Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
Burada A vY B axtarэlan Ymsallardэr. 3. Sabit Ymsallэ xYtti diferensial tYnliklYr ьзьn sabitlYrin variyasiyasэ metodu (Laqranj ьsulu). SabitlYrin variyasiya metodunun tYdbiqini xYtti diferensial tYnliklYrin bir gYdYr ьmumi halэ ьзьn araєdэraq. YYni ьmumi hal olaraq hYmin ьsulun dYyiєYn Ymsallэ xYtti diferensial tYnliklYri ьzYrindY цyrYnYk, зьnki buradan asanlэqla hYmin metodun sabit Ymsallэ olan tYnliklYr ьзьn istifadYsini gцstYrmYk mьmkьndьr. Daha aydэn olsun deye ikitYrtibli xYtti tYnliyY baxaq: yЊЊ + p1(x)yЊ + p2(x)y = f(x), (1) yЊЊ + p1(x)yЊ + p2(x)y =0. (2) Bilirik ki, ikinci tYnlik birinci tYnliyY uyрun olan bircinsli tYnliyidir. FYrz edYk ki, ikinci tYnliyin ьmumi hYllini y = c1y1 + c2y2 (3) kimi gцtьrYk. Burada c1 vY c2 ixtiyari sabitlYr, y1(x) vY y2(x) isY (2) tYnliyinin xYtti asэlэ olmayan xьsusi hYllidir. BelY olan halda sabit Ymsallэ xYtti diferensial tYnliyin qeyri-bircins halэ ьзьn Laqranj metoduna gцrY aєaрэdakэ єYkildY axtarmaq Ylveriєlidir: y =Ay1 + By2 (4) Burada A vY B aєaрэda verilYn tYnliklYr sistemini цdYyYn x-dYyiєYnindYn asэlэ olan axtarэlan fuksiyalardэ: A(x) vY B(x): µ § (5) Alэnan tYnliklYr sistemini Kramer ьsulu ilY hYll etmYk ьзьn YvvYlcY sistemin щ Ysas determinantэnэ hesablayaq vY determinantэn 0 YdYdindYn fYrgli olmasэnэ yoxlayaq: щ = µ § (6) Determinantэn 0-dan fYrgli olan halda axtarэlan µ § vY µ § funksiyalarэ aєaрэdakэ iєadYlYrY gцrY tYrtib edirik: µ § = µ § , µ § = µ § (7) Daha sonra A(x) vY B(x) funksiyalarэnэ tapmaq ьзьn (7) bYrabYrliklYrin hYr iki tYrYfini inteqrallayэrэq. Xьsusi olaraq qeyd edYk ki, Laqranj ьsulundan sabit Ymsallэ xYtti qeyri-bircins diferensial tYnliklYrinin sYrbYst hYdlYri ьstlь funksiya, зoxhYdli vY xьsusi olaraq triqonometrik polinomdan fYrgli olan hallarda istifadY etmYk zYruri vY Ylveriєlidir. Misal. TYnliyi sabitlYrin variyasiyasэ metodunun kцmYyi ilY hYll edin: yЊЊ + yЊ = µ § . TYnliyin saр tYrYfi kYsr-rasional ifadY oduрundan Laqramj ьsulundan istifadY edilmэYsi mYslYhYtdidir: I addэm. TYnliyin xarakteristik tYnliyini tYrtib edYk vY onun xYtti Ysэlэ olmayan xьsusi hYllYrini tapaq: k2 + k = 0, k1 = 0, k2 = 1. Onda uyрun olaraq xьsusi hYllYr: y1 = 1, y2 = e-x . II addэm. AЊ(x) vY BЊ(x) funksiyalarэna gцrY sistem tYrtib edYk vY onun Ysas determinantэnэ hesablayaq: µ §
