Kafedra: Fizika vY riyaziyyat

Orta mYktYbin riyaziyyat kursundan mYlumdur ki, verilmiє tYnliklYr sistemi YvYzetmY ьsulunu, mYchullarэn yox edilmYsi ьsulunu, xYtti зevirmY ьsulunu vY s.tYtbiq etmYklY hYll olunur. Bu zaman verilmiє tYnliklYr sistemi onunla eynigьclь (vY ya ekvivalent) olan sadY tYnliklYr sisteminY gYtirilir vY sonra da hYmin sistemi hYll etmYklY verilmiє tYnliklYr sisteminin hYlli tapэlэr.

TYnliklYr sistemini xYtti зevirmY ьsulu ilY hYll edYrkYn bYzYn sYhv mehakimY aparэldэрэndan hYmin ьsul haqqэnda YvvYlcY YlavY mYlumat vermYyi lazэm bilirik.

є Tutaq ki,

f1 (x,y) =0, (2)

f2 (x,y) = 0 .

sisteminin tYnliklYrini verilmiє л1, л2, м1 vY м2 YdYdlYrinY nцvbY ilY vurub toplamaqla

л1 f1 (x,y) + л2 f2 (x,y) = 0, (3)

м1 f1 (x,y) + м2 f2 (x,y) = 0.

tYnliklYr sistemi alэnmэєdэr. Bu halda deyirlYr ki, (3) sistemi (2) tYnliklYr sistemindYn xYtti зevirmY vasitYsilY alэnmэєdэr.

d = = л1м1 - л2 м2

YdYdinY hYmin xYtti зevirmYnin determinantэ deyilir.

TYbii bir sual qarєэya зэxэr: (2) vY (3) sistemlYri eynigьclьdьrmь?

T e o r e m.

d = 0 (4)

olarsa, onda (2) sistemi (3) sistemi ilY eynigьclьdьr.

Э s b a t э. (2) sisteminin hYlli (xo , yo) olsun. Onda

f1 (xo , yo) = 0, f2 (xo , yo) = 0

doрru YdYdi bYrabYrliklYrdir. buradan, ixtiyari л1, л2, м1 vY м2 YdYdlYri ьзьn doрru olan.

л1 f1 (xo ,yo) + л2 f2 (xo ,yo) = 0,

м1 f1 (xo ,yo) + м2 f2 (xo ,yo) = 0

bYrabYrliklYri alэnэr ki, bu da (xo ,yo) YddYlYri cьtьnьn (3) sisteminin hYlli olduрunu gцstYrir.

Eyni qayda ilY dY (4) єYrti цdYnildikdY (3) sisteminin hYr bir (xo ,yo) hYlli (2) sisteminin dY hYlli olduрunu isbat etmYk olar.

Anoloji teorem n mYchullu n tYnlikl sistemi haqqэnda da doрrudur.

Q e y d. (4) єYrti цdYnilmYdikdY (2) vY (3) sistemlYri eynigьclь olmaya da bilYr. MYsYlYn,

x + 3y ЁC 10 = 0 (5)

2x ЁC y + 1 = 0

tYnliklYr sistemi, ondan determinantэ

d = = 0

olan xYtti зevirmY ilY alэnan

5x + y ЁC 8 = 0, (6)

10x + 2y ЁC 16 = 0

tYnliklYr sistemi ilY eynigьclь deyildir. (5) sisteminin yeganY (1, 3) hYlli (6) sisteminin dY hYllidir. Lakin (6) sisteminin (2, -2), (3, -7) vY s. kimi зox (sonsuz sayda) hYllYri var ki, onlar (5) sisteminin hYlli deyildirЃЎ

2. Kramer ьsulunun mahiyyYti.

є (1) sistemini = a11a22 ЁC a12a21 0 olduqda hYll etmYk ьзьn onun birinci tYnliyinin hYr iki tYrYfinY a22 , ikinci tYnliyin hYr iki tYrYfini isY (-a12) YdYdinY vurub toplamaq, sondara birinci tYnliyin hYr iki tYrYfini (a21) , ikinci tYnliyin isY hYr iki tYrYfini a11 YdYddinY vurub toplamaq lazэmdэr. Onda

(a11a22 ЁC a12a21) x = b1a22 ЁC b2a12,

(a11a22 ЁC a12a21) x = a11b2 ЁC b1a21

vY yaxud

x =

y =

sistemini alэrэq. Buradakэ ikitYrtibli determinantlarэ

= , 1 = ,2 =

ilY iєarY etsYk, sonuncu sistemi

· x = 1 (7)

· y = 2

kimi yazmaq olar. 0 olduрundan (1) vY (7) sistemlYri ekvivalentdir. Buna gцrY dY, (7) sisteminin yeganY

x = , y = (8)

hYlli (1) sisteminin dY yeganY hYlli olur.

