Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
FYrz edYk ki, simin M1 M2 hissYsinin elY kiзik rYqslYrinY baxэlэr ki, bu hYrYkYt zamanэ onun uzunluцunun dYyiєmYsini nYzYrY almamaq olar. Bu halda, simin µ § parзasэna uyрun olan M1 M2 hissYsinin uzunluрu hYrYkYt zamanэ yenY dY µ §Y bYrabYr olur: qцvs µ §. Bundan baєqa, qYbul edYk ki, istYnilYn anda simin bьtьn nцqtYlYrindY dartэlma (gYrginlik) eynidir vY yaranan gYrginlik qьvvYsi onun toxunanэ istiqamYtindY yцnYlmiєdir. M1 M2 hissYsinin uclarэna simY toxunan istiqamYtdY skalyar qiymYti N olan gYrginlik qьvvYsi tYsir edir. µ § gYrginlik qьvvYsinin M2 nцqtYsindY Ox oxunun mьsbYt istiqamYti ilY YmYlY gYtirdiyi bucaq ц olsa, onda µ § vY hYmin qьvvYnin OU oxu ьzYrinY proyeksiyasэ µ § (1) olar. Simin kiзik rYqslYrinY baxэldэрэndan µ § qYbul etmYk mьmkьndьr. Onda, simin hYrYkYt tYnliyini almaq ьзьn M1 M2 hissYsinY tYsir edYn qьvvYlYrin cYmini onun kьtlYsinin hYrYkYtin tYcili hasilinY bYrabYr etmYk lazэmdэr (Nyuton qanunu). Simin xYtti saflэрэnэ µ § ilY iєarY etsYk, onda M1 M2 hissYsinin kьtlYsi µ § olar. BelYliklY, simin hYrYkYt tYnliyi µ § vY ya hYr iki tYrYfi µ §Y ixtiyar etmYklY µ § (2) єYklindY alэnэr. (4) tYnliyinY simin eninY sYrbYst rYqslYrinin tYnliyi vY ya birцlзьlь dalрa tYnliyi deyilir. Sim xarici qьvvYnin tYsiri ilY rYqs etdikdY onun hYrYkYt tYnliyi µ § (3)
kimi yazэlэr. (3) tYnliyi simin mYcburi rYqsinin tYnliyi adlanэr. Simin eninY sYrbYst rYqslYrinin (2) tYnliyi ikitYrtibli xYtti bircins, (3) tYnliyi isY ikitYrtibli xYtti bircinsli olmayan diferensial tYnlikdir. 4. Simin rYqs tYnliyi ьзьn baєlanрэc vY sYrhYd єYrtlYri. Simin eninY sYrbYst rYqslYrinin µ § (1) tYnliyinin sonsuz sayda hYlli vardэr. Эki ixtiyari funksiyadan asэlэ olan bu hYllYr simin sonsuz sayda rYqsi hYrYkYti olduрunu gцstYrir. (1) tYnliyinin mьYyyYn hYllini almaq, yYni onun ьmumi hYllindYn mьYyyYn xьsusi hYllini ayэrmaq ьзьn YlavY єYrtlYr verilmYlidir. ЏlavY єYrtlYr iki nцv olur: baєlanрэc єYrtlYr vY sYrhYd єYrtlYri. єBaєlanрэc єYrtlYri simin rYqsY anda vYziyyYtini gцstYrir. Tutaq ki, sim t = 0 anэnda rYqsY baєlamэєdэr. Onda onun bu baєlanрэc anda formasэ bir f (x) funksiyasэ vasitYsilY tYyin olunar: µ §. (2) Simin nцqtYlYrinin hYrYkYtinY baєlanрэc anda verilYn sьrYt bir F(x) funksiyasэ vasitYsilY tYyin olunur: µ § (3) TYrif 1. (2) vY (3) єYrtlYri (1) tYnliyi ьзьn baєlanрэc єYrtlYr adlanэr. (1) tYnliyinin (2) vY (3) baєlanрэc єYrtlYrini цdYyYn hYllinin tapэlmasэna hYmin tYnlik ьзьn Koєi mYsYlYsi deyilir. єSYrhYd єYrtlYri rYqs zamanэ baxэlan oblastэn sYrhYd nцqtYlYrindY simin vYziyyYtini gцstYrir. Simin sol ucu x = a nцztYsinY vY saр x = b nцztYsinY bYrkidildikdY rYqs zamanэ bu nцqtYlYr hYrYkYt etmir. Buna gцrY dY simin ьз nцqtYlYrinin Ox oxundan olan meyli sэfra bYrabYr olur: µ §
