Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

XassY 7. (tцrYmYnin sьrYti). Orijinal f(t) funksiyasэnэn bьtьn

f k(t) (k = 1, 2, ..., n) tцrYmYlYri orijinaldэrsa vY µ § bYrabYrliyi цdYnilirsY, onda istYnilYn natural k YdYdi ьзьn

µ § (8)

(k = 1, 2, ..., n)

bYrabYrliyi doрrudur.

XassY 8. (orijinalэn inteqrallanmasэ). Orijinal f(t) funksiyasэnэn inteqralэ olan ц(t) = µ § funksiyasэ da orijinaldэr vY µ § olduqda

µ § (9)

olur.

XassY 9. (sьrYtin inteqrallanmasэ). f(t) funksiyasэnэn µ § Laplas зevirmYsi ьзьn µ § qeyri-mYxsusi inteqralэ yэрэlan olduqda

µ § (10)

NYticY. (10) bYrabYrliyindY p = 0 gцtьrdьkdY (YlbYttY, alэnan qeyri-mYxsusi inteqrallar yэрэlan olduqda)

µ § (11)

mьnasibYti alэnэr.

Misal 5. f(t) = µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsi tapmalэ.

µ §

olduрundan (10) bYrabYrliyinY gцrY

µ §

olar. Eyni zamanda (11) bYrabYrliyinY gцrY

µ § µ §

alэnэr.

5. Laplas зevirmYsinin tYrsi.

ЭndiyY gYdYr Laplas зevirmYsinin bir sэra xassYlYrini цyrYnmYklY vY verilmiє orijinalэn Laplas зevirmYsini tapmaqla mYєрul olmuєuq. Lakin Laplas зevirmYsini bir sэra mYsYlYlYrin hYllinY tYtbiq etdikdY sьrYti verilmiє orijinalэn tapэlmasэ tYlYb olunur. Bu isY Laplas зevirmYsinin tYrsinin varlэрэ vY tapэlmasэ mYsYlYsi ilY baрlэdэr.

Teorem. (Mellin). Tutaq ki, Re pµ § yarэmmьstYvisindY analitik olan F(p) funksiyasэ µ § yarэmoxunun istYnilYn sonlu hissYsindY hissY-hissY hamar vY artma gцstYricisi µ § olan f(t) funksiyasэnэn Laplas зevirmYsidir. Onda f(t) funksiyasэnэn kYsilmYz olduрu hYr bir nцqtYdY

µ § (1)

bYrabYrliyi doрrudur. Buna Mellin dьsturu deyilir.

Misal.

µ § funksiyasэnэn orijinalэnэ tapmalэ.

Burada A(p) = 1, B(p) = µ § vY µ § YdYdlYri F(p) kYsrinin sadY polyuslarэdэr. Onda F(p) funksiyasэnэn orijinalэ µ § bYrabYrliyi ilY hesablanэr. BЊ (p) = 3p2 ЁC 12p + 11 olduрundan alэrэq:

µ §.

Mцvzu 39

Diferensial tYnliklYrin vY diferensial tYnliklYr sistemlYrinin

operasiya ьsulu ilY hYlli.

1. BYzi funksiyalarэn surYtlYrinin cYdvYli.

2. Laplas зevirmYlYrin kцmYyi ilY adi diferensial tYnliklYrinin

hYlli.

3. Diferensial tYnliklYr sistemlYrinin hYlli.

1. BYzi funksiyalarэn surYtlYrinin cYdvYli.

№ Orijinal: f (t) 5м-sьrYt 5м-sьrYti: F(p) = µ §

11µ §2µ §µ §3µ §µ §4µ §µ §5µ §µ §6µ §µ §7µ §µ §8µ §µ §9µ §

µ §µ §10µ §µ §11µ §µ §12µ § µ § µ §13µ §µ §14µ §µ §15µ §µ §16µ §µ §17µ §µ §18µ §µ §19µ §

µ §µ §20µ § µ §21µ §µ §22µ §µ §23µ §µ §24µ §µ §25µ §µ §

2. Laplas зevirmYlYrin kцmYyi ilY adi diferensial tYnliklYrinin

hYlli.

Tutaq ki, sabit Ymsallэ xYtti bircinsli olmayan

µ § (1)

adi diferensial tYnliyinin

µ § (2)

baєlanрэc єYrtini цdYyYn y = y(t) hYllini tapmaq tYlYb olunur.

MYsYlYni hYll etmYk ьзьn (1) tYnliyini hYr iki tYrYfini µ §-Y vurub, (0, ) intervalэ ьzrY inteqrallayaq:

µ §

µ §

Bu bYrabYrliyi

µ § (3)

kimi dY yazmaq olar. µ § vY µ § qYbul etsYk vY (2) єYrtinY gцrY

µ §

µ §

Olduрunu nYzYrY alsaq, (3) bYrabYrliyindYn

µ §

µ §

µ §

vY ya

µ § (4)

alэrэq. Burada aєaрэdakэ iєarYlYrdYn istifadY edilmiєdir:

µ §

µ §

µ § .