(8) dьsturlarэna Kramer dьsturlarэ, determinantэna isY (1) sisteminin determinantэ deyilir.

BelYliklY, isbat etmiє oluruq ki, (1) sisteminin determinantэ sэfэrdan fYrgli olduqda hYmin sistemin yeganY hYlli var vY bu hYll (8) Kramer dьsturlarэ vasitYsilY tapэlэr. Buna Kramer qaydasэ deyilir.

є Эndi (1) sisteminin determinantэ sэfэr olan hala baxaq.

= = 0

Olduqda mYlum teoremY gцrY:

a21 = лa11, a22 = лa12 (9)

Onda (1) sisteminin ikinci tYnliyinin sol tYrYfi birinci tYnliyin sol tYrYfini л YdYdinY vurmaqla alэnar:

a21x + a22y = л (a21x + a12y) . (10) Buradan aєaрэdakэ kimi nYticYlYr alэrэq:

1. ЏgYr (1) sisteminin saр tYrYfindYli b1 vY b2 YdYdlYri (9) mьnasibYtinY uyрun

b2 = л b1 (11)

mьnasibYtini цdYyYrsY, onda (1) sisteminin ikinci tYnliyi birinci tYnliyindYn л YdYdinY vurulmaqla alэnar. Bu halda sistemin birinci tYnliyinin hYr bir hYlli ikinci tYnliyinin vY buna gрrY dY (1) sisteminin hYlli olar.

Sistemin birinci

a11x + a12y = b1 (12)

tYnliyinin isY sonsuz sayda hYlli var: dYyiєYnin birinY ixtiyari qiymYtlYr verYrYk (12) tYnliyindYn ikinci dYyiєYnin qiymYtlYrini tapsaq, onda tapYlan YdYdlYr (12) tYnliyinin hYlli olar.

DemYli, bu halda (1) sisteminin sonsuz sayda hYlli var,

2. ЏgYr b1 vY b2 YdYdlYri (11) mьnasibYtini цdYmYzsY, yYni b2 лb1 olarsa, onda (1) sisteminin hYlli olmaz. Зьnki, bu halda, sistemin birinci

a11x + a12y b1

tYnliyini цdYyYn heз bir x = xo vY y = yo YdYdlYri ikinci tYnliyini цdYyY bilmYz:

a21 xo + a22 yo л b1 b2 .

dediklYrimizY YsasYn belY bir nYticY aliriq: (1) sisteminin determinantY sэfэrdan fYrgli ( 0) olduqda hYmin sistemin yeganY hYlli var, sistemin determinantэ sэfэr olduqda isY hYmin sistemin ya sonsuz sayda hYlli var, ya da heз bir hYlli yoxdur.

N Y t i c Y. 0 olduqda

a11x + a12y = 0,

a21 x + a22 y = 0 (13)

bircinsli xYtti tYnliklYt sisteminin yeganY x=0, y=0 hYlli (sэfэr hYlli) var. =0 olduqda isY (13) sisteminin sonsuz sayda sэfэr olmayan hYlli olar.

3. ЬзmYchullu ьз xYtti tYnliklYr sistemi.

ЬзmYchullu ьз xYtti tYnlik sistemi

a11x + a12y + a13z = b1,

a21 x + a22 y + a23 = b2, (1)

a31x + a32y + a33 = b3

єYklindY yazэla bilYr. b1 = b2 = b3 = 0 olduqda (1) sistemindYn bircinsli xYtti tYnliklYr sistemi alэnэr. b1, b2, b3 YdYdlYrinin heз olmasa biri sэfэrdan fYrgli olduqda (1) sisteminY bircinsli olmayan xYtti tYnliklYr sistemi deyilir.

(1) sisteminin hYr bir tYnliyini doрru YdYdi bYrabYrliyY (eyniliyY) зevirYn x=0, y=0, z=0 qiymYtlYr зoxluрu hYmin sistemin hYlli adlanэr. Sistemin hYlli varsa, ona uyuєan, heз bir hYlli olmadэqda isY ona uyuєmayan (uyuєan olmayan) sistem deyilir.