µ § . (4) TYrif 2. Bu єYrtlYrY (1) tYnliyi ьзьn sYrhYd єYrtlYri deyilir. (1) tYnliyinin (2), (3) baєlanрэc vY (4) sYrhYd єYrtlYrini цdYyYn hYllinin axtarэlmasэna hYmin tYnlik ьзьn qarэєэq mYsYlY deyilir. єTutaq ki, uzunluрu sonsuz olan simY baxэlэr. BelY simin hYr hansэ sonlu hissYsinin hYrYkYtinY “uclarэnэn” tYsiri ola bilmYz. Simin uzunluрu зox bцyьk olduqda daxili nцqtYlYrin hYrYkYtinY ьc nцqtYlYrinin tYsiri зox kiзik olur, bunu isY nYzYrY almamaq olar. Buna gцrY dY sonsuz simin eninY sYrbYst rYqslYrinin (1) tYnliyini hYll edYrkYn heз bir sYrhYd єYrti qoyulmur, ancaq (2) vY (3) baєlanрэc єYrtlYri qoyulur. Lakin bu halda, (2) vY (3) єYrtlYrindY iєtirak edYn f (x) vY F(x) funksiyalarэ bьtьn YdYd oxunda tYyin olunur. Sonsuz simin sYrbYst rYqs tYnliyi ьзьn sцylYdiyimiz єYkildY qoyulmuє Koєi mYsYlYsinin mьYyyYn єYrtlYr daxilindY yeganY hYlli vardэr. MYsYlYn, f (x) funksiyasэ iki dYfY diferensiallanan vY F(x) funksiyasэ diferensiallanan olduqda (1) tYnliyinin (2) vY (3) baєlanрэc єYrtlYrini цdYyYn yeganY hYlli vardэr. Bu hYlli Dalamber ьsulu ilY tapmaq olar. 5. Sonlu simin sYrbYst rYqs tYnliyinin Furye ьsulu ilY hYlli. Tutaq ki, sonlu simin uc nцqtYlYri Ox oxunun x = O vY x = l nцqtYlYrinY bYrkidilmiєdir. Bu simin µ § (1)
U 0 l x
sYrbYst rYqs tYnliyinin µ § (2)
µ § (3) baєlanрэc vY µ § (4) sYrhYd єYrtlYrini цdYyYn hYllini tapaq. Qoyulmuє qarэєэq mYsYlY burada Furye ьsulu(vY ya dYyiєYnlYrY ayэrma ьsulu) ilY hYll etmYk ьзьn bu ьsuldan geniє istifadY olunur. Bu ьsulun mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, (1) tYnliyinin axtarэlan (eyniliklY sэfra bYrabYr olmayan) U(x,t) hYlli biri ancaq x-dYn, digYri isY ancaq t-dYn asэlэ olan T(t) vY X(x) єYklindY iki funksiyanэn hasili єYklindY axtarэlэr: µ §. (5) Bu qiymYti (1) tYnliyindY yerinY yazdэqda µ § vY ya
µ § (6) bYrabYrliyi alэnэr. (6) bYrabYriyinin sol tYrYfi t-dYn, saр tYrYfi isY x-dYn asэlэ deyildir. Bu o zaman olar ki, hYmin bYrabYrliyinin hYr iki tYrYfi nY x-dYn, nY dY t-dYn asэlэ olmasэn. Onda, µ § (7)
olar ( м hYr hansэ sabit YdYddir). (7) bYrabYrliklYrindYn iki dYnY adi diferensial tYnlik alэnэr: µ § (8)
µ § (9) (1) tYnliyinin axtarэlan (5) hYlli t-nэn istYnilYn qiymYtindY (4) sYrhYd єYrtlYrini цdYmYlidir: µ § µ §
Bu bYrabYrliklYrin цdYnilmYsi ьзьn ya istYnilYn t ьзьn µ § olmalэ, ya da µ § (10)
