaraq µ § vY µ §i tapaq:

µ §

µ §

µ § vY µ § tapaq:

µ §

Tapэlmэє qiymYtlYri (*) mьnasibYtindY yazaraq, axtarэlan Y-эn X-Y nYzYrYn dьz xYtt reqressiya tYnliyini alэrэq:

µ §

vY ya nYhayYt:

µ §

3. ЏyrixYtli korrelyasiya.

Reqressiya tYnliyinin qrafiki Yyri xYtdirsY, onda korrelyasiya YyrixYtli adlanэr. Xьsusi halda, ikinci tYrtib parabolik korrelyasiya olduqda Y-эn X-Y nYzYrYn seзmY reqressiya tYnliyi aєaрэdakэ kimidir:

µ §

NamYlum A, B, C parametrlYrini aєaрэdakэ sistem tYnliklYrdYn (mYsYlYn, Qauss ьsulu ilY) tapэlar:

µ §

µ § (*)

µ §

Anoloji olaraq X-эn Y-Y nYzYrYn seзmY reqressiya tYnliyi tapэlэr

µ §.

Y-эn X-Y nYzYrYn korrelyasiyasэnэn gьcьnь qiymYtlYndirmYk ьзьn seзmY korrelyasiya nisbYtindYn istifadY olunur (qruplararasэ orta kvadratik meylin Y YlamYtinin ьmumi orta kvadratik meylinY nisbYti)

µ §

vY ya baєqa iєarYlYrlY

µ § .

Burada

µ §

burada n ЁC seзmY hYcmi (bьtьn tezliklYrin cYmi); nx YdYdi X YlamYtinin x qiymYtinin tezliyi; ny YdYdi Y YlamYtinin y qiymYtinin tezliyi; µ § YdYdi Y YlamYtinin ьmumi ortasэ.

Analoji olaraq X-эn Y-Y nYzYrYn seзmY reqressiya nisbYti

µ §

tYyin olunur.

Misal 1. Verilmiє 1-ci korrelyasiya cYdvYlinY gцrY µ § seзmY reqressiya tYnliyini tapэn

CYdvYl ЁC 1

yxny2382520453013111014849nx203149n=100

SeзmY korrelyasiya mьnasibYtinY gцrY korrelyasiya rabitYsinin gьcьnь qiymYtlYndirin.

2-ci hesablama cYdvYlini tYrtib edYk.

CYdvYl ЁC 2

xnxµ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §2202540801603205001000200033147.19327983725111460438013141549108.672451225612530625532526624133121У1003781584712233456728532004148262

2-ci cYdvYlinin axэrэncэ sYtir YdYdlYrini (*)-da yerinY yazsaq, A, B, C namYlum Ymsallarэna nYzYrYn aєaрэdakэ tYnliklYr sistemini alэrэq:

33456 A + 7122 B + 1584 C = 148 262,

7122 A + 1584 B + 378 C = 32004,

1584 A + 378 B + 100 C = 7285.

Bu sistemi hYll etsYk (mYsYlYn, Qauss ьsulu ilY) alэrэq: A = 2.94, B= 7.27,

C = - 1.25. Alэnmэє Ymsallarэ reqressiya µ § tYnliyindY yazsaq, nYhayYt alэrэq:

µ §

SeзmY korrelyasiya µ § ьnasibYtini hesablamaq ьзьn YvvYlcY ьmumi orta µ § ЁC э, ьmumi orta kvadratik meyli µ § vY qruplar arasэ orta µ § kvadratik meyli tapaq:

µ §

µ §

µ §

µ §

µ §

Axtarэlan seзmY korrelyasiya nisbYtini tapaq:

µ §

Mцvzu 45

Зoxluq anlayэєэ vY onlar arasэnda mьnasibYt.

1. Зoxluq anlayэєэ. Boє зoxluq.

2. Зoxluqlarэn verilmY ьsullarэ.

3. Зoxluqlar arasэnda mьnasibYt.

1. Зoxluq anlayэєэ. Boє зoxluq.

Зoxluq anlayэєэ riyaziyyatэn Yn mьhьm anlayэєlarэndan sayэlэr. Bildiyimiz kimi riyaziyyatэn hYr bцlmYsindY Ysas vY onlardan irYli gYlYn anlayэєlarэ qYbul edirlYr. Bu anlayэє (зoxluq anlayэєэ) riyaziyatda ilkin anlayэєlardan biri sayэlэr. Qeyd edYk ki, YgYr anlayэєa riyazi dildY konkret vY dYqiq tYrif verilmirsY hYmin anlayэєlara ilkin anlayэє deyilir.