щ = µ § = µ § = µ § . III addэm. µ § ьзьn alэrэq: µ § = µ § = µ § = µ § Эndi isY A(x) funksiyasэnэ tapaq: A(x) = µ § + C1 . Bu inteqralэ ex = t; x = ln t; dx = d(ln t) = µ §dt YvYzlYmYnin kцmYyi ilY qeyri-mYlum Ymsallar ьsulu ilY hYll edirik: A(x) = µ § + C1 = µ §1. Bunun ьзьn D vY P Ymsallarэna gцrY sistem tYrtib edirik vY hYmin sistemindYn D=1 vY P=-1 alaraq: A(x) = ln(ex) ЁC ln(ex+1) + C1 = x - ln(ex+1) + C1. (1) IV addэm. µ § alэrэq: µ § = µ § = µ § · µ § = µ § . Indi isY µ § funksiyasэnэ tapaq: µ § = µ § + C2 . Bu inteqralэ e -x= t; -x = ln t; dx = d(-ln t) = - µ §dt YvYzlYmYnin kцmYyi ilY qeyri-mYlum Ymsallar ьsulu ilY hYll edirik: µ § = µ § + C2 (2) V addэm. NYhayYt tYnliyin ьmumi hYllini tYrtib edYk: Yьmumi = (x - ln(ex+1) + C1) + µ § · (µ § + C2) = sadYlYєdirilYndYn sonra = x + C1 + C2 · µ § ЁC ln(ex+1) · µ § . 4. XYtti bircins sabit Ymsallэ diferensial tYnliklYr sistemi. BelY tYnliklYr sisteminin ьmumi єYklini aєaрэdakэ kimi verY bilYrik: µ § = µ §, i = µ § (1) Burada µ § ЁC sabit YdYdlYr, µ § ЁC mYchul funksiyalardэr. Bu tYnliklYr sisteminin hYlli elY x1 = ц1(t), x2 = ц2(t), ..., xn = цn(t) (2) funksiyalar kьlliyatэna deyilir ki, onlarэ sistemY yazdэqda sistemin hYr tYnliyi verilmiє intervalda eynilitY зevrilsin. HYlli ьзьn baєlanрэc єYrtlYri verilYrsY mYsYlYyY sistemin Koєi mYsYlYsi deyilir. Koєi mYsYlYsinin kцmYyi ilY biz n-sayda ixtiyari c1, c2,...,cn sabitlYrinin xьsusi qiymYtlYri tapэlэr. (1) sisteminin hYlli ьзьn bir зox metodlar mцvcuddur. Onlardan biri verilmэє tYnliklYr sistemini n-tYrtibli bir xYtti diferensial tYnliyY qYtirilmYsi ьsuludur. HYmin ьsula aid n = 2 sayda tYnliklYr sisteminY baxaq: µ § = x ЁC 2y µ § = x + 3y (1) Sisteminin ikinci tYnliyini t-yY nYzYrYn diferensiallayaq vY birinci tYnliyi nYzYrY alaq. µ § = µ § + 3µ § = x ЁC 2y + 3µ § Эkinci tYnlikdYn x = µ § ЁC 3y (2) tapэb, burada yerinY yazaq µ § = µ § ЁC 3y ЁC 2y +3µ § vY ya
µ § = 4µ § + 5y = 0 n = 2 tYrtibli sabit Ymsallэ bircins tYnlik alэndэ. Bu tYnliyi hYll edYk: r2 ЁC 4r + 5 = 0, r1,2 = 2 i MYlumdur ki, xarakteristik tYnliyin kцklYri µ § olduqda bu kцklYrY uyрun xьsusi hYllYr y1 = µ §cosµ §, y2 = µ § єYklindY olur. Bizim baxdэрэmэz misalda µ § olduрundan y1 = µ §, y1 = µ § vY ьmumi hYll y = (c1cost + c2sint)µ § olar. y-эn bu qiymYtini (2)-dYn yazmaqla x = µ § ЁC 3y = (-c1sint + c2 cost - c1cost - c2sint)µ § vY ya
x = [(c2-c1)cost ЁC (c1+c2)sint]µ §. BelYliklY, verilmiє (1) sisteminin ьmumi hYlli x(t) = (c2-c1)µ §cost - (c1+c2)µ §sint y(t) = (c1 cost + c2 sint)µ § (3) dьsturlarэ ilY tYyin olunmuє olur. Mцvzu 33
ЏdYdi sэralar, onlarэn yэрэlmasэ. Yэрэlan sэralarэn xassYlYri. MьsbYt hYdli sэralar vY onlarэn yэрэlma YlamYtlYri. 1. Џsas anlayэєlar vY ьmumi teoremlYr. 2. Sэranэn yэрэlmasэnэn zYruri YlamYti. MьsbYt hYdli sэralarэn mьqayisYsi. 3. Sэranэn yэрэlmasэnэn YlamYtlYri: Dalamber YlamYti, Koєi YlamYti, inteqral YlamYti. 