olmalэdэr. µ § olduqda (5) hYlli eyniliklY sэfra bYrabYr olar ki, belY hYlli dY biz axtarmэrэq. BelYliklY, ikitYrtibli (8) xYtti tYnliyinin (10) sYrhYd єYrtlYrini цdYyYn hYllini tapmaq lazэmdэr. EyniliklY sэfra bYrabYr olan µ § funksiyasэ mYsYlYsinin hYllidir. Lakin bizi mYsYlYnin sэfэr olmayan hYlli maraqlandэrэr. BelYliklY (8) tYnliyi ьзьn µ § parзasэnda Spektr mYsYlYsi vY ya Єturm-Liuvil problemi adlanan aєaрэdakэ mYsYlYni hYll etmYk lazэmdэr: м-nun hansэ qiymYtlYrindY (8) tYnliyinin (10) sYrhYd єYrtlYrini цdYyYn sэfэr olmayan hYlli var? Bu mYsYlYnin hYlli olan м YdYdlYrinY Єturm-Liuvil mYsYlYsinin mYxsusi YdYdlYri, tYnliyin hYmin YdYdlYrY uyрun olan hYllYrinY isY mYsYlYnin mYxsusi funksiyalarэ deyilir. Єturm-Liuvil mYsYlYsinin м-nun hansэ qiymYtlYrindY sэfэr olmayan hYlli olduрunu mьYyyYn etmYk ьзьn (8) tYnliyinin µ § (11) xarakteristik tYnliyinY baxaq. 1. Tutaq ki, µ § Onda (11) tYnliyinin kцklYri µ § vY µ § olar. Bu halda (8) tYnliyinin ьmumi µ §
єYklindY yazэlэr. µ § vY µ § (µ § alэnar. µ § olduрundan µ § vY buna gцrY dY µ § olar. DemYli, µ § olduqda mYsYlYnin eyniliklY sэfra bYrabYr olmayan hYlli yoxdur. 2. Tutaq ki, µ §. Onda (11) tYnliyinin kцklYri µ § vY (8) tYnliyinin ьmumi hYlli. µ §
olar. Bu hYllin (10) єYrtlYrini цdYmYsindYn, yenY dY µ §
vY ya µ § alэnэr. DemYli, bu halda da mYsYlYnin sэfэr olmayan hYlli yoxdur. 3. Tutaq ki, µ §. Bu halda (11) xarakteristik tYnliyinin kцklYri µ § vY (8) tYnliyinin ьmumi hYlli µ §
olar. (10) єYrtlYrinY gцrY µ §
olmalэdэr. Burada µ § olmasэ ьзьn µ §
bYrabYrliklYri цdYnilmYlidir. DemYli, (8) tYnliyinin eyniliklY sэfэr olmayan hYlli µ §nэn µ § (12)
qiymYtlYrindY alэnэr. (8) tYnliyinin bY YdYdlYrY uyрun olan vY (10) єYrtlYrini цdYyYn hYllYri µ § (13)
olar( burada µ § ixtiyari sabitdir). Buradan aydэndэr ki, µ § YdYdlYri (8) tYnliyi ьзьn yuxarэda qoyulmuє Єturm-Liuvil mYsYlYsinin mYxsusi YdYdlYri, (13) funksiyalarэ isY hYmin YdYdlYrY uyрun mYxsusi funksiyalardэr. µ § qiymYtlYrindY (9) tYnliyi µ § єYklindY yazэlar. Onun ьmumi hYlli µ § (14) olar. (µ § vY µ § ixtiyari sabitlYrdir). (13) vY (14) qiymYtlYrini (5) bYrabYrliyindY yazmaqla, (1) tYnliyinin (4) sYrhYd єYrtlYrini цdYyYn µ §
vY ya µ § µ § (15) xьsusi hYllYri alэnэr (µ § (1) tYnliyi xYtti bircinsli olduрundan onun (4) sYrhYd єYrtlYrini цdYyYn emumi hYlli µ §
µ § (16) kimi yazэlэr. Bu hYllY daxil olan µ § vY µ § Ymsallarэnэ (2) vY (3) baєlanрэc єYrtlYrinY YsasYn tapmaq olar. Doрrudan da, (2) vY (3) єYrtlYrinY YsasYn alэnan µ §
µ § bYrabYrliklYri gцstYrir ki, µ § vY µ § kYmiyyYtlYri uyрun olaraq f (x) vY F(x) funksiyalarэnэn (O, l ) intervalэnda sinuslar ьzrY Furye sэrasэna ayrэlэєэnэn Ymsallarэdэr. Bu Ymsallar. µ § , µ §