MYhz bu sYbYbY gцrY зoxluq anlayэєэnda ilkin anlayэє sayэlэr. Baxmayaraq ki, зoxluq ьзьn dYqiq tYrif mцvcud deyil bu anlayэєэ mьxtYlif misallar ьzYrindY geniє tYtbiq etmYk mьmkьndьr. MYsYlYn: зoxluq deyendY biz mьYyyYn nцvlь Yєyalarэn toplusunu vY ya tYlYbYlYrin yэрэncaрэnэ nYzYrdY tuta bilYrik.

Adi hYyatda hansэ Yєyalarэn toplusundan vY ya зoxluрundan danэєarkYn nYzYrdY tutulur ki, bu topluya Yn azэ 2,3 vY bundan зox Yєya daxildir. Riyaziyyatda bu

yanaєmadan fYrqli olaraq elY зoxluqlar mцvcьddur ki, onlar heз bir elementi, Yєyanэ daxilinY almaz amma buna baxmayaraq bu topluya biz yenYdY riyazi mYnada зoxluq deyY bilYrik. SadYcY bu nцv зoxluрlara xьsusi olaraq boє зoxluqlar adэ qoyulur. Gцrdьyьnьz kimi riyaziyyatda зoxluqlar цz daxilinY:

a) Sonsuz sayda Yєyalar ala bilYr.

b) Sonlu sayda Yєyalar daxil edY bilYrlYr.

c) YeganY elementdYn tYrtib olunmuє ola bilYr.

d) Зoxluq heз bir elementi (Yєyanэ) daxilinY almayэr.

Misal 1.

2x ЁC 10 = 16

2x = 26

x = 13

Gцrdьyьmьz kimi bu tYnliyin kцklYr зoxluрu 13 rYqYmindYn ibarYtdir. YeganY elementli зoxluq.

Misal 2.

x2 ЁC 16 = 0

x2 = 16

x = 4

Bu tYnliyin hYllYr зoxluрu gцrdьyьmьz kimi µ § 2 elementli зoxluqdur.

Misal 3.

cos x = 1

x = 2µ §, kµ § z

Bu tYnliyin y = cos x triqonometrik funksiyasэnэn dцvrь olmaрэna gцrY (T = 2µ §)

sonsuz sayda hYllYri mцvcuddur. DemYli, bu tYnliyin kцklYr зoxluрu sonsuz sayda elementlYrdYn ibarYtdir.

Misal 4.

x2 = 25 = 0

x2 = -25

x µ §5

Bu tYnliyin xьsusiyyYtinY gцrY kvadrat olan ifadYnin qiymYti mYnfi ola bilmYz. DemYli, bu tYnliyin hYqiqi kцklYri mцvcud deyil. Ona gцrY bir зoxluq olaraq bu tYnliyin hYllYr зoxluрu µ § зoxluрudur.

Misal 5.

sin x = 2 x2 ЁC 3x + 5 = 0

D = b2 ЁC 4ac = 32 ЁC 4 · 1 · 5 = 9

4x = -16

4x = -42

x = -4

Зьnki bu tYnlik ьstlь funksiya ilY baрlэdэr. TYnliklYrin kцklYri bizi bцє зoxluрa gYtirir.

Qeyd edYk ki, зoxluqlar mьxtYlif tYbiyYtdi Yєyalardan ibarYt olur. Riyaziyyatda зoxluqlara daxil olan Yєyalara elementlYr deyilir. Зoxluqlarэn цzlYri bцyьk latэn hYrflYri ilY iєarY olunur.

µ §

Gцrdьyьmьz kimi A elementi 4 зoxluqdan ibarYtdir. Эxtiyari elementlYr verilmiє зoxluqlara mYxsus olub-olmadэрэnэ gцstYrmYk ьзьn xьsusi iєarYdYn istifadY edirik - .

µ §

0µ §n ЁC doрru deyil.

1.5 µ § z ЁC yalnэєdэr.

-10µ §z ЁC doрrudur.

Зoxluqlar onlara daxil olan elementlYrini tYbiYtcY mьxtYlif olmaрэna baxmayaraq 2 bцyьk sinifY ayrэlэr: 1 sinif ЁC sonsuz зoxluqlar, 2 sinif ЁC sonlu зoxluqlar.

ЏgYr verilmiє зoxluqlarэn bьtьn elementlYrini sadalayaraq gцstYrmYk mьmkьn olarsa bu nцv зoxluqlara sonlu зoxluqlar deyilir. Џks halda hYmin зoxluq sonsuz elementli зoxluq sayэlэr.

N ЁC natural YdYdlYr зoxluрu.