1. Џsas anlayэєlar vY ьmumi teoremlYr. Tutaq ki, sonsuz YdYdlYr ardэcэllэрэ verilmiєdir. Bu ardэcэllэрэn elementlYrindYn dьzYldilmiє (1) ifadYsi YdYdi sэra adlanэr. YdYdlYrinY sэranэn hYdlYri deyilir. Sэranэn sonlu sayda ilk n hYddinin cYminY sэranэn n-ci xьsusi cYmi deyilir vY ilY iєarY edilir: ЏgYr limiti varsa vY sonludursa, onda bu limit (1) sэrasэnэn cYmi adlanэr vY bu halda deyirlYr ki, sэra yэрэlandэr. limiti yoxdursa (mYsYlYn, ) deyirlYr ki, (1) sэrasэ daрэlandэr vY cYmi yoxdur. sэrasэnэn hYdlYri hYr hansэ bir parзasэnda qiymYtlYr alan x dYyiєYnindYn asэlэ funksiyalardэrsa, bu sэraya funksional sэra deyilir: (2) x dYyiєYninY mьxtYlif qiymYtlYr vermYklY mьxtYlif YdYdi sэralar almэє olarэq. Bu YdYdi sэralar yэрэlan vY ya daрэlan ola bilYr. (2) sэrasэnэn yэрэldэрэ x YdYdlYri зoxluрuna funksional sэranэn yэрэlma oblastэ deyilir. Aydэndэr ki, sэranэn cYmi x dYyiєYnindYn asэlэ bir funksiyadэr vY bu funksiyanэn tYyin oblastэ hYmin yэрэlma oblastэndan ibarYtdir. Buna gцrY dY funksional sэranэn cYmini ilY iєarY edirlYr. (2) sэrasэnэn ilk n hYddinin cYmini ilY iєarY edYk. ЏgYr bu sэra yэрэlэrsa vY onun cYmi olarsa, onda , burada funksiyasэ . Bu halda funksiyasэ (2) sэrasэnэn qalэрэ adlanэr. Yэрэlma intervalэndan gцtьrьlmьє bьtьn x-lYr ьзьn , buna gцrY dY , yYni yэрэlan sэranэn qalэрэ єYrtindY sэfra yaxэnlaєэr. ЏdYdi sэralarэn aєaрэdakэ xassYlYrinY baxaq. Teorem 1. Verilmiє (1) sэrasэnэn bir neзY hYddini atdэqdan sonra alэnan sэra yэрэlэrsa, verilmiє sэranэn цzь dY yэрэlэr. ЏksinY, verilmiє sэra yэрэlэrsa, bu sэranэn bir neзY hYddini atdэqdan sonra alэnan sэra da yэрэlэr. Baєqa sцzlY, sэranэn sonlu sayda hYdlYrinin atэlmasэ onun yэрэlmasэna tYsir etmir. Teorem 2. ЏgYr sэrasэ yэрэlэrsa vY onun cYmi S YdYdinY bYrabYrdirsY, onda sэrasэ da yэрэlэr vY onun cYmi cS YdYdinY bYrabYrdir; burada c hYr hansэ qeyd edilmiє YdYddir. Teorem 3. ЏgYr vY sэralarэ yэрэlэrsa vY onlarэn cYmlYri uyрun olaraq S vY YdYdlYrinY bYrabYrdirsY, onda vY sэralarэ da yэрэlэr vY onlarэn cYmi uyрun olaraq vY YdYdlYrinY bYrabYrdir, yYni 2. Sэranэn yэрэlmasэnэn zYruri YlamYti. MьsbYt hYdli sэralarэn mьqayisYsi. єTeorem 1. (sэralarэn yэрэlmasэnэn zYruri YlamYti). ЏgYr sэra yэрэlэrsa, onda n qeyri-mYhdud artdэqda onun n-ci hYddi sэfra yaxэnlaєэr. Эsbatэ. Tutaq ki, µ § sэrasэ yэрэlэr, yYni µ § (burada S ЁC sэranэn cYmidir), onda µ § єYrtindY µ § olduрundan µ §. Birinci bYrabYrlikdYn ikinci bYrabYrliyi tYrYf-tYrYfY зэxsaq µ § yaxud
µ § alэrэq. DigYr tYrYfdYn µ § olduрundan µ § olar. Teorem isbat edildi. NYticY. Sэranэn n-ci hYddi µ § єYrtindY sэfra yaxэnlaєmэrsa, sэra daрэlэr. Qeyd edYk ki, baxэlan YlamYt yэрэlma ьзьn ancaq zYruridir, kafi deyil, yYni sэranэn n-ci hYddinin sэfra yaxэnlэєmasэndan onun yэрэlmasэ alэnmэr, sэra daрэla da bilYr. MYsYlYn, harmonik sэra adlanan µ §
sэrasэ daрэlэr, lakin µ §.