µ § зoxhYdlisi (1) tYnliyinin xarakteristik зoxhYdlisidir. µ § isY p-yY nYzYrYn (n ЁC 1) dYrYcYli cYbri зoxhYdlidr.

(4) bYrabYrliyindYn

µ § (5)

mьnasibYti alэnэr. BelYliklY, axtarэlan y(t) hYllinin Laplas зevirmYsi tapэlmэє olur. SurYti mYlum olan funksiyanэn (orijinalэnэn) цzьnь isY tYrs Laplas зevirmYsi vasitYsilY tapmaq olar.

(2) baєlanрэc єYrtlYri

µ §

kimi olduqda µ § olar vY (5) bYrabYrliyi

µ § (6)

kimi sadY єYkildY yazэlэr.

Misal 1. µ § tYnliyinin

µ §

Baєlanрэc єYrtini рdYyYn hYllini tapmalэ.

µ §

vY

µ §

olduрundan (6) bYrabYrliyinY gцrY.

µ § (7)

olar. Buradan

µ §

alэnэr.

Misal 2. µ § tYnliyinin µ § baєlanрэc єYrtlYrini рdYyYn hYllini tapmalэ.

µ § vY µ § olduрundan (6) bYrabYrliyi

µ §

kimi yazэlэr. Bu ifadYni sadY kYsrlYrY ayэraq:

µ §

Buradan µ § vY µ § bYrabYrliklYrinY YsasYn

µ §

alэnэr.

3. Diferensial tYnliklYr sistemlYrinin hYlli.

Adi diferensial tYnliklYi hYll etmYk ьзьn yuxarэda tYtbiq olunan operasiya ьsulu adi diferensial tYnliklYr sisteminin hYll etmYk ьзьn dY yarayэr. Bu zaman yuxarэda aparэlan mьhakimY, demYk olar ki, tYkrar olunur. Bunu bir misal ьzYrindY izah edYk.

µ § (1)

TYnliklYr sisteminin x(0) = 0, y(0) = 0 baєlanрэc єYrtlYrini цdYyYn x = x(t) vY

y = y(t) hYllini tapmalэ. X(p) = 5мµ § vY Y(p) = 5мµ § qYbul edYrYk, (1) tYnliklYrinin hYr birinin hYr iki tYrYfinin Laplas зevirmYsinin hesablasaq , X(p) vY Y(p)surYtinY nYzYrYn

µ §

cYbri tYnliklYr sistemi alэnar. Buradan hYmin rYtlYr tapэlэr:

µ § .

Bu ifadYlYri

µ § vY µ §

kimi yazdэqda

µ §

olduрu aydэn olur.

єLaplas зevirmYsi cYdvYli.

Budara praktiki mYsYlYlYrin hYllindY зox iєlYdilYn bir sэra elementar funksiyalarэn Laplas зevirmYlYri cYdvYli verilir.

Mцvzu 40

TYsadьfi hadisYlYr. Ehtimalэn klassik tYrifi. Ehtimallarэn

toplanmasэ vY vurulmasэ qaydalarэ.

1. TYsadufi hadisYlYr.

2. Ehtimalэn klassik tYrifi.

3. Ehtimalnan baрlэ mYsYlYlYrdY kombinatorikanэn

elementlYrindYn istifdY.

4. Ehtimallarэn toplanmasэ vY vurulmasэ qaydalarэ.

1. TYsadufi hadisYlYr.

Bizi YhatY edYn gerзYkliyin dYrk edilmYsi sэnaqlar vY mьєaidYlYr nYticYsindY baє verir. Ehtimal nYzYriyyYsinin Ysas anlayэєlarэndan biri sэnaq anlayэєэdэr. Sэnaq dedikdY nYticYsi YvvYlcYdYn mYlum olmayan tYcrьbY vY ya mьєahidY baєa dьєьlьr.

Misal 1. Tutaq ki, metal pulu bir tYfY atэrэq. Bu zaman gYrb vY ya pul ьzь dьєY bilYr. Hansэ ьzьn yuxarэ dьєYcYyini, yYni bu sэnaрэn nYticYsini YvvYlcYdYn demYk olmaz.

TYrif 1. TYcrьbYnin hYr bir nYticYsi elementar hadisY adlanэr.

TYrif 2. NYticYsi YvvYlcYdYn proqnozlaєdэrэla bilinmYyYn hadisYyY tYsadьfi hadisY deyilir.