Verilmiє (1) sistemini hYll etmYk ьзьn hYmin sistemin determinantэnэ

ilY, determinantэn aik elementinin cYbri tamamlayэcэsэnэ isY Aik ilY iєarY edYk. (1) sisteminin birinci tYnliyini A11-Y ikinci tYnliyini A21-Y, ьзьncь tYnliyini A31-Y vurub, alэnan bYrabYrliklYri tYrYf-tYrYfY toplasaq

(a11A11 + a21A21 + a31A31) · x + (a12A11 + a22A21 + a32A31) · y + (a13A11 +

+a23A21 + a33A31) · z = b1A11 + b2A21 + b3A31 (2)

bYrabYrliyini aliriq. Determinantlarэn sYtir vY sьtun elementlYri ьzrY ayrэlmasэ xassYsinY gцrY:

= a11A11 + a21A21 + a31A31,

0 = a12A11 + a22A21 + a32A31,

0 = a13A11 + a23A21 + a33A31.

Onda (2) bYrabYrliyi

· x = b1A11 + b2A21 + b3A31

єYklindY yazэlar.

Eyni qayda ilY dY (1) sisteminin tYnliklYrini YvvYlcY uyрun olaraq A12, A22, A32 YdYdlYrinY, sonra da A13, A23, A33 YdYdlYrini vurub alэnan bYrabYrliklYri tYrYf-tYrYfY toplasaq

· y = b1A12 + b2A22 + b3A32

vY

· z = b1A13 + b2A23 + b3A33

BYrabYrliklYrini aliriq. BelYliklY, (1) sistemi YvYzinY

x = b1A11 + b2A21 + b3A31 ,

y = b1A12 + b2A22 + b3A32 , (3)

z = b1A13 + b2A23 + b3A33

sistemi alэnэr.

Mцvzu 3

Hauss ьsulu. XYtti tYnliklYr sisteminin matris єYklindY

yazэlmasэ vY hYlli.

1.Qauss ьsulunun mahiyyYti.

2. Matris ьsulunun mahiyyYti.

1.Qauss ьsulunun mahiyyYti.

Tutaq ki, xYtti tYnliklYr sistemi verilmiєdir:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . (1)

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,

Bu sistemin determinantэ sэfэrdan fYrgli olduqda onu Kramer qaydasэ ilY hYll etmYk olar. Lakin bu halda n+1 sayda n-tYrtibli determinant hesablamaq lazэm gYlir ki, bu da bрyьk hesablama iєi tYlYb edir.

Verilmiє xYtti tYnliklYr sistemindY mYchullarэn sayэ tYnliklYrin sayэna bYrabYr olmaqda, yYni sistem

a11x1 + a12x2 + ... + a1mxm = b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2mxm = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . (2)

an1x1 + an2x2 + ... + anmxm = bn,

єYklindY olduqda isY onun hYllinY Kramer qaydasэna bilavasitY tYtbiq etmYk olmur.

Buna gцrY dY, (2) (vY hYm dY (1) ) єYklindY xYtti tYnliklYr sistemini зox zaman mYchullarэn ardэcэl yox edilmYsi ьsulu vY ya Hauss ьsulu ilY hYll edirlYr. Bu ьsulun mYzmunu belYdir: tutaq ki, a110. Onda sistemin birinci tYnliyini hYr iki tYrYfini µ § YdYdinY vuraraq, alэnan

a21x1 + µ § x2 + ... + µ §xm = b1 µ §

tYnliyini sistemin ikinci tYnliyindYn tYrYf-tYrYfY зэxэrэq. Aldэрэmэz tYnlikdY x1 mYchullu iYtirak etmir:

aЊ22x2 + aЊ23x3 + ... + aЊ2mxm = bЊ2

Sonra sistemin birinci tYnliyinin hYr iki tYrYfini µ § YdYdinY vuraraq tYnliyi sistemin ьзьncь tYnliyindYn tYrYf tYrYfY зэxэrэq. Bu mьhakimYni ardэcэl tYtbiq etmYklY (2) sistemini

a11x1 + a12x2 + ... + a1mxm = b1

aЊ22x2 +... + aЊ2mxm = bЊ2

. . . . . . . . . . . . . (3)

aЊn2x2 +... + aЊnmxm = bЊn

єYklindY sistemY gцtьrmYk olar. Aldэрэmэz yeni sistemin 2-ci, 3-cь vY s. tYnliklYrindYn istifadY etmYklY yuxarэda gрstYrdiyimiz ьsulla x2 mYchulunu da зox etmYk olar. Bu mьhakimYni ardэcэl olaraq tYtbiq etmYklY (2) sistemini ona ekvivalent olan

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1mxm = b1

aЊЊ22x2 + aЊЊ23x3 + ... + aЊЊ2mxm = bЊЊ2

aЊЊ33x3 + ... + aЊЊ3mxm = bЊЊ3 (4)

. . . . . . . . . . . . . .

