Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
Mцvzu 13
Diferensial hesabэnэn Ysas teoremlYri. 1. Roll, Lagranj, vY Koєi teoremlYri. 2. Qeyri-mьYyyYnliklYrin aзэlэєэ, Lopital qaydasэ. 3. Teylor dьsturu. 1. Roll, Lagranj, vY Koєi teoremlYri. єRoll teoremi. µ §-da kYsilmYyYn , (a,b) intervalэnda diferensiallanan vY hYmin parзanэn uc nцqtYlYrindY bYrabYr µ § qiymYtlYri alan µ § funksiyasэ ьзьn hYmin (a, b) intervalэnda yerlYєYn heз olmasa bir elY µ § nцqtYsi var ki, bu nцqtYdY funksiyanэn µ § tцrYmYsi sэfэra bYrabYrdir. YYni µ § єLaqranj teoremi. µ §-da kYsilmYyYn vY (a,b) intervalэnda diferensiallanan µ § funksiyasэ ьзьn hYmin intervalэnda yerlYєYn elY µ § nцqtYsi var ki, bu nцqtYdY µ § (1)
bYrabYrliyi цdYnilir. (1) bYrabYrliyinY Laqranj dьsturu vY ya sonlu artэmlar dьsturu deyilir. Isbatэ ; µ §-da tYyin olunmuє µ § (2) funksiyasэna baxaq. F(x) funksiyasэ µ §-da kYsilmYyYndir, (a,b) intervalэnda diferensiallanandэr vY parзanэn uc nцqtYlYrindY bYrabYr qiymYtlYr alэr. µ § µ § tцrYmYsi bir µ § nцqtYlYrindY sэfra bYrabYr olar; µ § Buradan (1) bYrabYrliyi alэnэr. є Koєi teoremi. Tutaq ki, µ § vY µ § funksiyalarэ µ §-da kYsilmYyYn , (a,b) intervalэnda diferensiallanan vY hYmin intervalэn bьtьn nцqtYlYrindY µ § єYrtini цdYyYn funksiyalardэr. Onda (a,b) intervalэnda yerlYєYn elY µ § nцqtYsi var ki, bu nцqtYdY µ § (1)
bYrabYrliyi цdYnilir. Эsbatэ. Teoremin єYrtindYn aydэndэr ki, µ § зьnki Yks halda , yYni µ § olduqda Roll teoreminY gцrY bir µ § nцqtYsindYn µ § olar ki, buda єYrtY ziddir. Indi aєaрэdakэ kimi kцmYkзi funksiya dьzYldYk; µ § (2) F(x) funksiyasэ µ §-da kYsilmYyYndir, (a,b) intervalэnda diferensiallanandэr vY parзanэn uc nцqtYlYrindY sэfra bYrabYrdir; µ § Onda Roll teoreminY gцrY onun µ § tцrYmYsi (a, b) intervalэnэn bir µ § nцqtYsindY sэfra bYrabYr olar; µ § Buradan (1) bYrabYrliyi alэnэr. 2. Qeyri-mьYyyYnliklYrin aзэlэєэ, Lopital qaydasэ. є µ § єYkildY qeyri-mьYyyYnliyin aзэlэєэ. Teorem 1. ( Lopital qaydasэ.) Tutaq ki, µ § vY µ § funksiyalarэ x=a nцqtYsinin mьYyyYn Ytrafэnda (a nцqtYsini mьstYsna olmaqla) tYyin olunmuє , diferensiallanan, µ § (1)
vY µ § ( a nцqtYsi hYmin Ytrafэnda) єYrtlYrini цdYyYn funksiyalardэr. ЏgYr funksiyalarэn tцrYmYlYri nisbYtinin µ § (2)