dьsturlarэ ilY tYyin olunur. Џmsallar ьзьn tapэlmэє bu qiymYtlYri (16) sэrasэnda yerinY yazdэqda qoyulmuє mYsYlYnin tam hYlli alэnэr. Qeyd edYk ki, yuxarэda aparэlan YmYllYrin doрru olmasэ ьзьn f (x) vY F(x) funksiyalarэ mьYyyYn єYrtlYri цdYmYlidir. Burada hYmin єYrtlYrin цdYnildiyi fYrz olunur. Mцvzu 37
IstilikkeзirmY tYnliyi. Laplas tYnliyinY gYtirilYn mYsYlY. 1. IstilikkeзirmY tYnliyi (ьmumi halэ). 2. Sonsuz зubuqda istiliyin yayэlmasэ. 3. Laplas tYnliyi ьзьn Ysas sYrhYd mYsYlYlYri. 4. Dirixle mYsYlYsi. 5. Neyman mYsYlYsi. 1. IstilikkeзirmY tYnliyi (ьmumi halэ). Tutaq ki, ьзцlзьlь fYzada yerlYєYn bircinsli E cismi qeyri-bYrabYr olaraq qэzdэrэlmэєdэr. Bu halda cismin, temperaturu yьksYk olan nцqtYlYrindYn temperaturu alзaq olan nцqtYlYrinY tYrYf istilik axэnэ YmYlY gYlir. Cismin M( x, y, z) nцztYsindY t anэnda temperatur U = U( M, t ) = U(x, y, z, t) olsun. Bu funksiyanэ tapmaq ьзьn onun цdYdiyi diferensial tYnliyi bilmYk lazэmdэr. ЭstilikkeзirmY tYnliyi adlanan hYmin tYnliyi зэxarmaq ьзьn E cisminin daxilindY yerlYєYn elementar µ § kubu gцtьrYk. ЭstilikkeзirmY nYzYriyyYsindY mьYyyYn edilmiєdir ki, S sahYsindYn t zaman mьddYtindY µ § istiqamYtindY keзYn istilik miqdarэ S, t, µ § (temperaturun dYyiєmY sьrYti) vY µ § (cismin istilikkeзirmY Ymsalэ) kYmiyyYtlYri ilY dьz mьtanasibdir. x µ § z z y
0 x x y y Onda µ § kubunun sahYsi S = y z olan sol ьzьndYn t zaman mьddYtindY (Ox) oxu istiqamYtindY (saрdan sola) keзYn istiliyin miqdarэ µ § (1)
kYmiyyYtinY bYrabYr olar. Bu zaman kubun baxэlan ьzьnьn bьtьn nцqtYlYrindY xьsusi tцrYmY qiymYtlYrinin (yьksYktYrtibli sonsuz kiзilYn hYddY qYdYr dYqiqliklY) eyni µ § ifadYsinY bYrabYr olduрu qYbul olunur. Kubun sahYsi S = y z olan saр ьzьndYnt zaman mьddYtindY (Ox) oxu istiqamYtindY (saрdan sola) keзYn istiliyin miqdarэ isY µ § (2) kYmiyyYtinY bYrabYrdir. Buradan aydэndэr ki, t zaman mьddYtindY sol vY saр ьzlYrdYn kuba daxil olan istiliyin miqdarэ (1) vY (2) kYmiyyYtlYrinin fYrginY bYrabYr olar: µ §
µ § (3) Kubun OY vY Oz oxlarэna perpendikulyar olan ьzlYrindYn t zaman mьddYtindY ona daxil olan istiliyin miqdarэ isY uyрun olaraq µ § (4) vY
kYmiyyYtinY bYrabYrdir. BelYliklY (3), (4) vY (5) kYmiyyYtlYrinin cYmi ( t, t + t ) zaman mьddYtindY bьtьn ьzlYrdYn kuba daxil istiliyin miqdarэna bYrabYr olar: µ § µ § (6) Kuba t zaman mьddYtindY daxil olan istiliyin miqdarэ baєqa ьsьllada hesablamaq olar. Tutaq ki, µ § ilY cismin istilik tutumu vY µ § ilY onun sэxlэрэ iєarY olunmuєdur (cisim ьзьn bu kYmiyyYtlYr sabit hesab olunur). Onda hYcmi µ § olan kubun t zaman mьddYtindY temperaturun U qYdYr dYyiєmYsinY sYrf olunan istiliyin miqdarэ µ § (7)
kYmiyyYtinY bYrabYr olar. (6) vY (7) ifadYlYri bYrabYr olduрundan µ § µ § vY ya µ § qYbul etmYklY µ § (8) alэnэr.