Z ЁC tam YdYdlYr зoxluрu.

R ЁC hYqiqi YdYdlYr зoxluрu.

C ЁC kompleks YdYdlYr зoxluрu.

Re ЁC irrasional зoxluqlarэ. HYr biri sonsuz зoxlluqlar sayэlэr. Bu ьmumi зoxluqlardan baєqa onlar tYrtib olunmuє YbYdi parзalardan biri hYm sonlu, hYm dY sonsuz alt зoxluqlarэ tYrtib edY bilYrik. AdYtYn riyaziyyatda bYrabYrsizliklYri hYll edYrkYn onlarэn hYllYr зoxluqlarэ YdYdi parзa єYklindY gцstYrilir.

Misal 6.

2x ЁC 12 0

2x 12

x 6 0 6

x µ §

HYmin aralэрa aєaрэdan mYhdudlaєdэrэlmэє yuxarэdan aзэq YdYdi parзa deyilir vY ya yarэm interval deyilir.

Misal 7.

µ § µ § -8 0 3

hYndYsi tYsvirinY gцrY bu bYrabYrsizliyi bizi sonsuz зoxluqa gYtirir.

2. Зoxluqlarэn verilmY ьsullarэ.

Зoxluqlarэn sonlu vY ya sonsuz olmasэndan asэlэ olaraq onlarэn verilmYsindY aєaрэdakэ gцstYrilYn ьsullardan istifadY edY bilYrik.

Qeyd edYk ki, зoxluqlarэn verilmYsindY Ysas ьsullar kimi 2 ьsul qYbul olunub.

1-ci ьsul: зoxluqlarэn elementlYrini sadalama yolu ilY mьYyyYn edilmYsi ьsulu, bu ьsulun tYtbiqi sadYcY ondan ibarYtdir ki, зoxluрa elementlYr sadYcY olaraq aralarэnda vergьl olmaqla bцyьk mцtYrizY daxilindY yazэlmalэdэr. AdYtYn bu ьsuldan verilYn зoxluqlar sonlu sayda olanda istifadY olunur. Amma onuda qeyd edYk ki, bYzYn sonlu зoxluqlar зox bцuьk sayda elementlYrdYn ibarYtdir.

µ §

BelY olan halda sadalanma ьsulundan istifadY etmYk heз dY Ylveriєli deyil.

2-ci ьsul: yuxarэda deyilYnlYri nYzYrY alaraq elementlYrinin sayэ hYddindYn artэq vY ya sonsuz зoxluqlar ьзьn xarakteristik xassY adlandэrэlan digYr bir ьsuldan istifadY edY bilYrik. ЦncY xarakteristik xassY anlayэєlara konkret tYrif qYbul edYk.

TYrif. Tutaq ki, A зoxluрu verilmiєdir vY bu зoxluрun elementlYrinin ьzYrinY ya tYlYb yaxud da bir xassY µ § qoyulur.

ЏgYr bu tYlYb vY ya xassY yalnэz vY yalnэz A-зoxluqlarэnэn elementlYrinY єamil oluna bilsY, o zaman deyirlYr ki µ § xassYsi A-зoxluрunun xarakteristik xassYsidir.

Qeyd edYk ki, bu ьsul hYr variantda зox Ylveriєli olduрuna gцrY bunlar bYzYn tYk sonsuz yox eyni zamanda sonlu зoxluqlarэn verilmYsindY dY istifadY olunur.

µ §

Bu зoxluq elY natural YdYdlYrdYn tYrtib olunur ki, onlarэn biri ciddi kiзik olmalэdэr.

µ §

Bu зoxluqa 3 YdYdini qalэqsэz bцlьnYn bьtьn tam YdYdlYr daxildir. MьqayisY etsYk bu зoxluqlar fYrdi sinifY daxildir. (1-ci sonlu)(2-ci sonsuz) lakin buna baxmayaraq bu зoxluqlarэn hYr ikisi yuxarэda gцstYrilYn xarakteriksiz ьsulun kцmYkliyi ilY verilir.BelYki M-зoxluрunun xarakteristik xassYsi hYr bir YdYdi qalэqsэz 3-bцlmYsinin tYlYbindYn ibarYtdir.

3. Зoxluqlar arasэnda mьnasibYt.

TYrif 1. Tutaq ki, A-зoxluрu verilmiєdir. B-зoxluрunun hYr bir elementi eyni zamanda A-зoxluрuna daxil olduqda B-зoxluрuna A-nэn alt зoxluрu deyilir.

µ §

Misal 1. µ §

µ § µ §

µ § µ §.