Misal 2. Qabda mьxtYlif rYngli kьrYciklYr vardэr. Qabdan kьrYciyin зэxarэlmasэ sэnaqdэr. Зэxarэlmэє kьrYciyin hYr hansэ rYngdY olmasэ isY hadisYdiir.

TYrif 3. TYcrьbY nYticYsindY hьkmYn baє verYn hadisYyY yYqin hadisY deyilir.

Misal 3. Bir cьt zYri bir dYfY atdэqda dьєYn xallar cYminin 12-dYn зox olmamasэ yYqin hadisYdir.

TYrif 4. TYcrьbY nYticYsindY baє vermYyYcYyi YvvYlcYdYn mYlum olan hadisYyY bu tYcrьbYdYn mьmkьn olmayan hadisY deyilir.

Misal 4. ЭзYrisindY yalnэz qara rYngli kьrYciklYr olan qutudan aр rYngli kьrYciyin зэxarэlmasэ hadisYsi mьmkьn olmayan hadisYdir.

Ehtimal nYzYriyyYsi mYhz tYsadьfi hadisYlYrin qanuna uyрunluqlarэnэ цyrYnYn elmdir.

TYrif 5. ЏgYr A1, A2, ..., An hadisYlYrindYn hYr hansэ ikisinin eyni zamanda baє vermYsi mьmkьn deyilsY, belY hadisYlYrY uyuєmayan hadisYlYr deyilir.

Xьsusi halda, bir sэnaq zamanэ iki hadisYdYn biri baє vermYsi o birinin baє vermYsini inkar etmirsY belY hadisYlYrY uyuєan hadisYlYr deyilir, YgYr inkar edirsY, onda belY hadisYlYrY uyuєmayan hadisYlYr deyilir.

Misal 5. Metal pulu bir dYfY atэrэq. GYrb ьzьnьn hadisYsi pul ьzьnьn dьєmYsi hadisYsini inkar edir vY demYli, bu hadisYlYr uyuєmayandэr.

Misal 6. ZYri atdэqda “3” ьzьnьn dьєmYsi vY 6 YdYdinin bцlYnlYrinin dьєmYsi hadisYlYri uyuєandэr, зьnkь 3 hYm dY 6-nэn bцlYnidir.

TYrif 6. ЏgYr A1, A2, ..., An hadisYlYr зoxluрu cьt-cьt uyuєmayandэrsa vY onlardan birinin vY yalnэz birinin baє vermYsi yYqin hadisYdirsY bu зoxluq tam qrup adlanэr.

Misal 7. Bir zYri bir dYfY atdэqda 1-dYn 6-ya qYdYr olan xallardan biri dьєmYsi yYqin hadisYdir. Odur ki, bu hadisYlYr tam qrup tYєkil edir.

Xьsusi halda, YgYr sэnaq nYticYsindY iki hadisYdYn yalnэz biri hцkmYn baє verYrsY, onda bu hadisYlYrY qarєэlэqlэ Yks hadisYlYr deyilir. A hadisYsinin Yksi µ § ilY iєarY olunur.

2. Ehtimalэn klassik tYrifi.

Tutaq ki, A hadisYsi nir dэnaрэn nYticYsidir vY A1, A2, ..., An eyniimkanlэ elementar hadisYlYrin tam qrupudur.

TYrif. A hadisYsi ьзьn Ylveriєli olan hallar sayэnэn bьtьn eyniimkanlэ hallar nisbYtinY hYmin hadisYnin ehtimalэ deyilir.

BelYliklY, n sayda eyniimkanlэ hallar olan tYcrьbYdY A hadisYsi ьзьn m sayda Ylveriєli hal varsa, bu hadisYnin ehtimalэ

P(A) = µ §.

dьsturu ilY hesablamэr.

1. Mьmkьn olmayan hadisYnin ehtimalэ sэfra bYrabYrdir. Doрrudan da bu halda sэnaqlardan heз biri hadisYyY uyрun gYlmir, yYni m = 0 olur. Onda

P(A) = µ §.

2. YYqin hadisYnin ehtimalэ vahidY bYrabYrdir. BelY ki, yYqin hadisYlYrdY sэnaqlarэn hamэsэ hadisYyY uyрun gYlir, yYni m = n olur. Onda

P(A) = µ §.

HYr hansэ A hadisYsi ьзьn Ylveriєli hallarэn sayэ mьmkьn hallarэn sayэndan єox olmadэрэndan, yYni µ § olduрundan, ehtimalэn klaaik tYrifindYn vY yuxarэdakэ mehakimYlYrdYn alэnэr ki,

µ § .

3. Ehtimalnan baрlэ mYsYlYlYrdY

kombinatorikanэn elementlYrindYn istifdY.