єYklindY sistemY gYtirmYk mьmkьndьr.

(4) sisteminY pillYvarэ (vY ya pillYlYr зYklindY) sistem, a11, aЊЊ22, aЊЊ33 vY s. Ymsallarэna isY sistemin baє elementlYri deyilir. Aydэndэr ki, sistemY Hauss ьsьlunun tYtbiq oluna bilmYsi ьзьn sistemin baє elementlYrinin sэfэrdan fYrgli olmasэ zYruri vY kafi єYrtdir.

Qeyd edYk ki , (2) sisteminin зevrilmYsi nYticYsindY alэnan (4) sistemi uyuєan vY ya uyuєmayan ola bilYr. Birinci halda (4) sistemini hYll edYrYk (2) sisteminin axtarэlan hYllYri tapэlэr. (4) sistemi uyuєmayan olduqda(mYsYlYn, sistemdY sol tYrYfdYki bьtьn Ymsallarэ sэfэr olan, lakin saр tYrYfi sэfэr olmayan 0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · xm = b, (b 0) єYklndY tYnlik alэndэqda ) (2) sistemi dY uyuєmayan olar.

Qeyd edYk ki, (4) sistemi uyuєan olduqda iki haldan ancaq biri mьmkьndьr: hYmin sistemin ya yeganY hYlli var, ya da sonsuz sayda hYlli var. Hesablama zamanэ heз bir yuvarlaqlaєdэrma aparэlmayэbsa, onda Hauss ьsьlu ilY tapэlmэє hYll dYqiq olur.

(2) sistemini Qauss ьsulu ilY hYll edYrkYn tYnliklYr ьzYrindY aparэlan YmYllYr bYzYn onlarэn Ymsallarэndan dьzYlmiє

a11 a12 ... a1m b1

a21 a22 ... a2m b2

. . . . . . . . . .

an1 an2 ... anm bn

matrisi ьzYrindY aparmaq daha mьnasib olur.

Qauss ьsulunu tYtbiq etmYklY aєaрэdakэ tYnliklYr sistemini hYll edYk:

x1 + 2x2 ЁC 3x3 + 2x4 = 1,

2x1 - x2 ЁC 2x3 - 3x4 = 2,

3x1 + 2x2 ЁC x3 + 2x4 = -5, (5)

2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11.

Sistemin birinci tYnliyinin hYr iki tYrYfini 2-yY vuraraq alэnan bYrabYrliyi uyрun olaraq ikinci vY dцrdьncь tYnlikdYn tYrYf-tYrYfY зэxaq; sonra da birinci tYnliyin hYr iki tYrYfini 3-Y vuraraq alэnan tYnliyi 3-cь tYnlikdYn tYrYf-tYrYfY зэxaq;

x1 + 2x2 ЁC 3x3 + 2x4 = 1,

-5x2 + 4x3 - 7x4 = 0,

-4x2 + 8x3 + 4x4 = -8, (6)

-7x2 + 8x3 - 3x4 = 9.

tYnliklYr sistemini alэrэq. Bu sistemin ikinci tYnliyindYn ьзьncь tYnliyini tYrYf-tYrYfY зэxsaq vY alэnan bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini -1-rY vursaq, nYticYdY (6) sistemini

x1 + 2x2 ЁC 3x3 + 2x4 = 1,

x2 + 4x3 + 3x4 = -8,

-4x2 + 8x3 - 4x4 = -8 (7)

-7x2 + 8x3 - 3x4 = 9.

tYnliklYr sistemi ilY YvYz etmiє oluruq. (7) sisteminin ikinci tYnliyinin hYr iki tYrYfini YvvYlcY (+4)-Y, sonra da (+7)ЁCyY vurub alэnan bYrabYrliklYri uyрun olaraq ьзьncь vY dцrdьncь tYnliklYrlY toplasaq

x1 + 2x2 ЁC 3x3 + 2x4 = 1,

x2 + 4x3 + 3x4 = -8,

24x3 + 8x4 = -40,

36x3 + 18x4 = -47.

tYnliklYr sistemini alэrэq. HYmin ьsulla bu sistemi dY

x1 + 2x2 ЁC 3x3 + 2x4 = 1,

x2 + 4x3 + 3x4 = -8,

24x3 + 8x4 = -40 (8)

6x4 =13

єYklindY gYtirmYk olar.