(8) tYnliyinY fYzada istilikkeзirmY tYnliyi deyilir. Onu qэsa olaraq µ § (9) єYklindY dY yazmaq olar. (8) tYnliyi diffuziya proseslYrini dY tYsvir edir. MьstYvi cisimlYr ьзьn U = U( x, y, t ) vY µ § olduрundan (8) tYnliyi µ § (10)
єYklindY yazэlar. Buna ikiцlзьlь fYzada istilikkeзirmY tYnliyi deyilir. Birцэзьlь fYzada istilikkeзirmY tYnliyi aєaрэdakэ kimi yazэlэr: µ § . (11) 2. Sonsuz зubuqda istiliyin yayэlmasэ. Tutaq ki, yan sYthi izolY edilmiє, istilikkeзirYn vY зox bцyьk uzunluрu olan bircinsli dYmir зunuq verilmiєdir. Yan sYthin izolY edilmYsi o demYkdir ki, зubuрun yan sYthi ilY onu YhatY edYn mьhit arasэnda istilik mьbadilYsi olmur. FYrz edYk ki, зebeq Ox oxu ilY ьst-ьstY dьєьr vY onun x nцqtYsindY istYnilYn t anэnda temperaturu U =U( x, t ) ilY iєarY edilmiєdir. Baєlanрэc anda зubuрun en kYsiklYrindY temperatur verilir vY istYnilYn sonrakэ t anэnda зubuqun temperaturun paylanmasэnэ tapmaq tYlYb edilir. MYlumdur ki, зubuqda istiliyin yayэlmasэnэ xarakterizY edYn U = U( x, t ) funksiyasэ µ § (1)
tYnliyini цdYyir. Bu halda yuxarэda qoyulmuє mYsYlY riyazi olaraq belY ifadY olunur: verilmiє (1) tYnliyinin U t=0 = U ( x,0 ) = ц(x), µ § (2) baєlanрэc єYrtini цdYyYn hYllini tapmalэ. Bu mYsYlYnin Furye ьsulu ilY hYll etmYk ьзьn hYlli U( x, t ) = X (x) T (t) (3) єYklindY axtaraq. (3) ifadYsini (1) tYnliyindY yerinY yazdэqda X (x) TЊ (t) = µ § XЊЊ (x) T (t) vY ya
µ § (4) bYrabYrliyi alэnэr. ЏvvYlki paraqraflarda olduрu kimi, burada da gцstYrmYk olar ki, (4) nisbYtlYri bir sabit µ § YdYdinY bYrabYr olmalэdэr. Onda µ § bYrabYrliklYrindYn X (x) vY T (t) funksiyalarэnэ tYyin etmYk ьзьn XЊЊ (x) + µ § X (x) = 0, (5) TЊ (t) +µ § = 0. (6) adi diferensial tYnliklYri alэnэr. (5) vY (6) tYnliklYrinin ьmumi hYlli uyрun olaraq X (x) = C1 cos мx + C2 sin мx, T (t) = C3µ § єYklindY olar. (C1 , C2 vY C3 ixtiyari sabitlYrdir). Bu qiymYtlYri (3) bYrabYrliyindY yazmaqla, (1) tYnliyinin U = (C1 C3 cos мx + C2 C3 sin мx)µ § (7) єYklindY xьsusi hYllYri alэnэr. (7) funksiyasэ м-nun hYr bir qiymYtindY (1) tYnliyinin hYllidir. Buna gцrY dY hYr bir м ьзьn yeni C1 C3 vY C2 C3 sabitlYri gцtьrmYk, yYni C1 C3 = a(м) vY C2 C3 = b(м) hesab etmYk olar. Onda м-nun ixtiyari hYqiqi qiymYtlYrindY (1) tYnliyinin xьsusi hYllYri µ § (8) kimi yazэlэr. Bu halda, µ § (9) funksiyasэ da (1) tYnliyinin hYlli olar. Эndi (9) hYllinY daxil olan namYlum a(м) vY b(м) funksiyalarэnэ elY seзYk ki, (2) baєlanрэc єYrti цdYnilsin, yYni ixtiyari µ § ьзьn U t=0 = µ § (10) bYrabYrliyi doрru olsun. Bu o demYkdir ki, µ § funksiyasэ Furye inteqralэna ayrэlэr: µ § µ §
µ § Buradan a(м) vY b(м) funksiyalarэ tapэlэr: µ § µ §.