HadisYlYrin ehtimalэnэ hesablamaq ьзьn зoxlu sayda sэnaqlar aparmaq lazэm gYlir. Sonlu sэnaqlarэn sayэnэ hesablamaq ьзьn sonlu зoxluqlarэn kombinatorika elementlYrindYn istifadY edilir.

FYrz edYk ki, n sayda detaldan m sayda detal standarta uyрundur. Эxtiyari gцtьrьlmьє k sayda detalэn iзYrisindY heз olmasa birinin standart detal olmasэ ehtimalэ tapmaq tYlYb olunur. n detalэn iзYrisindYn k sayda detalэ µ § sayda ьsulla зэxarmaq olar. DemYli, mьmkьn hallarэn sayэ µ § olur. Standart detallarэn sayэ m, qeyri-standart detallarэn sayэ isY n ЁC m olduрu ьзьn hadisYyY uyрun gYlYn sinaqlarэn sayэnэ tapmaq ьзьn m standart detal iзYrisindYn bir YdYd detal gцtьrmY ьsulu ilY (µ §), n ЁC m sayda qeyri-standart detalэn eзYrisindYn k ЁC 1 sayda detalэn gцtьrmY ьsulunu (µ §) bir-birinY vurmaq lazэmdэr. Onda

P(A) =µ §

olar.

Kombinatorikanэn aєaрэdakэ dьsturlarэndan ehtimalэn hesablanmasэnda istifadY olunur:

µ § µ § ;

µ §

µ § (k faktorial) ;

µ §

Burada µ § elementdYn k sayda kombinezon,

µ § elementdYn k sayda aranjeman,

µ § elementli permutasiya iєarYlYridir.

4. Ehtimallarэn toplanmasэ vY vurulmasэ qaydalarэ.

єA vY B hadisYlYrindYn heз olmasa birinin baє vermYdi hadisYsinY bu hadisYlYrin cYmi deyilir vY A + B kimi iєarY edilir.

Teorem 1. Uyuєmayan iki hadisYnin cYminin ehtimalэ onlarэn ehtimallarэ cYminY bYrabYrdir:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эsbatэ. Sэnaqlarэn ьmumi sayэnэ n, A hadisYsinY uyрun gYlYn sэnaqlarэn sayэnэ m1, B hadisYsinY uyрun gYlYn sцnaqlarэn sayэnэ isY m2 ilY iєarY etsYk vY

m = m1 + m2 olduрunu nYzYrY alsaq alarэq:

P(A + B) =µ § P(A) + P(B).

NYticY. A1, A2, ..., An hadisYlYri uyuєmayan hadisYlYrdirsY, onda onlarэn cYminin ehtimalэ bu hadisYlYrin ehtimallarэnэn cYminY bYrabYrdir, yYni

P(A1, A2, ..., An ) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).

Misal 1. Qutuda 15 aр, 20 qэrmэzэ, 10 sarэ kьrYcik var. Qutudan зэxarэlan bir kьrYciyin qэrmэzэ vY ya sarэ olmasэnэn ehtimalэnэ tapmalэ.

Зэxarэlan kьrYciyin qэrmэzэ olmasэ hadisYsini A ilY, sarэ olmasэ hadisYsini isY B ilY, onlardan hYr hansэ birinin baє vermYsi hadisYsini isY C ilY iєarY edYk.

Mьmkun hallarэn sayэ 15+20+10=45 , A hadisYsi ьзьn Ylveriєli hallarэn 20, B hadisYsi ьзьn Ylveriєli hallarэn sayэ 10 olduрundan, ehtimalэn klassik tYrifinY YsasYn

P(A) = µ § ; P(B) = µ § .

Aydindir ki, A vY B hadisYlYri uyuєmayandэr vY hadisYlYrin cYminin tYrifinY gцrY C = A + B. Ehtimallarэn toplanmasэ teoreminY YsasYn

P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) = µ § .

Teorem 2. Tam qrup YmYlY gYtirYn hadisYlYrin ehtimallarэnэn cYmi vahidY bYrabYrdir.

P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1.

Teorem 3. Qarєэlэqlэ Yks hadisYlYrin ehtimallarэnэn cYmi vahidY bYrabYrdir.

P(A) + P(µ §) = 1.

Зox vaxt hadisYnin ehtimalэ p hYrfi ilY, onda qarєэlэqlэ Yks olan hadisYnin ehtimalэnэ isY q hYrfi ilY iєarY edirlYr. Onda p = 1 ЁC q olar.

Misal 2. Gьnьn yaрэєlэ olmasэ ehtimalэ 0,8-Y bYrabYrdir. Gьnьn yaрэєsэz olmasэnэn ehtimalэnэ yapэn.