єMьsbYt hYdli sэralarэn mьqayisYsi. Tutaq ki, mьsbYt hYdli iki sэra verilmiєdir: µ §, (1)
µ § (2) Onlar ьзьn aєaрэdakэ tYkliflYr doрrudur. єTeorem 2. ЏgYr (1) sэrasэnэn hYdlYri (2) sэrasэnэn uyрun hYdlYrindYn bцyьk deyildirsY, yYni µ § (n = 1, 2, ЎK) vY (2) sэrasэ yэрэlэrsa, onda (1) sэrasэ da yэрэlэr. єTeorem 3. ЏgYr (1) sэrasэnэn hYdlYri (2) sэrasэnэn uyрun hYdlYrindYn kiзik deyildirsY, yYni µ § (n = 1, 2, ЎK) vY (2) sэrasэ daрэlэrsa, onda (1) sэrasэ da daрэlэr. Qeyd. Bu YlamYtlYr (1-ci vY 2-ci teorem) ancaq mьsbYt hYdli sэralar ьзьn doрrudur. Bu sэralarэn bYzi hYdlYri sэfэr olduqda da bu YlamYtlYr цz gьcьndY qalэr, ancaq sэralarэn hYdlYri iзYrisindY mYnfi hYdlYr olarsa, onda bu YlamYtlYr doрru olmaya da bilYr. 3. Sэranэn yэрэlmasэnэn YlamYtlYri: Dalamber YlamYti, Koєi YlamYti, inteqral YlamYti. єTeorem 1. (Dalamber YlamYti). ЏgYr mьsbYt hYdli µ § (1) sэrasэnda (n+1)-ci hYddin n-ci hYddY nisbYtinin µ § єYrtindY sonlu l limiti varsa, yYni µ §, onda:
1) l < 1 olduqda sэra yэрэlэr, 2) l > 1 olduqda sэra daрэlэr, 3) l = 1 olduqda sэranэn yэрэlan olub-olmamasэ sualэna bu teorem cavab vermir. єTeorem 2. (Koєi YlamYti). ЏgYr mьsbYt hYdli (1) sэrasэ ьзьn µ § kYmiyyYtinin µ § єYrtindY sonlu l limiti varsa, yYni µ §, onda: 1) l < 1 olduqda sэra yэрэlэr, 2) l > 1 olduqda sэra daрэlэr. Qeyd. Dalamber YlamYtindY olduрu kimi burada da µ § halэ YlavY tYdqiqat tYlYb edir. Bu єYrti цdYyYn sэralar iзYrisindY istYr yэрэlan vY istYrsY dY daрэlan sэralar vardэr. єTeorem 3. (inteqral YlamYti). Tutaq ki, µ § (1)
sэrasэnэn hYdlYri mьsbYt vY artmayandэr, yYni µ §
vY f (x) elY artmayan kYsilmYz funksiyadэr ki, µ §, µ §, ЎK , µ § єYrtlYrini цdYyir. Bu halda aєaрэdakэ tYkliflYr doрrudur: 1) YgYr µ § qeyri-mYxsusi inteqralэ yэрэlэrsa, (1) sэrasэ da yэрэlэr, 2) hYmin inteqral daрэlэrsa, (1) sэrasэ da daрэlэr. Mцvzь 34
ЭєarYsi dYyiєYn sэralar (nцvlYri). Leybnis YlamYti. QьvvYt sэralarэ. 1. ЭєarYsi dYyiєYn sэralar 2. Leybnis teoremi. 3. QьvvYt sэralarэ. 1. ЭєarYsi dYyiєYn sэralar. Sэranэn hYdlYri iзYrisindY hYm mьsbYt vY hYm dY mYnfi iєarYli hYdlYr olarsa, onda belY sэraya iєarYsini dYyiєYn sэra deyilir. Teorem 1. ЏgYr iєarYsini dYyiєYn (1) sэrasэnэn hYdlYrinin mьtlYq qiymYtlYrindYn dьzYldilmiє (2) sэrasэ yэрэlэrsa, onda verilmiє iєarYsini dYyiєYn sэra da yэрэlэr. Qeyd edYk ki, bu yэрэlma YlamYti iєarYsini dYyiєYn sэralar ьзьn yalnэz kafi YlamYtdir, zYruri YlamYt deyil; iєarYsini dYyiєYn elY sэralar var ki, цzlYri yэрэlэr, lakin mьtlYq qiymYtlYrindYn dьzYldilmiє sэralar daрэlэr. Buna gцrY dY iєarYsini dYyiєYn sэralar ьзьn yeni mьtlYq vY єYrti yэрэlma anlayэєlarэnэ vY bu anlayэєlar Ysasэnda iєarYsini dYyiєYn sэralarэn tYsnifatэnэ vermYk lazэm gYlir. TYrif. HYdlYri mьxtYlif iєarYli olan (1) sэrasэnэn hYdlYrinin mьtlYq qiymYtlYrindYn dьzYldilmiє (2) sэrasэ yэрэlэrsa, (1) sэrasэna mьtlYq yэрэlan sэra deyilir. ЭєarYsini dYyiєYn (1) sэrasэ yэрэlэrsa, lakin onun mьtlYq qiymYtlYrindYn dьzYldilmiє (2) sэrasэ daрэlэrsa, verilmiє (1) sэrasэna єYrti vY ya qeyri-mьtlYq yэрэlan sэra deyilir. HYdlYri mьxtYlif iєarYli YdYdlYr olan sэralarэn Yn sadY nцvь iєarYsini nцvbY ilY dYyiєYn sэralardэr. (3)