Bu qiymYtlYri (9) bYrabYrliyindY yerinY yazdэqda (1) tYnliyini (2) baєlanрэc єYrtini цdYyYn hYlli alэnэr: µ §
µ § (11) (11) hYllinin єYklini dYyiєmYk ьзьn µ § bYrabYrliyindYn istifadY edYk. Buna YsasYn (11) bYrabYrliyinin saр tYrYfindYki daxili inteqral hesablanэr: µ § µ §.
Bu qiymYti (11) bYrabYrliyindY yerinY yazmaqda (1) tYnliyinin (2) baєlanрэc єYrtini рdYyYn hYlli aєaрэdakэ kimi alэnэr: µ § (12)
(12) ifadYsinY Qauss-Veyerєtrass inteqralэ deyilir. 3. Laplas tYnliyi ьзьn Ysas sYrhYd mYsYlYlYri Tutaq ki, §Щ sYthi ilY YhatY olunmuє bircinsli E cismi verilmiєdir. Bilir ki, cismin nцqtYlYrindY temperaturu gцstYrYn U = U( x, y, z, t ) funksiyasэ µ § (1)
istilik keзirmY tYnliyini цdYyir. CisimdY istiliyin yayэlmasэ zamandan asэlэ deyilsY, yYni istilikkeзirmY prosesi stasionardэrsa, onda µ § olar vY (1) tYnliyi µ § (2)
vY ya µ § (3)
єYklinY dьєYr. (2) (vY ya (3) tYnliyi) Laplas tYnliyi, onu цdYyYn funksiya harmonik funksiya vY µ § operatoru Laplas operatoru ( vY ya Laplasiyan) adlanэr. Laplas tYnliyi ikitYrtibli xYtti bircinsli diferensial tYnliykdir. Laplas tYnliyi silindrik koordinatlarla µ § (5)
єYklindY, sferik koordinatlarla isY µ § (6)
єYklindY yazэlэr. MьYyyYn mYsYlY ilY baрlэ olan Laplas tYnliyinin hYllini tapmaq ьзьn, YsasYn sYrhYd єYrtlYri єYklindY olan YlavY єYrtlYr verilir. Laplas tYnliyi ьзьn (sYrhYd єYrtlYrinin verilmY xarakterinY gцrY) aєaрэdakэ kimi sYrhYd mYsYlYlYrinY baxэlэr. 4. Dirixle mYsYlYsi. E cisminin daxilindY µ § tYnliyini цdYyYn vY onun §Щ sYthinin M = (x, y, z) nцqtYlYrindY verilmiє f (M) qiymYtlYrini alan U(M) = U(x, y, z) funksiyasэnэ tapmalэ. U(M) funksiyasэnэn §Щ sYthinin nцqtYlYrindY qiymYti dedikdY, E зoxluрunun daxili nцqtYlYri §Щ sYthinin nцqtYlYrinY mьYyyYn qanunla yaxэnlaєdэqda hYmin funksiyanэn limit qiymYti baєa dьєьlьr. Dirixle mYsYlYsinY bYzYn birinci sYrhYd mYsYlYsi dY deyilir. Dirixle mYsYlYsini belY dY sцylYmYk olar: E oblastэnэn daxilindY harmonik vY onun §Щ sYthi ьzYrindY U §Щ = f (M) sYrhYd єYrtini цdYyYn U(M) funksiyasэnэ tapmalэ. Dirixle mYsYlYsi hYllinin varlэрэ fiziki mьlahizYlYrdYn aydэndэr. Doрrudan da, cismin bьtьn sYrhYdindY baxэlan mьddYtdY sabit temperatur saxlanэldэqda (YlbYttY, mьxtYlif nцqtYlif mьxtYlif temperatur da ola bilYr) onun daxili nцqtYlYrinin hYr birindY mьYyyYn bir temperatur YmYlY gYlYr vY bu vYziyyYt saxlanэlэr. Daxili nцqtYlYrin bu temperatur vYziyyYtini ifadY edYn U(x, y, z) funksiyasэ Dirixle mYsYlYsinin hYlli olar. Buradan Dirixle mYsYlYsi hYllinin yeganY olmasэ da aydэndэr. µ § (1) vY ya polyar koordinatlarla µ § (2) єYklindY yazэlэr. (1) tYnliyi ьзьn Dirixle mYsYlYsi belY qoyulur. Qapalэ Г mьstYvi Yyrisinin daxilindY (1) Laplas tYnliyini vY onun ьzYrindY U г = f ( x, y ) sYrhYd єYrtini цddYyYn U( x, y ) funksiyasэnэ tapmalэ. Bir цlзьlь oblastlar ьзьn Laplas tYnliyi µ § kimi yazэlэr vY onun hYlli U( x, y ) = Ax + B єYklindY xYtti funksiyadэr. Bu halda, µ § parзasэ ьзьn Dirixle mYsYlYsi U x=a = Ua vY U x=b = Ub sYrhYd єYrtlYri vasitYsilY qoyulur. Onun hYlli isY µ §