Gьnьn yaрэєlэ vY ya yaрэєsэz olmasэ hadisYlYri qarзэlэqlэ Yks hadisYlYrdir. Ona gцrY dY gьnьn yaрэєlэ olmasэ hadisYsini A ilY iєarY etsYk, yaрэєsэz olmasэ µ § olar. P(A) + P(µ §) = 1 olduрundan, alэrэq ki,

P(µ §) = 1 P(A) = 1 ЁC 0,8 = 0,2 .

єSэnaqlar nYticYsindY A vY B hadisYlYrinin eyni zamanda baє vermYsi hadisYsinY bu hadisYlYrin hasili deyilir vY AB kimi iєarY edilir.

Teorem 4. Asэlэ olmayan hadisYlYrinin hasilinin ehtimalэ onlarэn ehtimallarэ hasilinY bYrabYrdir.

P(AB) = P(A) · P(B).

NYticY. n sayda asэlэ olmayan A1, A2, ..., An hadisYlYrinin birlikdY baє vermYsi hadisYsinin ehtimalэ bu hadisYlYrin ehtimallarэ hasilinY bYrabYrdir.

P(A1, A2, ..., An) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An) .

Misal 3. HYr birindY 10 detal olan 3 yeєik vardэr. Birinci yeєikdY 8, ikinci yeєikdY 7 vY ьзьncь yeєikdY 9 YdYd standart detal vardэr. HYr yeєikdYn bir detal зэxarэldэqda ьзьnьn dY standart olmasэnэn ehtimalэnэ tapmalэ.

Ehtimalэn klassik tYrifinY YsasYn birinci, ikinci vY ьзьncь yeєikdYn зэxarэlan detalэn standart olmasэnэn (A, B, C ЁC hadisYlYri) ehtimallarэ:

P(A) = µ §vY P(C) = 0,9

olar, зьnkь єYrtY gцrY m1 = 8; m2 = 7; m3 = 9, sэnaqlarэn ьmumi sayэ isY n = 10.

A, B vY C hadisYlYrinin bir-birindYn asэlэ olmadэqlarэnэ nэzэrэ alaraq axtarэlan ehtimalэ hesablamaq ьзьn ehtimallarэn vurulmasэ teoremindYn istifadY edirik:

P(ABC) = P(A) · P(B) · P(C) = 0,8 · 0,7 · 0,9 = 0,504.

єTutaq ki, A vY B hadisYlYri asэlэ hadisYlYrdir.

TYrif . A hadisYsi baє verdikdYn sonra B hadisYsinin baє vermY ahtimalэna deyilir vY PA(B) kimi iєarY olunur.

Teorem 5. Эki asэlэ hadisYnin birgY baє vermYsi ehtimalэ, bu hadisYlYrdYn birinin ehtimalэ ilY o birinin ehtimalэ hasilinY bYrabYrdir:

P(AB) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A).

NYticY. Asэlэ hadisYlYrin sayэ зox olduqda onlarэn birgY baє vermYsinin ehtimalэ aєaрэdakэ dьsturla hesablanэr:

P(A1, A2, ..., An) = P(A1)µ §(A2)µ §(A3)...µ §(An).

Burada µ § (An) kYmiyyYti An hadisYsinin A1, A2, ..., An-1 hadisYlYrinin baє vermYsi єYrti ilY ehtimaldэr.

Misal 4. Qutuda 5 aр, 4 qara vY 3 qэrmэzэ kьrYcik var. Qutuya qaytarmamaq єYrti ilY, ardэcэl olaraq ьз YdYd kьrYcik зэxarэlэr. Birinci kьrYciyin aр (A hadisYsi), ikincinin qara (B hadisYsi) vY ьзьncьnьn qэrmэzэ (C hadisYsi) olmasэ ehtimalэnэ tapmalэ.

Sэnaрa baєladэqda mьmkьn sayэ 12, A hadisYsi ьзьn Ylveriєli hallarэn sayэ 5 olduрundan, P(A) = µ § . A hadisYsi baє verdikdYn sonra 4 aр, 4 qara vY 3 qэrmэzэ kьrYcik qalэr, yYni ьзьncь sэnaрa baєladэqda mьmkьn hallarэn sayэ 10, C hadisYsi ьзьn Ylveriєli hallarэn sayэ 3-dьr, yYni PAB(C) = µ § . Onda, ehtimallarэn vurulmasэ teoreminY YsasYn,

P(ABC) = P(A) · PA(B) · PAB(C) = µ § .

Teorem 6. Эki uyuєan hadisYlYrdYn heз olmasa birinin baє vermYsinin ehtimalэ bu hadisYlYrin ehtimallarэnэn cYmi ilY onlarэn birgY baє vermYsi ehtimalэnэn fYrqinY bYrabYrdir:

P(A + B) = P(A) + P(B) ЁC P(AB).