µ §

Alt зoxluрunun tYrifindYn elY nYticYyY gYlmYk olar ki, hYr bir зoxluq eyni zamanda da elY ozьnьn alt зoxluрu kimi gцstYrilY bilYr.

Alt зoxluрu 2 nцvY bцlьnьr:

1)MYxsusi,

2)Qeyri-mYxsusi.

Verilmiє зoxluрun цzь vY boє зoxluq qeyri-mYxsusi alt зoxluqlarэ adlanэr. Gцrdьyьnьz kimi qeyri-mYxsusi зoxluqlarэn elementlYri ya verilmiє зoxluцa bYrabYr olmalэdэ vY ya heз bir elementi daxilinY almamalэdэr. Onuda qeyd edYk ki, boє зoxluq ixtiyari зoxluрun qeyri-mYxsusi alt зoxluрu kimi qYbul olunur.

Verilmiє зoxluрun elementlYrindYn dьzYlmiє digYr alt зoxluqlarэna mYxsusi alt зoxluрu deyilir. MYxsusi alt зoxluрunun elementlYrinin sayэ mYnasэna gцrY ilkin verilmiє geniє зoxluрun elementlYrinin sayэndan az olmalэ belY olmasэ hYmin alt зoxluрu qeyri-mYxsusi sayэlэr.

µ § bu зoxluq ьзьn (3,4) (6,7,9) vY bunun kimilYri A-nэn mYxsusi alt зoxluрu kimi gцstYrilY bilYr. HYqiqYtYn bu alt зoxluрunun elementinin sayэ A-зoxluрun elementindYn зox azdэr.

TYrif 2. A alt зoxluрu B alt зoxluрun єYrtlYrini цdYyYn зoxluqlara bYrabYr зoxluqlar deyilir. A = B kimi iєarY olunur.

Misal 2. µ § bu зoxluqlar hYqiqYtYn dY yuxarkэ tYrifY YsasYn bYrabYr зoxluq deyY bilYrik. Зьnki hYr iki зoxluрun elementlYrinin sayэ eynidir.

(N=4) vY bundan YlavY olaraq A vY B зoxluqlarэ eyni elementlYrindYn tYrtib olunmuєdur.

A vY B зoxluqlarэn fYrqinY gYldikdY deyY bilYrik ki onlara daxil olan elementlYr yalnэz dьzьlьєьnY gцrY fYrqlYnir. DemYli 2-зoxluрun bYrabYr olmasэnэn 2 єYrti var:

1) Sayca eyni olmalэdэr.

2) Eyni elementlYrdYn tYrtib olunmalэdэrlar, YgYr зoxluqlar arasэnda bYrabYrlik mьnasibYti mцvcьd olarsa qeyd etdiyimiz kimi hYmin зoxluqlar elementlYrin sayэna gцrY vY elementlYrinY gцrY eyni olmalэdэrlar. Lakin hYmin elementlYrinin dьzьlьєьnY gцrY зoxluqlar fYrqli ola bilYr. Bu mьnasibYtin aєaрэda gцstYrilYn 3 Ysas xassYsi var:

1) Refleksivlik ЁC A=A. YYni hYr bir зoxluрun qeyri-mYxsusi alt зoxluрu olur.

2)Simmetrik ЁC A=B olarsa B=A doрru olmalэdэr.

3)Tranzitivlik. ЏgYr A=B vY eyni zamanda B=C olarsa, o zaman bir nYticY olaraq A=C mьnasibYti dY doрru olmalэdэr.

Mцvzu 46

Зoxluqlar ьzYrindY aparэlan YmYllYr. Onlarэn Eyler-Venn

diaqramlar ilY gцstYrilmYsi. Зoxluqlarэn bYrabYr olmasэ. Alt

зoxluqlarэ nцvlYri. Kartej.

1. Зoxluqlarэn kYsiєmYsi.

2. Зoxluqlarэn birlYєmYsi.

3. Эki зoxluрun fYrqi.

4. Alt зoxluрun tamamlayэcэsэ.

5. Eyler-Venn diaqramlarэ.

6. Kartej anlayэєэ.

7. Зoxluрun siniflYrY ayrэlэєэ.

1. Зoxluqlarэn kYsiєmYsi.