funksiyasэdэr. 5. Neyman mYsYlYsi. єE oblastэnэn daxilindY µ § Laplas tYnliyini vY onun §Щ sYthi ьzYrindY µ §
sYrhYd єYrtini цdYyYn U(M) funksiyasэnэ tapmalэ. Dirixle vY Neyman sYrhYd mYsYlYlYrindYn fYrgli olan ьзьncь sYrhYd mYsYlYsi dY vardэr. єЬзьncь sYrhYd mYsYlYsi. E oblastэnэn daxilindY µ § Laplas tYnliyini vY onun §Щ sYthi ьzYrindY µ §
sYrhYd єYrtini цdYyYn U(M) funksiyasэnэ tapmalэ ( burada ц(M) verilmiє funksiyadэr). Laplas tYnliyi ьзьn yuxarэda qoyulan sYrhYd mYsYlYlYri daxili sYrhYd mYsYlYlYri adlanэr. ЏgYr qoyulan sYrhYd mYsYlYlYrindY funksiyanэn E-nin xarici olan oblastda (vY ya §Щ-nэn xaricindY). harmonik olmasэ tYlYb edilsY, onda Laplas tYnliyi ьзьn uyрun xarici sYrhYd mYsYlYlYri adlanэr. Burada bir neзY sadY oblast ьзьn ancaq daxili Dirixle mYsYlYsi цyrYnilir. Mцvzu 38
Laplas зevirmYsi vY onun xassYlYri. Operasiya hesabэnэn mYsYlYlYri. 1. Orijinal vY surYt anlayэєэ. 2. Laplas зevirmYsinin varlэрэ vY yeganYliyi. 3. BYzi funksiyalarэn Laplas зevirmYsi. 4. Laplas зevirmYsinin xassYlYri. 5. Laplas зevirmYsinin tYrsi. 1. Orijinal vY surYt anlayэєэ. Tutaq ki, bьtьn hYqiqi oxta tYyin olunmuє µ § funksiyasэ ьзьn aєaрэdakэ єYrtlYr цdYnilir: є1. Arqumentin mYnfi qiymYtlYrindY, yYni µ § olanda µ § olur. є2. ЭstYnilYn sonlu parзada Yn зoxu sonlu sayda birinci nцv kYsilmY nцqtYsi vardэr, yYni hissY-hissY kYsilmYyYndir. є3. ElY sabit µ § vY M YdYdlYri vardэr ki, t-nэn bьtьn µ § qiymYtlYrindY µ § , µ § (1) bYrabYrsizliyi цdYnilir. Bu єYrtlYri цdYyYn hYr bir funksiya orijinal vY ya baєlanрэc funksiya adlanэr. Verilmiє orijinal µ § funksiyasэ ьзьn (1) bYrabYrsizliyini цdYnildiyi µ § YdYdlYrinin dYqiq aєaрэ sYrhYdinY, yYni µ § YdYdinY hYmin funksiyanэn artma gцstYricisi deyilir. Qeyd edYk ki, (1) bYrabYrsizliyi µ § artma gцstYricisi ьзьn цdYnilmYyYdY bilYr. Verilmiє orijinal µ § funksiyasэ ьзьn µ § (2)
bYrabYrliyi ilY tYyin olunan kompleks dYyiєYnli F(p) funksiyasэna onun Laplas зevirmYsi vY ya Laplas surYti (µ §surYti) deyilir vY µ §
kimi iєarY olunur. (2) inteqralэ qeyri-mYxsusi inteqraldэr. Ona Laplas inteqralэ deyilir. Verilmiє orijinalэn 5м-surYtini vY tYrsinY, verilmiє 5м-surYtY gцrY orijinalэ tapmaq mYsYlYlYri ilY operasiya hesabэ mYєрul olur. Operasiya hesabэnэn Ysasэna Qevisayd qoymuєdur. Lakin operasiya hesabэ, elmi єYkildY XX Ysrin 20-ci illYrindY Ysaslandэrэlmэєdэr. Operasiya hesabэ bir зox mYsYlYlYrin hYllindY geniє tYdbiq olunur. Bunun sYbYbi odur ki, operasiya hesabэnda inteqrallama vY diferensiallama YmYllYri cYbri YmYllYrlY, edilir. CYbri tYnliyin tapэlmэє hYllinY gцrY diferensial tYnliyin axtarэlan hYlli qurulur. 