Misal 5. Эki topdan hYdYfY mYrmi atэlэr. Onlarэn hYdYfY dYymYsi ehtimallarэ uyрun olaraq P1 = 0,7 vY P2 = 0,8-dir. HYr iki topdan eyni vaxtda mYrmi otdэqda onlarэn heз olmasa birinin hYdYfY dYymYsi ehtimalэnэ tapmalэ.

HYr iki mYrminin birgY hYdYfY dYymYsinin ehtimalэ

P(AB) = P(A) · P(B) = 0,7 · 0,8 = 0,56

olar, зьnki birinci vY ikinci topdan atэlan mYrmilYrin hYdYfY dYymYsi (A vY B hadisYlYri) bir-birindYn asэlэ deyildir. Eyni zamanda bu hadisYlYr uyuєandэr, зьnki birinci mYrminin hYdYfY dYymYsi ikinci mYrminin hYdYfY dYymYsini inkar etmir. Onda iki mYrmindYn heз birinin hYdYfY dYymYsi ehtimalэ

P(A + B) = P(A) + P(B) ЁC P(AB) = 0,7 + 0,8 ЁC 0,56 = 0,94

olar.

Mцvzu 41

Ehtimallarэn hesablanmasэ ьзьn zYruri olan dьsturlar.

1. Tam ehtimal.

2. Beyes dьsturu.

3. Bernulli dьrsturu.

4. Laplasэn lokal vY inteqral teoremlYri.

1. Tam ehtimal.

FYrz edYk ki, A hadisYsi tam hadisYlYr qrupu tYєkil edYn uyuєmayan B1, B2,...Bn hadisYlYrindYn birinin baє vermYsi єYrtindY meydana зэxa bilYr. Bu hadisYlYrin ehtimallarэ P(B1), P(B2),..., P(Bn) vY A hadisYsinin uyрun єYrti ehtimallarэ - µ §(A), µ §(A),...µ §(A), mYlum olduqda A hadisYsinin ehtimalэnэ tapmaq tYlYb olunur. Bu ehtimalэ tapmaq ьзьn aєaрэdakэ teoremdYn istifadY edilir.

Teorem 1. Tam qrup tYєkil edYn uyuєmayan B1, B2,...Bn hadisYlYrindYn ancaq birinin meydana зэxmasэ ilY baє verYn A hadisYsinin ehtimalэ bu hadisYlYrdYn hYr birinin ehtimalэ ilY A hadisYsinin uyрun єYrti ehtimallarэ hasillYrinin cYminY bYrabYrdir

P(A) + P(µ §)µ §(A) + P(µ §)µ §(A) + ... + P(µ §)µ §(A).

Bu dьstur tam ehtimalэn dьsturu adlanэr.

Misal. Эdmanзэlar qrupunda 6 ьzgьзь, 4 velosipedзi vY 8 gimnast vardэr. Ьzgьзьnьn normanэ doldurmasэ ehtimalэ 0,9 , velosipedзininki ЁC 0,8 vY gimnastэnkэ ЁC 0,75-dir. HYr hansэ bir idmanзэnэn normanэ doldurmasэ ehtimalэnэ tapmalэ.

NцvlYr ьzrY idmanзэlarэn normanэ doldurmasэ hadisYlYrini uyрun olaraq B1, B2 vY B3 ilY iєarY edYk. Bu hadisYlYr tam qrup YmYlY gYtirir vY onlarэn ehtimallarэ mYlumdur: P(B1) = 0,9 ; P(B2) = 0,8 vY P(B3) = 0,75.

HYr hansэ bir idmanзэnэn normanэ doldurmasэ hadisYsini A ilY iєarY etsYk, onda bu hadisYnin єYrti ehtimallarэ belY olar:

µ §(A) = µ § ( 18 idmanзэdan 6-sэ ьzgьзьdьr ),

µ §(A) = µ § (18 idmanзэdan 4-dь velosipedзidir ),

µ §(A) = µ § (18 idmanзэdan 8-zi gimnastdэr ).

Tam ehtimal dьsturuna gцrY

P(A) = P(µ §)µ §(A) + P(µ §)µ §(A) + P(B3) µ §(A)=

= µ §

alэrэq.

2. Beyes dьsturu.

Tutaq ki, A hadisYsi tam qrup tYєkil edYn uyuєmayan B1, B2,...Bn hadisYlYrindYn yalnэz birinin baє vermYsi єYrti ilY baє verY bilYr. ЏgYr A hadisYsi baє vermiєsY, onda hipotezlYrin ehtimallarэ aєaрэdakэ dьstur vasitYsi ilY hesablanэr:

PA(Bi ) = µ § ( i = 1, 2, ..., n)

burada

P(A) + P(B1)µ §(A) + P(B2)µ §(A) + ... + P(Bn)µ §(A).