Bildiyimiz kimi ixtiyari riyazi nYzYriyyYsinin mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, mьYyyYn tYbiYtli obyektlYr toplusu цyrYnmY predmeti kimi qYbul olunur vY hYmin obyektlYrin цzYl xassYlYri vY eyni zamanda obyektlYr arasэ mьnasibYtlYrini цyrYnib tYhlil etmYk ьзьn mьYyyYn qayda vY qanunlar qYbul olunur. MYsYlYn: YdYdlYr nYzYriyyYsini цyrYnmY predmeti kimi bir ixtiyari nцvlь YdYdlYri gцstYrY bilYrik. HYmin YdYdlYri vY onlarэn xassYlYrini tYhlil etmYk ьзьn bizY mYlum olan toplama, зэxma, vurma, bцlmY kimi vY bu qanunlarla baрlэ kцk alma kimi cYbri YmYllYr qYbul olunur vY hYmin YmYllYr цzlYrinY gцrY xassYlYri mYlum olunur.

Anoloji olaraq, banilYri alman alimlYri olan Georq, Kantor, Rixard, Dedekind olan зoxluqlarэ nYzYriyyYsi ьзьn dY bu obyektlYri цyrYnmYk ьзьn onlarэn ьzYrindY aparэla bilYn YmYllYri tYyin olunur. Qeyd etmYliyik ki, hYmin YmYllYr adi YdYdlYr ьzYrindY aparэlan cYbri YmYllYrdYn fYrqli olaraq mYntiqi mYzmunludur. HYmin qanunlarэ Corc Bull цz “MYntiqi CYbr” adlэ YsYrindY dYqiq vY Ytraflэ Yks etdirmiєdir.

TYrif 1. Tutaq ki, A vY B boє olmayan зoxluqlar verilmiєdir. Bu зoxluluqlarэn bьtьn ortaq olan elementlYrindYn dьzYlmiє yeni зoxluрa A vY B зoxluqlarэnэn kYsiєmYsi deyilir.

TYrifdYn aydэndэr ki, hYmin yeni зoxluрun hYr bir elementi mьtlYq hYm A зoxluрuna, hYm dY B зoxluрuna daxil olmalэdэr. µ §. ЏgYr bizdYn bu зoxluрun kYsiєmYsini tYrtib etmYk tYlYb olunarsa biz ABµ § зoxluрunu alarэq. Эki зoxluq arasэnda kYsiєmY mьnasibYtini riyazi dildY aєaрэdakэ kimi gцstYrY bilYrik.

AB=µ §

Misal . A-dьzbucaqlэ ьзbucaqlarэ, B-bYrabYryanlэ ьзbucaqlar. Bu iki зoxluрun kYsiєmYsinY daxil olan elementlYr YlbYttY ki, ьзbucaqlar olmalэdэr. Lakin hYmin fiqurlar A=B зoxluqlarэ xarakteristik xassYlYrinY gцrY eyni zamanda hYr ikisYnY malik olmalэdэr. YYni kYsiєmYyY daxil olan ьзbucaq hYm dьzbucaqlэ hYm dY bYrabYryanlэ olmalэdэr. NYticYdY biz dьzbucaqlэ bYrabYryanlэ ьзbucaqlar зoxluрu alэrэq.

A={ Y B ={ }Y={ Y }

TYrif 2. KYsiєmY YmYli tYqribi iki зoxluq ьзьn yox sonlu sayda boє olmayan зoxluqlar ьзьn dY єamil oluna bilYr.

µ §

Эki зoxluрun kYsiєmYsi mYntiqi YmYl olduрuna gцrY o mьYyyYn xassYlYrY malik olmalэdэr. HYmin xassYlYrY зoxluqlarэn kYsiєmYsinin Ysas qanunlarэ deyilir.

1) AB= BA - kommutativlik xassYlYri.

2) A( BC) = (AB)µ § C ЁC assosiativlik xassYsi.

3) ЏgYr B ЁC alt зoxluрu A olarsa o zaman AB= B olmalэdэr.

4) AA = A

5) Aµ §

Dцrdьncь qanunun mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, зoxluqlar nYzYriyyYsindY qьvvYt anlayэєэ yoxdur. YYni ki, siz eyni зoxluрun istYnilYn sayda kYsiєmYsini dьzYltmYklY o зoxluрun elementlYrinin sayэ artmayacaq.

2. Зoxluqlarэn birlYєmYsi.

TYrif. Tutaq ki, boє olmayan A vY B зoxluqlarэ verilmiєdir. A vY B зoxluqlarэnэn heз olmasa birinY daxil olan bьtьn elementlYrindYn dьzYlmiє yeni зoxluрa A vY B зoxluqlarэnэn birlYєmYsi deyilir vY A vY B kimi iєarY olunur. TYrifdYn aydэndэr ki, element mьtlYq verilYn зoxluqlarэn birinY daxil olmalэdэr.

Misal. µ §

µ §

Эki зoxluрun birlYєmYsini oqaydaya YsasYn aparэrэq ki, YvvYlcY daha geniє olan зoxluq yazэlэr vY hYmin зoxluрa 2-ci зoxluqdan fYrqli elementlYr YlavY olunur.