Aydэndэr ki, (5) xYtti tYnliklYr sistemi ilY (8) pillYvarэ xYtti tYnliklYr sistemi ekvivalentdir. (8) sistemini hYll edYrYk, sistemin yeganY

x1 = - µ § , x2 = - µ § , x3 = - µ § , x4 = µ §

hYllini (YvvYlcY axэrэncэ tYnlikdYn x4, sonra ьзьncь tYnlikdYn x3 vY s. tapэlэr)

Qeyd edYk ki, (5) sistemini Kramer qaydasэ ilY hYll etmYk ьзьn dцrdtYrtibli 5 determinant hesablamaq lazэm idi.

2. Matris ьsulunun mahiyyYti.

Tutaq ki, n mYchullu n xYtti tYnliklYr sistemi verilmiєdir

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . (1)

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,

vY mYchullarэn Ymsallarэndan dьzYlmiє Ysas matrisin

a11 a12 ... a1n

A = a21 a22 ... a2n (2)

. . . . . . . .

an1 a2n ... ann

determinantэ sэfэrdan fYrglidir.

(1) sistemini ona ekvivalent olan matris tYnliyi ilY YvYz edYk.

AX = B , (3)

Burada A ЁC sistemin Ysas matrisi, X vY B osY sьtun-matrislYrdir.

x1 b1

X = x2 , B = b2 .

... ...

xn bn

A matrisinin determinantэ sэfэrdan fYrgli olduрu ьзьn onun A-1 tYrs matrisi var. Tutaq ki, (1) sistemin hYlli var, yYni (3) matris tYnliyini eyniliyY зevirYn X sьtunu vardэr. Bu halda (3) tYnliyinin hYr iki tYrYfini soldan A-1 matrisinY vursaq, alarэq

A-1(AX) = A-1B (4)

Buradan ьз matrisin hasilinin xassYsini vY A-1A = I (burada I vahid matrisdir) olduрunu nYzYrY alsaq onda

A-1(AX) = (A-1A)X = IX = X

NYticYdY, (4) dьsturundan alэrэq ki,

X = A-1B (5)

BelYliklY, isbat etdik ki, (3) matris tYnliyinin hYlli varsa, onda o (5) mьnasibYti ilY birqiymYtli tYyin edilir.

Asanliqla yoxlamaq olar ki, (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYn X sьtunu doрrudan da (3) matris tYnliyinin hYllidir, yYni bu tYnliyi eyniliyY зevirir. Doрrudan da, YgYr X matrisi (5) mьnasibYti ilY tYyin edilirsY, onda

AX = A(A-1B) = AA-1B = IB = B.

DemYli, YgYr A matrisinin determinantэ sэfэrdan fYrgli olarsa, onda (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYn (3) matris tYnliyinin yeganY hYlli vardэr.

Mцvzu 4

Vektor, vektorlar ьzYrindY YmYllYr. Oxlar ьzYrindY

proyeksiyasэ. YцnYldici kosinuslar vY vektorun uzunluрu.

1. Skalyar vY vektorial kYmiyyYtlYr.

2. Vektorlar ьzYrindY YmYllYr.

3. Vektorlarэn xYtti asэlэlэрэ.

4. Vektorlarэn bazis ьzrY ayrэlэєэ.

5. Koordinat sistemi.

6. YцnYldici kosinuslar vY vektorun uzunluрu.

1. Skalyar vY vektorial kYmiyyYtlYr.

єTYrif. Ancaq bir YdYdlY tamamilY tYyin olunan kYmiyyYtlYrY skalyar kYmiyyYtlYr deyilir.

MYsYlYn; zaman, kьtlY, sahY , hYcim, uzunluq vY s. HYmзinin riyaziyyatda цyrYnilYn adsэz (mьcYrrYd) YdYdlYr skalyar kYmiyyYtlYrdir.

єTYrif. ЏdYdi qiymYtindYn baєqa istiqamYti dY verilmiє kYmiyyYtlYrY vektorial kYmiyyYtlYr deyilir.

MYsYlYn; yerdYyiєmY, sьrYt, tYcil, qьvvY, cismin cYkisi vY s. ЏgYr vektor µ §, µ § kimi gцstYrilYrsY burada birinci hYrf vektorun baєlnрэc, ikinci hYrf isY son nцqtYsi iєarY edir. Vektorlar bir hYriflYdY µ §, µ § vY s. kimidY gцstYrilir.