єYklindY olan sэraya iєarYsini nцvbY ilY dYyiєYn sэra deyilir. 2. Leybnis teoremi. Leybnis teoremi. ЭєarYsini nцvbY ilY dYyiєYn µ § µ §
sэrasэnэn hYdlYri azalэrsa: µ §
vY µ §
єYrti цdYnirsY, onda (1) sэrasэ yэрэlэr, onun cYmi mьsbYt YdYddir vY birinci hYddYn bцyьk deyildir. 3. QьvvYt sэralarэ. TYrif 1. Aєaрэdakэ єYkildY verilmiє funksional sэraya qьvvYt sэrasэ deyilir: µ §, (1)
burada µ §sabit YdYdlYrdir, bu YdYdlYr sэranэn Ymsallarэ adlanэr. Teorem 1 (Abel teoremi). 1) ЏgYr qьvvYt sэrasэ x0-эn sэfra bYrabYr olmayan hYr hansэ bir qiymYtindY yэрэlэrsa, onda bu sэra µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn x-lYr ьзьn mьtlYq yэрэlэr; 2) YgYr qьvvYt sэrasэ hYr hansэ bir x0 nцqtYsindY daрэlэrsa, onda bu sэra x-in µ § bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn qiymYtlYrindY daрэlэr. Bu teoremdYn alэnэr ki, qьvvYt sэrasэnэn yэрэlma oblastэ, mYrkYzi koordinat baєlanрэcэnda olan intervaldэr. TYrif 2. Tutaq ki, µ § intervalэnэn istYnilYn daxili nцqtYsindY verilmiє qьvvYt sэrasэ yэрэlэr vY istYnilYn xarici nцqtYsindY isY sэra daрэlэr. Onda R YdYdinY qьvvYt sэrasэnэn yэрэlma radiusu, µ § intervalэna isY onun yэрэlma intervalэ deyilir. Эntervalэn uclarэnda (yYni ЁCR vY R nцqtYlYrindY) sэranэn yэрэlэb-daрэlan olduрunu hYr bir sэra ьзьn ayrэca yoxlamaq lazэmdэr. Qeyd edYk ki, elY sэralar var ki, yэрэlma intervalэ ancaq bir nцqtYdYn ibarYtdir (R = 0) vY elY sэralar da var ki, yэрэlma intervalэ bьtьn OX oxunu YhatY edir (µ §).
QьvvYt sэrasэnэn yэрэlma radiusu sэralarэn Dalamber vY Koєi YlamYtinY YsasYn tapmaq olar. QьvvYt sэralarэnэn yэрэlma radiusu µ § vY ya µ § dьsturu ilY tYyin olunur. Teorem 2. µ § intervalэ (1) qьvvYt sэrasэnэn yэрэlma intervalэdэrsa, onda (1) sэrasэnэ hYdbYhYd diferensiallamaqla alэnan µ § (3) qьvvYt sэrasэnэn da yэрэlma intervalэ hYmin µ § intervalэdэr, bundan baєqa yэрэlma intervalэnэn daxilindY (1) qьvvYt sэrasэnэn cYminin tцrYmYsi, hYmin sэranэ hYdbYhYd diferensiallamaqla alэnan sэranэn cYminY bYrabYrdir. Bu teoremi (3) sэrasэna tYtbiq etmYklY hYmin sэranэn da µ § yэрэlma intervalэ daxilindY hYdbYhYd diferensiallanan olduрununu almaq olar. HYmin prosesi istYnilYn qYdYr davam etdirmYk olar vY belYliklY, aєaрэdakэ nYticY alэnar. Teorem 3. ЏgYr µ § qьvvYt sэrasэnэn yэрэlma intervalэdэrsa, bu intervalэn daxilindY sэranэn cYminin istYnilYn tYrtibli tцrYmYsi var, bu tцrYmYlYrdYn