µ §

A vY B зoxluqlarэnэn elementlYrini mьqayidY etdikdY gцrьnьr ki

µ §

µ §

µ §.

Gцrьnьr ki, A vY B зoxluqlarэ elementlYrinin sayэnэn cYmi yeni зoxluрun elementlYrinin sayэndan fYrqlidir. Bu ona gцrY boє зoxluq deyil ki, verilmiє зoxluqlarэn ortaq elementlYri var. HYmin elementlYr birlYєmYyY bir dYfY yazэldэрэna gцrY yeni зoxluрun elementlYrinin sayэ fYrqli alэnэr. Qeyd edYk ki, YgYr verilmiє зoxluqlarэn ortaq elementlYri yoxdursa, o zaman birlYєmYyY daxil olan elementlYrinin sayэ verilmiє зoxluqlarэn elementlYrinin cYminY bYrabYr olmalэdэr.

ЬmumiyyYtlY зoxluqlarэn birlYєmYsinY daxil olan elementlYrinin sayэnэ aєaрэda gцstYrilYn qaydalarэn birinY YsasYn hesablamaq mьmkьndьr.

Qayda 1. ЏgYr зoxluqlar kYsiєirsY.

I. µ §

Qayda 2. ЏgYr verilmiє зoxluqlar kYsiєmYyYn зoxluqlar olarsa, o zaman

II. µ §

KYsiєmYdY olduрu kimi зoxluqlarэn birlYєmYsi ьзьn dY bir neзY Ysas mYntiqi qYbul olunur.

XassY 1. µ § bu xassYnin mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, зoxluqlar nYzYriyyYsindY Ymsal anlauэєэ yoxdur.

XassY 2. µ § assosiyativlik qanunu.

III. ЏgYr B alt зoxluрu A olarsa, o zaman birlYєmY B = A ЁC ya birlYєmY YmYli nYticYsindY A ЁC зoxluрu B-dYn daha geniє зoxluq olaraq onu цz daxilinY olur.

IV. µ § (birlYєmY YmYlinin tYrifinY gцrY) bu Ysas birlYєmYyY aid qanunlardan baєqa daha 2 qanun mцvcuddur ki, hYmin qanun birlYєmY vY kYsiєmY YmYlinin baрlэ olmasэnэ Yks etdirir.

V. µ § 1-ci distributivlik qanunu.

VI. µ § 2-ci distributivlik qanunu mьqayisY ьзьn deyY bilYrik ki, YdYdlYr nYzYriyyYsindY dY toplama vY vurma qanunlarэna bir-birinY baрlayan toplamaya nYzYrYn vurma qanunu mцvcuddur,(paylama qanunu), Lakin YdYdlYr ьзьn yalnэz vurmaya gцrY hYmin qanun doрru sayэla bilYr. Џks halda hesablamalarэn nYticYlYri tam fYrqli alэnэr. Amma зoxluqlar nYzYriyyYsi ьзьn hYm kYsiєmYyY nYzYrYn hYm dY birlYєmYyY nYzYrYn o tYbiYtli qanunlar mцvcuddur.

3. Эki зoxluрun fYrqi.

TYrif. Tutaq ki boє olmayan A vY B зoxluqlarэ verilmiєdir. A-зoxluрunun B-зoxluрuna daxil olmayan bьtьn elementlYrindYn dьzYlmiє зoxluрa A vY Bзocluqlarэn fYrqi deyilir vY A\B kimi iєarY olunur. Qeyd edYk ki, ьmumiyyYtlY A\B vY B\A YmYllYrinin nYticYsi kimi biz iki fYrqli зoxluqlaq alэrэq. BelYki hYmin зoxluqlar hYm elementlYrinin sayэna hYm dY elementlYrinin tYbiYtinY gцrY fYrqli

alэnэr. Эki зoxluрun fYrqi riyazi dildY A\B = µ § kimi yazэlэr.

µ §

µ §

µ §

µ § .