Limiti varsa, onda funksiyalarэnэn цzlYrinin dY nisbYtinin limiti var vY hYmin YdYdY bYrabYrdir; µ § µ § (3) єµ §єYklindY qeyri-mьYyyYnliyin aзэlэєэ. Teorem 2.( Lopital qaydasэ.) Tutaq ki, µ § vY µ § funksiyalarэ x=a nцqtYsinin mьYyyYn Ytrafэnda (a nцqtYsi mьstYsna olmaqla) tYyin olunmuє , diferensiallanan vY µ § ( a nцqtYsi hYmin Ytrafэnda) єYrtlYrini цdYyYn funksiyalardэr; µ § (4) ЏgYr funksiyalarэn tцrYmYlYri nisbYtinin µ § (5) limiti varsa, onda funksiyalarэn цzlYrinin dY nisbYtinin limiti var vY hYmin YdYdY bYrabYrdir ; µ § µ § (6) 3. Teylor dьsturu. Tutaq ki, µ § (1) n dYrYcYli зoxhYdli vY a hYr hansэ hYqiqi YdYddir. P (x) зoxhYdlisini hYmiєY x-a fYrqinin qьvvYtlYrinY gцrY yazmaq olar. µ § (2) bYrabYrliyinY зoxhYdli ьзьn Teylor dьsturu deyilir a=0 olduqda Teylor dьsturunun xьsusi halэnэ alarэq ; µ § (3) Bu dьstura зoxhYdli ьзьn Makloren dьsturu deyilir. Mцvzu 14 Funksiyanэn maksimumu vY minimumu. Ekstremum. 1. Funksiyanэn artmasэ vY azalmasэ єYrtlYri. 2. Ekstremumun varlэрэ ьзьn єYrtlYr. 3. Џyrinin qabarэq vY зцkьklьyu. ЏyilmY nцqtYsi. 4. Asimptotlar. 1. Funksiyanэn artmasэ vY azalmasэ єYrtlYri. Teorem. 1) µ § parзasэnda tцrYmYsi olan f (x) funksiyasэ hYmin parзada artandэrsa, onda µ § parзasэnda onun tцrYmYsi mYnfi deyil, yYni, f Њ(x) µ §; 2) ЏgYr f (x) funksiyasэ µ §parзasэnda kYsilmYz, (a, b) intervalэnda isY diferensiallana bilYndirsY vY f Њ(x) µ § olarsa, onda hYmin funksiya µ § parєasэnda artandэr. Эsbatэ. ЏvvYlcY teoremin birinci hissYsini isbat edYk. Tutaq ki, f (x) funksiyasэ µ § parзasэnda artir. x arqumentinY x artэmэ verib µ § (1) NisbYtinY dьzYldYk. f (x) artan funksiya olduрunda µ §olduqda µ § vY µ §olduqda isY µ § HYr iki halda µ § (2)
vY demYli, µ § ,
yYni f Њ(x) µ § olur. Indi teoremin ikinci hissYsini isbat edYk. tutaq ki, arqumentin (a, b) intervalэndan gцtьrьlmьє ixtiyari x qiymYtindY f Њ(x) µ §. µ § parзasэnda yerlYєYn istYnilYn x1 vY x2 (x1x2) gцtьrYk. Laqranj sonlu fYrglYr teoreminY gцrY µ §, µ §. ЄYrtY gцrY f Њ(µ §) µ § olduрundan µ §. Bu isY o demYkdir ki, f (x) artan funksiyadэr. Azalan (diferensiallana bilYn) funkiya ьзьn dY oxєar teorem doрrudur. Teorem. ЏgYr f (x) funksiyasэ µ § parзasэnda azalandэrsa, onda hYmin parзada f Њ(x)µ §. ЏgYr (a, b) intervalэnda f Њ(x) µ § olarsa, onda f (x) funskiyasэ µ § parзasэnda azalandэr. 2. Ekstremumun varlэрэ ьзьn єYrtlYr. Maksimumun tYrifi. µ § nцqtYsinin daxil olduрu hYr hansэ intervalэnэn bьtьn nцqtYlYrindY f (x) funksiyasэnэn qiymYti onun µ § nцqtYsindYki qiymYtindYn kiзik olduqda deyirlYr ki, f (x) funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY maksimumu vardэr. Baєda dцzlY, mьtlYq qiymYtcY kifayYt qYdYr kiзik olan istYnilYn (mьsbYt vY ya mYnfi) x ьзьn µ § olduqda deyirlYr ki, µ §nцqtYsindY f (x) funksiyasэnэn maksimumu