istYnilYn k tYrtiblisi verilmiє sэranэ k dYfY diferensiallamaqla alэnan sэranэn cYminY bYrabYrdir, bundan baєqa diferensiallamaqla alэnan sэralarэn hYr birinin yэрэlma intervalэ hYmin µ § intervalэdэr. Teorem 4. (1) qьvvYt sэrasэnэ onun µ § yэрэlma intervalэ daxilindY yerlYєYn hYr bir µ § parзasэnda hYdbYhYd inteqrallamaq olar. (x ЁC a) ikihYdlisinin qьvvYtlYrinY gцrY dьzьlmьє µ § funksional sэrasэ da qьvvYt sэrasэdэr, µ § YdYdlYrinY sэranэn Ymsallarэ deyilir. Bu sэra x-in µ § bYrabYrsizliklYrini цdYyYn qiymYtlYrindY yэрэlэr vY µ § olduqda isY daрэlэr. DemYli, R yэрэlma radiusudur, sэranэn yэрэlma intervalэ isY mYrkYzi a nцqtYsindY olan (µ §) intervalэdэr. Mцvzь 35 Funksional sэralar. Teylor vY Makloren sэralarэ. 1. Teylor vY Makloren sэralarэ. 2. Elementar funksiyalarэn Makloren sэrasэna ayrэlmasэ. 1. Teylor vY Makloren sэralarэ. TYrif. Tutaq ki, µ § (1) qьvvYt sэrasэ (µ §) intervalэnda yэрэlэr vY onun cYmi µ § funksiyasэna bYrabYrdir, yYni x-in (µ §) intervalэndakэ bьtьn qiymYtlYrindY µ § bYrabYrliyi doрrudur. Onda, deyirlYr ki, µ § funksiyasэ (µ §) intervalэnda (1) qьvvYt sэrasэna ayrэlэr. єTutaq ki, µ § funksiyasэ (µ §) intervalэnda qьvvYt sэrasэna ayrэlmэєdэr, yYni µ § (2)
Onda bu sэranэ istYnilYn tYrtibdYn hYdbYhYd diferensiallamaq olar: µ §
Bu bYrabYrliklYrdY vY (2)-dY x-in yerinY a yazdэqda: µ §, µ §, µ §, µ §, µ §, ЎK buradan
µ §, µ §, µ §, (3) µ §, µ §, ЎK µ § Ymsallarэnэn tapdэрэmэz bu qiymYtlYrini (2) dьsturunda yerinY yazsaq alarэq µ §
µ § (4) Bu bYrabYrliyin saр tYrYfindYki sэra Teylor sэrasэ adlanэr. (4) bYrabYrliyi µ § funksiyasэnэn a nцqtYsindY Teylor sэrasэna ayrэlэєэdэr. (3) YdYdlYrinY Teylor Ymsallarэ deyilir. Xьsusi halda, a=0 olduqda Teylor sэrasэ µ §
єYklinY dьєьr. Bu bYrabYrliyin saр tYrYfindYki sэra Makloren sэrasэ adlanэr, bYrabYrlik isYµ §funksiyasэnэn Makloren sэrasэna ayrэlэєэdэr. 2. Elementar funksiyalarэn Makloren sэrasэna ayrэlmasэ. I. µ § funksiyasэnэn ayrэlэєэ. Ardэcэl tцrYmYlYri vY onlarэn xьsusi qiymYtlYrini tapaq: µ §, µ §; µ §, µ §; µ §, µ §; µ §, µ §; ЎK Bu qiymYtlYri Makloren sэrasэnda yerinY yazdэqda, nYticYdY alarэq: µ § II. µ § funksiyasэnэn ayrэlэєэ. µ §, µ §; µ §, µ §; µ §, µ §; µ §, µ §; µ §, µ §; ЎK µ §
III. µ § funksiyasэnэn ayrэlэєэ. µ §
IV. µ § funksiyasэnэn ayrэlэєэ. µ §
V. µ § funksiyasэnэn ayrэlэєэ. µ §
Mцvzu 36 Џsas anlayэєlar. Cismin rYqs tYnliyi. 1. Џsas anlayэєlar vY tYriflYr. 2. TYnliklYrin hYlli haqqэnda, sYrhYd єYrtlYr. 3. Simin rYqs tYnliyi. 4. Simin rYqs tYnliyi ьзьn baєlanрэc vY sYrhYd єYrtlYri. 5. Sonlu simin sYrbYst rYqs tYnliyinin Furye ьsulu ilY hYlli. 