Bu dьstur Beyes dьsturu adlanэr.

Misal. Эki avtomat ьmumi konveyerY verilYn eyni detalэ hazэrlayэr. Birinci avtomatэn mYhsuldarlэрэ ikincidYn iki dYfY artэqdэr. Birinci avtomat orta hesabla 60%, ikinci avtomat isY 84% Yla keyfiyyYtli detal istehsal edir. TYsadьfi olaraq konveyerdY gцtьrьlmьє detal Yla keyfiyyYtli зэxэr. Bu detalэn birinci avtomatda istehsal olunmasэ ehtimalэ tapэn.

Detalэn Yla keyfiyyYtli ilmasэ hadisYnin A ilY iєarY edYk. Burada iki fYrziyyY (hipotez) yьrьtmYk olar: B1 ЁC detal birinci avtomatda istehsal olunmuєdur, onda P(B1) = µ § (birinci avtomat ikincidYn iki dYfY зox istehsal etdiyinY gцrY) ;

B2 ЁC detal ikinci avtomatda istehsal olunub, bu halda P(B2) = µ §.

Detal birinci avtomatda istehsal olunmuєdursa, onda Yla keyfiyyYtli olmasэnэn єYrti ehtimalэ µ §, ikinci avtomatda istehsal

olunmuєdursa ЁC µ §

Tam ehtimal dьsturuna YsasYn gцtьrьlYn detalэn keyfiyyYtli olmasэ ehtimalэ

P(A) = P(B1)µ §(A) + P(B2)µ §(A) = µ §

Axtarэlan ehtimal, yYni konveyerdYn gцtьrьlmьє Yla keyfiyyYtli detalэn birinci avtomatda istehsal olunmasэ ehtimalэ Beyas dьsturuna YsasYn hesablanэr

PA(B1 ) = µ § .

3. Bernulli dьrsturu.

FYrz edYk ki, n sayda asэlэ olmayan sэnaq aparэlэr vY hYr bir sэnaqda A hadisYsinin baє vermY ehtimalэ eynidir vY p-ya bYrabYrdir. Onda hYr bir sэnaqda hadisYnin baє vermYmYsinin ehtimalэ q da sabitdir vY q = q ЁC p olar. n sayda sэnaq zamanэ A hadisYsinin dьz k dYfY baє vermYsinin, yaxud n ЁC k dYfY baє vermYmYsinin ehtimalэnэ Pn(k) ilY iєarY edYk vY onu hesablayaq.

Asэlэ olmayan hadisYlYrin ehtimallarэnэn vurulmasэ teoreminY gцrY n sэnaq zamanэ A hadisYsinin k dYfY baє vermYsinin ehtimalэ pkqn-k olar. BelY hadisYyY mьrYkkYb hadisY kimi baxэlэr. Aydэndэr ki, belY mьrYkkYb hadisYlYrin sayэ µ §-ya bYrabYrdir. Bu mьrYkkYb hadisYlYr uyuєmayan oludрundan uyuєmayan hadisYlYrin ehtimallarэnэn toplanmasэ teoreminY YsasYn axtarэlan ehtimal bьtьn mьmkьn mьrYkkYb hadisYlYrin ehtimallarэnэn cYminY bYrabYrdir. Bu mьrYkkYb hadisYlYrin hYr birinin ehtimallarэ bYrabYr olduрundan axtarэlan ehtimal bir mьrYkkYb hadisYnin ehtimalэ (pkqn-k ) ilY mьrYkkYb hadisYlYrin sayэ (µ § hasilinY bYrabYrdir:

Pn(k) = µ § pkqn-k

vY ya

Pn(k) = µ § pkqn-k .

Bu dьstura Bernulli dьsturu deyilir vY bu dьsturla n sэnaqda A hadisYsinin k dYfY baє vermYsinin ehtimalэ hesablanэr.

Misal. Bir sutka YrzindY elektrik enerjisi sYrfinin normadan artэq Ylmasэnэn ehtimalэ 0,75-dir. Yaxэn altэ sutkada, 4 sutka YrzindY elektrik enerjisi sYrfinin normadan artэq olmasэnэn ehtimalэnэ tapmalэ.

6 sutkanэn hYr birindY elektrik enerjisinin normadan artэq sYrfinin ehtimalэ

p = 0,75 olmasэ mYlumdur. Onda enerjinin normadan az sYrfinin ehtimalэ

q = 1 ЁC p= 1 ЁC 0,75 = 0,25 olar.