B D

µ § µ §

A C µ §

Baєlanрэc vY son nцqtYlYri ьst-ьstY dьєYn vektorlara sэfэr vektorlar deyilir, vY ф ЁC ilY iєarY olunur.

єTYrif. Modullarэ bYrabYr, bir-birinY paralel vY istiqamYtlYri eyni olan vektorlara bYrabYr vektorlar deyilir.

єTYrif. Bir dьz xYtt vY ya paralel dьzxYtlYr ьzYrindY yerlYєYn vektorlara koleniar vektorlar deyilir.

µ §

µ § µ §

µ § µ § µ §

NYticY; BYrabYr vektorlar koleniar ola bilYr, amma koleniar vektorlar bYrabYr

olmaya bilYr.

2. Vektorlar ьzYrindY YmYllYr.

єTYrif. µ §vY µ § vektorlarэ ьzYrindY aєaрэda gцstYrilYn qayda ilY qurulmuє µ § vektoruna hYmin vektorun cYmi deyilir vY µ § = µ § + µ § ilY iєarY olunur.

µ § µ §

µ § µ §

µ §

Vektorlarэn cYmi ьcьn

µ § + µ § = µ § + µ § ; (µ § + µ §) + µ § = µ § + (µ § + µ §) ; µ § + µ § = µ §

xassYlYri doрrudur.

TYrif. µ § vektorunun hYqiqi (skalyar) л YdYdinY µ § л = л µ §hasili aєaрэdakэ kimi tYyin olunan µ § vektorlarэna deyilir.

1) µ § = лЕ µ § ; olsun.

2) л*0 olduqda, µ § vY µ § vektorlarэnэn istiqamYtlYri eyni , л)0 olduqda isY µ §-nin istiqamYti, µ §- nэn istiqamYtinin YksinY olsun. µ § vY µ § vektorlarэnэn cYmini vY fYrqini hYndYsi olaraq paraleloqram qaydasэ ilY tapmaq olar.

µ § - µ § µ § a + b µ §

µ §

µ §

Qeyd edYk ki, vektorlar arasэnda < vY > iєarYsini yazmaq olmaz, vektorlar ancaq modullarэ ilY mьqayisY oluna bilYr. Skalyar YdYdlY vektoru cэxmaq (toplamaq) olmaz.

3. Vektorlarэn xYtti asэlэlэрэ.

Tutaq ki, µ § , µ § , ... , µ § vektorlarэ verilib vY л1 , л2 , ... , лn hYqiqi YdYdlYrdir. BelY ifadYlYrY baxaq.

л1 µ § + л2 µ § + ... + лn µ § (1)

b = л1 µ § + л2 µ § + ... + лn µ § (2)

TYrif. ЏgYr

л1 µ § + л2 µ § + ... + лn µ § = 0 (3)

MьnasibYti hec olmasa л1 , л2 , ... , лn bir sэfэrdan fYrqli olduqda цdYnilYrsY , onda µ § , µ § , ... , µ § vektorlarэna xYtti asэlэ vektorlar deyilir.

єTYrif. (3) mьnasibYti yalnэz л1 , л2 , ... , лn =0 olduqda цdYnilYrsY , onda µ § , µ § , ... , µ § vektorlarэna xYtti asэlэ olmayan vektorlar deyilir.

Teorem 1. µ § , µ § , ... , µ § vektorlarэnэn xYtti asэlэ olmasэ ьcьn onlardan birinin yerdY qalanlarэn xYtti kombinaziyasэ olmasэ zYruri vY kafi єYrtdir.

XYtti asэlэlэрэn tYrifinY gцrY , tutaq ki л1 , л2 , ... , лn - dan biri mYsYlYn лЃ‚0 ЁC dэr. Onda

(3) tYnliyindYn alarэq

- лn µ § = л1 µ § + ... + лn-1 µ § ; (4)

µ § = - µ § · a1 + ... + - µ § · µ § ; (лn Ѓ‚ 0)

vY yaxud

µ § = µ §1µ § + ... + µ §k µ § ; µ § = - µ § ; k = 1, ..., n = 1 (5)

bu isY аn vektorunun µ § , µ § , ... , µ § vektorlarэnэn xYtti kombinasiyasэ olmasэnэ gцstYrir.

Teorem 2. µ § vY µ § , µ § vektorlarэnэn xYtti asэlэ olmasэ onlarэn komplanar olmasэ ьзьn zYruri vY kafi єYrtdir.