var. Minimumun tYrifi. MьtlYq qiymYtcY kifayYt qYdYr kiзik olan istYnilYn (mьsbYt vY ya mYnfi) x ьзьn µ § olarsa, onda deyirlY ki, f (x) funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY minimumu vardэr. Funksiyanэn maksimumu vY minimumu birlikdY funksiyanэn ekstremumlarэ deyilir. Teorem 1. (eksremumun varlэрэ zYruri єYrtdir). ЏgYr diferensiallana bilYn y = f (x) funksiyasэnэn x=x1 nцqtYsindY ekstremumu varsa, onda nцqtYdY funksiyanэn tцrYmYsi sэfra зevrilir, yYni µ § = 0. Эsbatэ. MьYyyYnlik ьзьn fYrz edYk ki, x1 nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu vardэr. Onda arqumentin mьtlYq qiymYtcY kifayYt qYdYr kiзik artэmlarэnda µ §
yYni µ §
Olar. belY olduqda isY µ §
nisbYtinin iєarYsi µ § artэmэnэn iєarYsi ilY tYyin olunar, yYni µ § olduqda µ § µ § olduqda µ § olar. tцrYmYnin tYrifinY YsasYn µ § ЏgYr f (x) funksiyasэnэn µ § nцqtYsindY tцrYmYsi varsa, onda bu bYrabYrliyin saр tYrYfindY duran limit µ § artэmэnэn sэfra necY yaxэnlaєmasэndan (mьsbYt vY ya mYnfi qalaraq) asэlэ deyil. DigYr tYrYfdYn µ § artэmэ mYnfi qalmaqla sэfra yaxэnlaєarsa, onda µ § olur. DigYr tYrYfdYn µ § artэmэ mьsbYt qalmaqla sэfra yaxэnlaєarsa, onda µ § olmalэdэr. µ § artэmэnэn sэfra yaxэnlaєma qaydasэndan asэlэ olmayaraq µ § mьYyyYn bir YdYd olduрundan axэrэncэ iki bYrabYrsizlik yalnэz µ § olduqda uyuєan olur. Minimum halэ ьзьn dY teoremin isbatэ oxєar qaydada aparэlэr. Teorem 1-dYn bilavasitY aєaрэdakэ nYticY alэnэr: x arqumentin baxэlan bьtьn qiymYtlYrindY f (x) funksiyasэnэn tцrYmYsi varsa, onda yalnэz tцrYmYnin sэfэr olduрu nцqtYlYrdY funksiyanэn ekstremumu ola bilYr. bu fikrin tYrsi doрru deyil: tцrYmYnin sэfэr olduрu hYr bir nцqtYdYfunksiyanэn maksimumu vY ya minimumunun olmasэ zYruri deyil. Qeyd edYk ki, YgYr funksiyanэn hYr hansэ nцqtYdY tцrYmYsi yoxdursa (lakin yaxэn nцqtYlYrdY var), onda hYmin nцqtYdY tцrYmY kYsilYndir. TцrYmYnin sэfra зevrildiyi vY ya kYsildiyi nцqtYlYrdY hYmin funksiyanэn bцhran nцqtYlYri deyilir. Yuxarэda deyilYnlYrdYn gцrьnьr ki, hYr bir bцhran nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu vY ya minimumu olduрunu dьєьnmYk dьzgьn deyil. Lakin hYr hansэ bir nцqtYdY funksiyanэn maksimumu vY ya minimumu varsa, onda hYmin nцqtY bцhran nцqtYsidir. Ona gцrY dY funksiyalarэn ekstremumlarэnэ axtaranda: YvvYlcY bьtьn bцhran nцqtYlYri tapэlэr, sonra hYr bir bцhran nцqtYsi ayrэca araєdэrэlaraq, hYmin nцqtYdY maksimum vY ya minimumun olduрu, yaxud da nY maksimumun vY nY dY minimumun olmadэрэ aydэnlaєdэrэlэr. Teorem 2. (ekstremumun