1. Џsas anlayэєlar vY tYriflYr. BirdYyiєYnli mYchul funksiya vY onun mьxtYlif tYrtibli tцrYmYlYri daxil olan hYr bir bYrabYrlik adi diferensial tYnlik adlanэr. BelY tYnliklYr vY onlarэn mьxtYlif hYlli ьsullarэ XXX ЁC XXXIV fYsillYrdY цyrYnilmiєdir. Bu fYsildY зoxdYyiєYnli mYchul funksiya vY onun mьxtYlif tYrtibli xьsusi tцrYmYlYri daxil olan diferensial tYnliklYr цyrYnilir. Onlara xьsusi tцrYmYli diferensial tYnliklYr deyilir. Burada, fizika, mexanika vY texnika mYsYlYlYrinin hYlli ilY baрlэ olan ikitYrtibli xьsusi tцrYmYlYr konkret diferensial tYnliklYr tYdqiq edilir. BelY tYnliklYrYr riyazi fizika tYnliklYri deyilir. Diferensial tYnliyY daxil olan tцrYmYlYrin Yn yьksYk tYrtibli hYmin tYnliyin tYrtibi adlanr. MYsYlYn, mYchul U funksiyasэ iki x vY y dYyiєYnindYn asэlэ olduqda µ §
tYnliklYri birtYrtibli, µ §
TYnliklYri isY ikitYrtibli diferensial tYnliklYrdir. Bu halda, ikitYrtibli xьsusi tцrYmYli diferensial tYnliyin uyumu єYkli µ § (1)
kimi yazэlэr. TYnlikdY iєtirak edYn bьtьn tцrYmYlYr bir dYrYcYli olduqda (1) bYrabYrliyi ikitYrtibli xYtti diferensial tYnliyY зevrilir: µ §
µ § (2) TYnliyin saр tYrYfi sэfra bYrabYr olduqda µ § alэnan µ § µ § (3)
bYrabYrliyinY ikitYrtibli xYtti bircinsli diferensial tYnlik deyilir. µ § funksiyasэ (3) xYtti bircinsli diferensial tYnliyini цdYyir, yYni onun hYllidir. L. Eyler gцstYrmiєdir ki, x vY y dYyiєYnlYrin yeni 5 vY з dYyiєYnlYri ilY µ §, µ § kimi YvYz etmYklY, (2) єYklindY hYr bir tYnliyi aєaрэdakэ ьз єYkildYn birinY gYtirmYk olar: 1. Elliptik tipli tYnliklYr µ § (4) kanonik єYklindY; 2. Qiperbolik tipli tYnliklYr µ § (5)
kanonik єYklindY; 3. Parabolik tipli tYnliklYr isY µ § (6) kanonik єYklinY gYtirilir. Yeni funksiyalar daxil etmэklY (4) ЁC (6) tYnliklYri зox vaxt uyрun olaraq aєaрэdakэ daha sadY єYkillYrY gYtirilir (a - sabit YdYddir): µ § (elleptik), µ § (hiperbolik), µ § (parabolik). 2. TYnliklYrin hYlli haqqэnda, sYrhYd єYrtlYr. єVerilmiє diferensial tYnliyi mьYyyYn oblastda eyniliyY зevirYn hYr bir funksiya hYmin tYnliyin hYlli vY ya inteqralэ adlanэr. Ai diferensial tYnliklYr kimi, xьsusi tцrYmYli diferensial tYnliklYrin dY, ьmьmiyyYtlY, sonsuz sayda hYlli vardir. Lakin adi diferensial tYnliyin ьmumu hYlli tYnliyin tYrtibi sayda ixtiyari sabitdYn(parametrdYn) asэlэ olduрu halda, xьsusi tцrYmYli tYnliyin ьmumu hYlli tYnliyin tYrtibi sayda ixtiyari funksiyadan asэlэ olur. MYsYlYn, µ § (1) tYnliyinin ьmumu hYlli µ § єYklindY funksiyadэr. Burada µ § ilY y-dYn asэlэ olan ixtiyari funksiya iєarY edilmiєdir. µ § (2) tYnliyinin ьmumu hYlli dY ixtiyariµ § funksiyasэ vasitYsilY yazэlmэє µ § µ § (µ § єYklindY funksiyadэr. Buna inanmaq ьзьn (µ § bYrabYrliyinin hYr iki tYrYfini y-Y nYzYrYn diferensiallamaq kifayYtdir. ЭkitYrtibli xYtti µ § (3)
diferensial tYnliyinin ьmumu hYlli iki ixtiyari funksiyadan asэlэdэr. Dogrudan da, µ § YvYzlYmYsini apardэqda (3) tYnliyi (1) єYklundY tYnliyY зevrilir: µ §.