Misallardan aydэndэr ki, зoxluqlarэn fYrqi YmYllYrinin nYticYsi hYqiqYtYndY fYrqli зoxluqlara gYtirib зэxarэr. Qeyd edYk ki, зoxluqlarэn ьzYrindY aparэlan birlYєmY, kYsiєmY vY зoxluqlarэn fYrqli YmYllYrini bir-birinY baрlayan 2 qanun mцvcuddur:

1) µ §

2) µ §

4. Alt зoxluрun tamamlayэcэsэ.

TYrif. Tutaq ki, A vY B зoxluqlarэ arasэnda BA mьnasibYti mцvcuddur. BelY olan halda B alt зoxluрuna daxil olmayan bьtьn elementlYrindYn tYrtib olunmuє yeni зoxluрa B-nэn A-ya qYdYr tamamlayэcэsэ deyilir, µ §kimi iєarY olunur. Bu anlayэєэn mYnasэna gцrY A-nэn elY bir elementi tapэlmaz ki, hYmin element eyni zamanda hYm B зoxluрuna hYm dY µ § зoxluрuna daxildir. Buna gцrY dY B ilY onun tamamlayэcэsэ olan µ § зoxluрun birlYєmYsi A зoxluрu ilY ьst-ьstY dьєmYlidi. Riyazi dildY зoxluрun tamamlayэcэsэnэ aєaрэdakэ kimi gцstYrY bilYrik:

µ §

µ §

5. Eyler-Venn diaqramlarэ.

Зoxluqlarэn arasэnda mцvcud olan birlYєmY, kYsiєmY зoxluqlarэn fYrqi kimi mYntiqi mьnasibYtlYri Yyani єYkildY dY tYsvir etmYk mьmkьndьr. Bunun ьзьn baxэlan зoxluqlarэ sadYcY mьxtYlif adlar єYklindY gцstYririk vY зoxluqlara daxil olan elementlYri hYmin dairYlYr iзYrisindY qeyd edirik. HYmin dairYlYrdYn ilk dYfY biri digYrindYn xYbYrsiz Rusiya riyaziyyatзэsэ Leonard Eyler vY inglis alimi Con Venn istifadY etdiyinY gцrY hYmin dairYlYri Eyler-Venn diaqramlarэ adlandэrmэєlar. DemYli, hYr bir mYntiqi YmYl ьзьn hYmin diaqramlar aєaрэdakэ kimi gцstYrilY bilYr.

1) BirlYєmY µ §

2) KYsiєmY µ §

3) FYrq µ §

4) µ §

6. Kartej anlayэєэ.

Kartej sцzь fransэz sцzьdьr vY onun hYrfi mYnasэ “tYntYnYli mYrasim” demYkdir. Riyaziyyatda bir зox hallarda elY nцv зoxluqlarla vY ya toplu ilY iєlYyirik ki, onlarэn elementlYri ixtiyari yox tYlYb olunan mьYyyYn qayda ilY dьzYlmYlidir. Bu kimi зoxluqlara riyaziyyatda xьsusi ad verilir.

TYrif 1. MьYyyYn qaydayla dьzYlmiє ixtiyari tYbiyYtli elementlYr зoxluрuna riyaziyyatda kartej deyilir. Kartejin elementinY kordinat komponentэ deyilir. Aydэndэr ki, kartejlYrY mьYyyYn sцrada mьxtYlif sayda elementlYr daxil ola bilYr vY hYmin elementlYrin sayэna gцrY kartejin uzunluрu tYyin olunur. A=(a, b, c) bu kartejdY uzunluрu n=3 kimi gцtьrьrьk. Bir зox hallarda kartejlYrin xьsusi nцvь tYtbiq olunur. BelYki onlarla iєlYmYk daha Ylveriєli olur.

TYrif 2. Uzunluрu 2-yY bYrabYr olan kartejlYrY nizamlanmэє cьtlYr deyilir. Tutaq ki, mьxtYlif A vY B kartejlYri verilmiєdir.

µ §

µ §

ЏgYr: 1) n=m; 2) µ § ЁC єYrtlYri цdYnilYrsY A vY B зoxluqlara bYrabYr kartejlYr deyilir. Bu єYrtlYrdYn birincisinin tYlYbi ondan ibarYtdir ki, kartejlYrY daxil olan elementlYrinin sayэ bYrabYr olsun. 2-ci єYrtin tYlYbi isY ondan ibarYtdir ki kartejlYrdY eyni nцmrYdY yerlYєYn elementlYrdY цz arasэnda bYrabYr olsun. 2-ci єYrtin tYlYbi ondan irYli gYlir ki, kartejlYrdY elementlYr mьYyyYn sэrada dцzцlmYlidir.

1) µ §

µ §

2) µ §

µ §

3) µ §

µ §.

MYktYb riyazi kursunda biz bir neзY dYfY mYhz nizamlanmэє cьt hesabэ ilY rastlaєmэєэq. Эlk dYfY hYmin anlayэєla d-kart kordinatэnэ qeyd edYrkYn, nцqtYnin vYziyyYtini mьYyyYn edYrkYn rastlaєэrэq. Bundan baєqa hYmin nizamlanmэє cьtlYrdYn tYnliklYr sistemlYrinin hYllindY sistemin hYllini qeyd edYndY 1-ci mьtlYq x-dYyiєYni 2-ci yerdY isY y-dYyiєYninin qiymYtini qeyd edirik.