Bernulli dьsturuna gцrY axtarэlan ehtimal belY tYyin edilir:

(n = 6; k = 4; p = 0,75; q = 0,25)

P6(4) = µ §p4q2 = µ §(0,75)4(0,25)2 = 0,3.

4. Laplasэn lokal vY inteqral teoremlYri.

єLaplasэn lokal teoremi. Bernulli Dьsturundan gцrьnьr ki, sэnaqlarэn sayэ bцyьk olduqda bцyьk YdYdlYr ьzYrindY YmYllYr aparmaq lazэm gYlir. Laplasэn lokal teoremi n sэnaqda hadisYnin dьz k dYfY baє vermYsinin ehtimslэnэ tYqribi hesablamaрa imkan verir.

Teorem 1. ЏgYr hYr bir sэnaqda A hadisYsinin baє vermY p ehtimalэ sэfэr vY vahiddYn fYrqli sabit olarsa, onda n sэnaqda A hadisYsinin dьz k dYfY baє vermYsinin Pn(k) ehtimalэ aєaрэdakэ funksiyanэn tYqribi qiymYtinY bYrabYrdir:

Pn(k)µ §

Burada x = µ §.

n nY qYdYr bцyьk olarsa dYqiqlik dY bir o qYdYr dY bцyьk olar.

x arqumentinin mьsbYt qiymYtlYri ьзьn µ § Laplas funksiyasэnэn uyрun qiymYtlYrinin cYdvYllYri vardэr. µ § funksiyasэ cьt, yYni µ § olduрundan, x arqumentinin mYnfi qiymYtlYri ьзьn dY hYmin cYdvYllYrdYn istifadY edilir.

Misal 1. HYr sэnaqda A hadisYsinin baє vermYsi ehtimalэ 0,6-ya bYrabYrdirsY, 2400 sэnaqda A hadisYsinin 1400 dYfY baє vermYsinin ehtimalэnэ tapэn.

Sэnaqlarэn sayэ bцyьk olduрundan, burada Laplasэn lokal teoremindYn istifadY edYk

Pn(k) = µ §.

ЏvvYlcY x-эn qiymYtini tapaq:

µ §

µ § funksiyasэ cьt olduрuna gцrY ц(-1,67) = ц(1,67). CYdvYlY YsasYn

ц(1,67) = 0,0989. Axtarэlan ehtimal

P2400(1400) = µ §

єLaplasэn inteqral teoremi. n sinaрэn hYr birindY A hadisYnin baє vermYsi ehtimalэ sabit olarsa, hadisYnin Yn azэ k1, Yn зoxu k2 dYfY baє vermYsinin

Pn(k1, k2) ehtimalэnэ tapmaq ьзьn Laplasэn inteqral teoremindYn istifadY olunur.

Teorem 2. n dYfY aparэlmэє sэnaрэn hYr birindY A hadisYsinin baє vermY ehtimalэ p sэfэr vY vahiddYn fYrqli sabitdirsY (µ §), onda A hadisYsinin k1 dYfYdYn k2 dYfYdYyYk baє vermYsinin ehtimalэ tYqribYn aєaрэdakэ mьYyyYn inteqrala bYrabYrdir:

Pn(k1, k2) µ §

burada µ § vY µ § .

Laplasэn ц(x) = µ § inteqralэ ьзьn qiymYtlYr cYdvYli vardэr. CYdvYlY arqumentin µ § aralэрэndakэ qiymYtlYri ьзьn ц(x) funksiyasэnэn uyрun qiymYtlYri verilmiєdir. µ § olduqda da hYmin cYdvYldYn istifadY olunur, belY ki, ц(x) funksiyasэ tYk funksiyadэr, yYni µ § olduqda isY ц(x) = 0,5 gцtьrmYk olar.

Misal. Detalэn texniki nYzarYt єцbYsinin yoxlanэєэndan keзmYsinin ehtimalэ 0,2-dir. 400 YdYd tYsadьfi seзilmiє detalэn iзindY 70-dYn 100-Y kimi yoxlanэєdan keзmYyYn detal olmasэnэn ehtimalэnэ tapmalэ.

ЄYrtY gцrY p = 0,2; q = 1 0,2 = 0,8; n = 400; k1 = 70; k2 = 100. Laplasэn inteqral teoremindYn istifadY edYk. ЏvvYlcY inteqralэn aєaрэ vY yuxarэ sYrhYdlYrini hesablayaq:

µ §

µ § .

Laplas inteqralэnэn tYk olmasэnэ nYzYrY alaraq arqumentin hesablanmэє qiymYtlYrini ehtimal dьsturunda yerinY yazsaq alarэq

P400(70; 100) ц(xЊЊ) ц(xЊ) = ц(2,5) µ §ц(1,25) =

ц(2,5) µ §ц(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Mцvzu 42