4. Vektorlarэn bazis ьzrY ayrэlэєэ.

ЏgYr µ § vektoru µ § , ... ,µ § vektorlarэnэn xYtti kombinasiyadэrsa , yYni

µ § = л1 µ § + ... + лn µ § (1)

olduqda , hYmdY deyilir ki , µ § vektoru µ § , ... , µ § vektorlarэ ьzrY ayrэlmэєdэr.

Xьsusi halda

µ § = л1 µ § + л2 µ § (2)

µ § = л1 µ § + л2 µ § + л3 µ § (3)

ola bilYr.

є TYrif. MьstYvi ьzYrindY yerlYєYn , koleniar olmayan vY mьYyyYn ardэcэllэqla gцtьrьlYn µ § , µ § vektorlarэna hYmin mьstYvidY bazis deyilir.

Teorem 1. MьstYvi ьzYrindY yerlYєYn, hYr bir µ §vektorunu bu mьstYvi ьzYrindY µ § , µ § bazisi ьzrY

µ § = л1 µ § + л2 µ § (4)

ayrэlэєэnэ yazmaq olar vY bu ayrэlэє yeganYdir.

Isbatэ. µ § , µ § vektorlarэ koleniar olmadэрэndan onlarэn heз biri sэfэr deyil. µ § , µ §vY

µ § vektorlarэnэn baєlanрэcэnэ bir “ 0 ” nцqtYsinY kцзьrYk;

µ § µ § µ §

E1 A

µ § µ §

0 µ § E2

vektorlarэn toplama qaydasэna gцrY

µ § = 0µ § + 0µ § = л1 µ § + л2 µ §

alarэq. YYni (4) ifadYsini alarэq. Bunun ьзьn Yksini fYrz edYk, yYni fYrz edYk ki,

baєqa bir

µ § = µ §1µ § + µ §2µ § (5)

ayrэlэєэ da var. (4) vY (5) ЁCin fYrqinY baxaq, onda

(µ §1 - л1 ) µ § + (µ §2 ЁC л2 ) µ § = 0 (6)

olar.

5. Koordinat sistemi.

Tutaq ki, fYzada µ § , µ §, µ § bazisi verilib , vY bu bazis vektorlarэnэn baєlanрэc nцqtYlYrini fYzanэn bir “ 0 ” nцqtYsinY kцзьrYk. Onda fYzanэn istYnilYn M-nцqtYsinin vYziyyYtini 0-nцqtYsinY nYzYrYn tYyin emYk olar.

0-nцqtYsilY M nцqtYsini birlYєdirYn µ § -vektorunun µ §-lY iєarY edib, onu M nцqtYsinin radius vektoru adlandэraq. µ § -vektorunu isY µ § , µ §, µ §

bazislYrinY gцrY ayrэlэєэnэ yazmaq olar

M

0

µ § = л1 µ § + л2 µ § + л3 µ § (1)

єTYrif. 0 nцqtYsi vY µ § , µ §, µ § bazisi birlikdY fYzada Dekard koordinat sistemi

adlanэr vY 0 µ § , µ §, µ § ilY iєarY olunur. M ЁCnцqtYsinin µ § =µ § radius-vektorunun

л1 , л2 , л3 koordinatlarэna M ЁCnцqtYsinin hYmin koordinat sistemindY addun

koordinatlarэ deyilir. VY M (л1 , л2 , л3 )- ilY iєarY olunur.

ЏgYr bazis vektorlar qarэєэlэqlэ perpendikulyar olarsa vY onlarэn uzunluqlarэ vahid

olarsa belY koordinat sisteminY dьzbucaqlэ Dekard koordinat sistemi deyilir.

y y

µ § x z

0 0

µ § x

1. Tutaq ki, fYzada

µ § = ax µ § + ay µ § + az µ § µ § (ax + ay + az )

µ § = bx µ § + by µ § + bz µ § µ § (bx + by + bz )

vektorlarэ verilib.

лµ § = (лaxµ § + (лay) µ § + (лaz) µ §

onda

µ § + µ § = ( axµ § bx ) µ § + ( ayµ § by ) µ § + ( azµ § bz ) µ §

olar.

2. ЏgYr µ § = µ § olarsa , onda ax = bx , ay = by , az = bz olar.