2. Laplas зevirmYsinin varlэрэ vY yeganYliyi. Эndi Laplas зevirmYsinin varlэрэ haqqэnda aєaрэdakэ teoremi isbat edYk. Teorem 1. Tutaq ki, µ § YdYdi orijinal µ § µ § funksiyasэnэn artma gцstYricisidir. Onda (2) (p) Inteqralэ µ § yarэmmьstYvisindY vY F(p) funksiyasэ oblastda analitikdir. 0 µ § µ § Teorem 2. (yeganYlik). µ § oblastэnda kYsilmYyYn vY eyni Laplas зevirmYlYri olan f(t) vY ц(t) funksiyalarэ eyniliklY bYrabYrdir: f(t) ц(t. 3. BYzi funksiyalarэn Laplas зevirmYsi. Bir sэra funksiyalarэn Laplas зevirmYsini hesablamaq olar. є1. Qevisayd funksiyasэ (vY ya vahid funksiya) adlanan vY
Kimi tYyin olunan funksiyanэn Laplas зevirmYsi µ §yY bYrabYrdir: µ § vY ya
µ § . (2) є2. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsi µ § funksiyasэna bYrabYrdir: µ § . (3) Doрurdan da, µ § . є3. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsi µ § bYrabYrdir: µ § (4) Doрrudan da, µ § . olar.
4. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsi µ § ifadYsinY bYrabYrdir: µ § (5)
Bu bYrabYrliyin doрruluрu µ §
mьnasibYtindYn aydэndэr. 5. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsi µ § funksiyasэna bYrabYrdir: µ § = µ § . (6) Doрrudan da, µ § vY ya
µ § BYrabYrliyini n dYfY ardэcэl tYtbiq etdikdY (6) bYrabYrliyi alэnэr. 4. Laplas зevirmYsinin xassYlYri. Laplas зevirmYsinin Ysas xassYlYrini ifadY edYn aєaрэdakэ xassYlYrdYn baxэlan bьtьn funksiyalarэn orijinal olduрu qYbul olunur. XassY 1. (xYttilik) µ § olduqda ixtiyari sabit Ak YdYdlYri ьзьn µ § (1)
olar. Doрrudan da, inteqralэn xYttilik xassYsinY gцrY alэrэq: µ §. Misal 1. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsini tapmalэ: µ § µ § .
Misal 2. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsini dY eyni qayda ilY hesablamaq olar: µ §
µ § . Eyni qayda ilY µ § µ § .
dьsturlarэ da isbat olunur. XassY 2. (oxєarlэq). µ § olduqda da ixtiyari sabit µ § YdYdi ьзьn µ § (2) bYrabYrliyi doрru olar. XassY 3. (yerdYyiєmY). µ § olduqda ixtiyari µ § YdYdi ьзьn µ § (3)
olar. Doрrudan da, tYrifY gцrY µ § alэnэr.
Misal 3. µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsini (3) dьsturu ilY hesablamaq olar: µ §
hYmin dьsturla µ §,
µ § µ §,
µ § bYrabYrliklYrinidY almaq olar. XassY 4. (gecikmY). µ § olduqda, µ § (4)
funksiyasэnэn Laplas зevirmYsi µ § (5)
barYrliyi ilY hesablanэr. Doрrudan da, µ § µ §
= µ § XassY 5. (qabaqlama). µ § olduqda istYnilYnµ § YdYdi ьзьn µ § (6) bYrabYrliyi doрrudur. Doрrudan da, µ §
µ § µ §
XassY 6. (sьrYtin tцrYmYsi). µ § olduqda istYnilYn natural n YdYdi ьзьn µ § (7)
bYrabYrliyi doрrudur. Misal 4. µ § vY µ § funksiyasэnэn Laplas зevirmYsini tapmalэ. µ § Olduрundan (6) dьsturuna gцrY µ § alэrэq. Eyni qayda ilY dY µ § bYrabYrliyi isbat edilir. Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|