7. Зoxluрun siniflYrY ayrэlэєэ.

µ § зoxluрu verilmiєdir. HYmin зoxluрu mьxtYlif p=(x) xarakteriksiz mYzsusi alt зoxluqlara ayэra bilYrik ki, mYsYlYn: tutaq ki, bir alt зoxluрu 2-nin, 2-ci alt зoxluрa isY 3 YdYdinin misli olan elementlYrindYn ibarYtdir:

µ §

µ §.

Gцrdьyьmьz kimi a1 vY a2 alt зoxluqlarэ a-nэn boє зoxluq olmayan mYxsusi alt зoxluqlardэr. ЏgYr bizi alt зoxluqlarэ maraqlandэrarsa gцrdьyьmьz kimi a1 kYsiєmY (6,12) boє зoxluqlardan fYrqli alэnэr. Lakin bir sэra mYsYlYlYrdY bizi elY alt зoxluqlar maraqlandэrэr ki, onlarэn heз bir ortaq elementi olmasэn. BelY alt зoxluqlarэn alэnmasэ riyaziyyatda siniflYrY ayrэlэє deyilir.

TYrif. Tutaq ki, A зoxluрu verilmiєdir. HYmin зoxluрun elementlYrindYn A1, A2, An mYxsusi alt зoxluqlarэ tYrtib olunmuєdur. ЏgYr alэnan alt зoxluрlarэ ьзьn A1 ... A2 ... An :

1) µ §

2)µ §

3) µ § єYrtlYri цdYnilYrsY bьtьn An alt зoxluqlarэna A-зoxluрunun cьt-cьt kYsiєmYyYn siniflYri deyilir. Bu tYlYblYrdYn birincinin mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, tYrtib olunan siniflYrin heз biri boє olmasэn, bu siniflYrY heз olmazsa A-зoxluрunun bir elementi daxil olsun.

Эkincinin tYlYbi o demYkdirki alэnan siniflYr heз biri ortaq element vermYsin YYni onlardan biri digYriylY kYsiєmYmiєdir.

Ьзьncь єYrtin tYlYbi isY ondan ibarYtdir ki, bьtьn alэnmэє siniflYrin sonlu birlYєmYsi mьtlYq ilkin verilmiє A-зoxluрuna bYrabYr olmalэdэr. Gцrdьyьmьz kimi зoxluqlarэn siniflYrY ayrэєэnэ mьxtYlif elementlYrinY gцrY aparmaq mьmkьndьr. ЬmumiyyYtlY зoxluрun siniflYrY ayrэєэna hYmin зoxluqlara daxil olan elementlYrinin vY o зoxluqda mьYyyYn olunmuє mьnasibYtY nYzYrYn aparmaq mьmkьndьr.

Misal. Tutaq ki, mYnfi olmayan tam YdYdlYr зoxluqda mьYyyYn yol ilY siniflYrY ayrэєэnэ almaq tYlYb olunur. (Z0) hYmin ayrэlэєэ biz mYsYlYn P(x):µ § bцlYnlYrin sayэ xarakteristik xassYyY apara bilYrik vY nYticYdY (Z0) зoxluрu ьзьn aєaрэda gцxtYrilYn siniflYrY ayrэєэnэ gцstYririk.

µ §

µ §

µ §

µ §

µ §

µ § ЁC зoxluqlarэn daxil olan elementlYrinin sonsuz sayda bцlYni var.

µ § зoxluqlarэn daxil olan elementlYrinin yeganY bцlYni var.

µ § зoxluqlarэna daxil olan hYr bir elementinin z (цzь vY vahid) bцlYni var.

µ § зoxluqlarэna daxil olan hYr bir elementinin Yn azэ 3 mьxtYlif bцlYni var (цzь vahid vY цzьndYn fYrqli) siniflYrY ayrэlэєэnэn tYlYblYrinin yoxlayarkYn Ymin ola bilYrik ki, alэnmэє siniflYrin heз biri yalnэє dayil onlar cьt-cьt kYsiєmir, yYni

biz elY bir YdYd tapa bilmYrik ki, hYmin YdYd eyni zamanda verilmiє sinifin hYr ikisinY daxil olsun. YYni eyni zamanda hYm sadY hYm dY mьrYkkYb olsun. ЏgYr dцrt sinifin birlYєmYsini tYrtib etsYk Z0 зoxluрunu ala bilYrik.