3. µ § = µ §

6. YцnYldici kosinuslar vY vektorun uzunluрu.

Koordinatlarэ ilY verilmiє

µ § = ax µ § + ay µ § + az µ §

Vektorunun modulunu (uzunluрunu) hesablamaq. Bu mYqsYdlY µ § vektorunun baYlanрэcэnэ koordinat baєlanрэcэna kцзьrmYk vY onun koordinat oxlarэ ьzYrindY ax = OP, ay = OQ, az = OR proyeksiyalarэnэ tapaq. OP, OQ, OR parзalarэ ьzYrindY dьzbucaqlэ paralelepiped qursaq, onun diqaonalэ OM = µ § olar.

Buradan:

µ § z

R µ § 2 = µ §

az vY ya

µ § = µ § (1)

M

0 µ § µ § Q є Tutaq ki, µ § vektorunun koordinat oxlarэnэn

ax µ § ay y mьsbYt istiqamYti ilY YmYlY gYtirdiyi bucaqlar

P µ § ЁC dэr. Bu bucaqlar µ § vektorunun yцnYldici

bucaqlarэ deyilir. µ § vektorunun koordinat oxlarэ

x ЄYkil 1 ьzYrindYki ax , ay vY az proyeksiyalarэnэ

ax = µ § µ §, ay = µ § µ §, az = µ § µ §

kimi tapmaq olar.

Buradan:

µ § = µ § , µ § µ § , µ § = µ § (2)

vY ya

µ § = µ § ,

µ § = µ § , (3)

µ § = µ § .

(2) bYrabYrliklYrini kvadrata juksYldib tYrYf-tYrYfY toplasaq vY (1) bYrabYrliyini nYzYrY alsaq:

cos2µ § + cos2µ § + cos2µ § = 1 (4)

µ §, µ § vY µ § kYmiyyYtlYrinY µ § vektorunun yцnYdici kosinuslarэ deyilir. µ § vektoru vahid vektor olarsa, onda

ax = µ § , ay = µ § , az = µ § ,

yYni vahid vektorun yцnYldici kosinuslarэ onun uyрun koordinatlarэdэr.

єTutaq ki, M1 ( x1 , y1 , z1 ) vY M2 ( x2 , y2 , z2 ) nцqtYlYri verilmiєdir. Onda:

µ § M 1 = x1 µ § + y1 µ § + z1 µ §

vY

µ § M 2 = x2 µ § + y2 µ § + z2 µ § z

z M1

M

M1 M2 µ § µ §

µ § M1 µ § M2

µ § M 2

0 y 0 y

x

ЄYkil 2 x ЄYkil 3

ЄYkildYn aydэndэr ki,

µ § = µ § M 2 - µ § M 1

vY ya

µ § = ( x2 ЁC x1 )µ § + ( y2 ЁC y1 ) µ § + ( z2 ЁC z1 ) µ § (5)

Vektorun uzunluрu ьзьn tapdэрэmэz (1) dьsturuna YsasYn:

µ § = µ §

DemYli, verilmiє M1 ( x1 , y1 , z1 ) vY M2 ( x2 , y2 , z2 ) nцqtYlYri arasэndakэ mYsafY

d = µ § (6)

dьsturu ilY hesablanar.

Mцvzu 5

Vektorlarэn skalyar vY vektorial hasili. Paraleloqramэn vY

ьзbucaqэn sahYsi. Ьз vektorun qarэєэq hasili. Paralelepiped vY

piramidanэn hYcmi.

1. Vektorlarэn skalyar hasili.

2. Vektorlarэn vektorial hasili.

3. Paraleloqramэn vY ьзbucaqэn sahYsi.

4. Ьз vektorun qarэєэq hasili.

5. Paralelepiped vY piramidanэn hYcmi.

1. Vektorlarэn skalyar hasili.

µ § vY µ § vektorlarэn uzunluqlarэ ilY aralarэndakэ bucaрэn kosinusu hasilinY

onlarэn skalyar hasili deyilir. BelY iєarY olunur µ § · µ § , µ §, (µ §) .

ц = (µ § ,€ µ §) olduqda tYrifY gцrY;

(µ §) = µ § · µ § ·µ § vY ya µ § · µ § = µ § · µ § ·µ § (1)

olar.

Эki vektorun skalyar hasilinin (1) ifadYsini baєqa єYkildYdY yazmaq olar. Bu mYqsYdlY µ § vektorunun µ § vektoru ьzYrindY proyeksiyasэnэn

µ § = µ §, ц = (µ § ,€ µ §)

olduрunu nYzYrY almaq lazэmdэr. Onda (1) bYrabYrliyini

(µ §) = µ § µ § (2)

vY

(µ §) = µ § µ § (3)