Bu tYnliyin ьmumu hYlli ixtiyari µ § funksiyasэdэr:µ §. Onda (3) tYnliyinin ьmumu hYlli µ § tYnliyinin hYlli olar. (2) єYklindY olan sonuncu tYnliyin ьmumu hYlli isY µ §
єYklindY funksiyadэr. Burada µ § vY µ § ixtiyari funksiyalar olduрdan sonuncu bYrabYrliyi µ § (4)
kimi yazmaq olar. Saр tYrYfdY iєtirak edYn µ § funksiyasэ, ixtiyari µ § funksiyasэnэn inteqralэ olduрundan, o da hYr hansэ ixtiyari funksiyadэr. DemYli ikitYrtibli (3) tYnliyinin ьmumi hYlli olan (4) funksiyasэ iki ixtiyari µ § vY µ § funksiyalarэndan asэlэdэr. єXьsusi tцrYmYli diferensial tYnliklYrin, ьmumiyyYtlY, sonsuz sayda hYlli vardэr. Onlarэn xYtti asэlэ olmayan hYllYri belY sonsuz sayda ola bilYr. Bu hYllYr iзYrisindYn tYlYb olunanэnэ, yYni qoyulan konkret mYsYlYnin hYllini ayэrmaq ьзьn mьYyyYn YlavY зYrtlYr verilmYlidir. TYnliyin nцvьndYn asэlэ olaraq bu YlavY єYrtlYr mьxtYlif ola bilYr. Verilmiє tYnlikdY zamanэ gцstYrYn koordinat iєtirak etdikdY (belY tYnliyY gYtirilYn mYsYlYyY riyazi fizikanэn dinamik mYsYlYsi deyilir) YlavY olaraq baєlanрэc єYrtlYr verilir. Bu halda axtarэlan funksiyanэn µ § baєlanрэc anda qiymYti (tYnlikdY zamana gцrY birtYrtibli tцrYmY iєtirakl etdikdY) vY hYm dY onun dYyiєmY sьrYtinin baєlanрэc anda qiymYti (tYnlikdY zamana gцrY ikitYrtibli tцrYmY iєtirakl etdikdY) verilY bilYr. Bir sэra tYnliklYri hYll edYrkYn baєlanрэc зYrtlYrdYn baєqa baxэlan oblastэn sYrhYdindY dY єYrtlYr (sYrhYd єYrtlYri) verilir. SYrhYd єYrtlYri olaraq axtarэlan funksiyanэn цzьnьn vY onun sYrhYdin normalэ ьzrY tцrYmYsinin sYrhYddY qiymYtlYri vY ya onlarэn mьYyyYn kombinasiyasэ verilY bilYr. TYnlikdY zaman iєtirak etdikdY (belY tYnliyY gYtirilYn mYsYlYyY riyazi fizikanэn stasionar vY ya statik mYsYlYsi deyilir) onu hYll edYrkYn ancaq sYrhYd єYrtlYri verilir. 3. Simin rYqs tYnliyi. Riyazi fizikada sim dedikdY uzunluрu baєqa цlзьlYrinY nYzYrYn зox bцyьk olan cisim nYzYrdY tutulut. Tutaq ki, tarэm зYkilmiє elastiki simin uclarэ Ox oxunun x = a vY x = b nцqtYlYrinY bYrkidilmiєdir. u M1 M2 ц T T 0 a x x+x b x HYr hansэ xarэcэ qьvvYnin tYsiri ilY simi bu mьvazinYt halэndan зэxardaraq onun nцqtYlYrinY baєlanрэc sьrYt verYk. Xarici qьvvYnin tYsirini kYsdikdY sim цzbaєэna mьYyyYn hYrYkYt edYr. Bu halda deyillYr ki, sim rYqsi hYrYkYt edir. Burada simin elY rYqsi hYrYkYtinY baxэlэr ki, bu hYrYkYt zamanэ onun bьtьn nцqtYlYri Ox oxuna perpendikulyar istiqamYtdY eyni bir mьstYvi ьzYrindY yerlYєir. Simin belY hYrYkYtinY onun eninY rYqsi deyilir. Burada Ysas mYsYlY, simin eninY rYqsi zamanэ istYnilYn anda onun formasэna vY nцqtYlYrinin zamandan asэlэ olan hYrYkYt qanununu tYyin etmYkdYn ibarYtdir. Simin, absisi x olan nцqtYsinin Ox oxundan t anэnda meylini U(x, t) ilY iєarY etsYk, onda U = U(x, t) funksiyasэnэn (OxU) koordinat sistemindY qrafiki rYqsi hYrYkYtdY olan simin t anэnda formasэna gцstYrYr. Bu halda, absisi x olan nцqtYnin hYrYkYt sьrYti µ § vY bu hYrYkYtin tYcili µ § olar. Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|