varlэрэ kafi єYrtdir). Tutaq ki, f (x) funksiyasэ µ § nцqtYsinin daxil olduрu hYr hansэ bir intervalda kYsilmYzdir vY intervalэn bьtьn nцqtYlYrindY (µ § nцqtYsi istisna ola bilYr) diferensiallana bilYndir. ЏgYr bu nцqtYdYn soldan saрa keзYndY tцrYmYnin iєarYsi mьsbYtdYn mYnfiyY dYyiєirsY, onda µ § nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu vardэr. ЏgYr hYmin µ § nцqtYsindYn soldan saрa keєYndY tцrYmYnin iєarYsi mYnfidYn mьsbYtY dYyiєirsY, onda hYmin nцqtYdY funksiyanэn minimumu vardir. BelYliklY, a) YgYr µ § olduqda µ § olduqda isY µ § olarsa, onda µ § nцqtYsindY funksiyanэn maksimumu var; b) YgYr µ § olduqda µ §, µ § olduqda isY µ § olarsa, onda µ § nцqtYsindY funksiyanэn minimumu var. Bu halda nYzYrY almaq lazэmdэr ki, a) vY ya b) єYrti x arqumentinin x1 YdYdinY yalnэz kifayYt qYdYr yaxэn olan qiymYtlYrindY, yYni bцhran nцqtYsinin kifayYt qYdYr kiзik Ytrafэnэn bьtьn nцqtYlYrindY цdYnilmYlidir. Teorem 3. (ekstremum varlэрэnэn ikinci kafi єYrtdi). Tutaq ki, µ §, onda µ § olaesa, funksiyanэn x1 nцqtYsindY maksimumu, µ § olduqda isY hYmin nцqtYdY minimumu var. 3. Џyrinin qabarэq vY зцkьklьyu. ЏyilmY nцqtYsi. MьstYvi ьzYrindY birqiymYtli diferensiallanan f (x) funksiyasэnэn qrafiki olan y = f (x) Yyrisinin nYzYrdYn keзirYk. TYrif 1. Џyrinin (a, b) intervalэna daxil olan bьtьn nцqtYlYri bu intervalda YyriyY зYkilYn istYnilYn toxunandan aзaрэda yerlYєYrsY, deyirlYr ki, (a, b) intervalэnda Yyriin qabarэqlэрэ yuxarэya doрrudur. TYrif 2. Џyrinin (b, c) intervalэna daxil olan bьtьn nцqtYlYri bu intervalda YyriyY зYkilYn istYnilYn toxunandan yuxarэda yerlYєYrsY, deyirlYr ki, (b, c) intervalэnda Yyriin qabarэqlэрэ aєaрэya doрrudur. Џyrinin qabarэqlэрэ yuxarэya doрru olduqda ona qabarэq Yyri, aзaрэya doрru olanda isY зцkьk Yyri deyYcYyik. y a 0 x0 b c x Teorem 1. (a, b) intervalэnэn bьtьn nцqtYlYrindY f (x) funksiyanэn ikinci tYrtib tцrYmYsi mYnfidirsY µ §, onda y = f (x) Yyrisi bu intervalda qabarэqdэr. Teorem 2. ЏgYr (b, c) intervalэnэn bьtьn nцqtYlYrindY f (x) funksiyanэn ikinci tYrtib tцrYmYsi mьsbYtdirsY µ §, onda y = f (x) Yyrisi bu intervalda зцkьkdьr. TYrif 3. KYsilmYz Yyrinin qabarэq hissYsini зцkьk hissYsindYn ayэran nцqtYyY onun YyilmY nцqtYsi deyilri. Aydэndэr ki, YyilmY nцqtYsindY toxunan Yyrini kYsir, зьnkь bu nцqtYdYn bir tYrYfdY Yyri toxunanda aєaрэda, digYr tYrYfdY isY yuxarэda yerlYєir. Teorem 3. Tutaq ki, Yyri y = f (x) tYnliyi ilY verilmiєdir vY f ЊЊ(a) = 0, yaxud f ЊЊ(a) yoxdur. ЏgYr x = a nцqtYsindYn keзYndY f ЊЊ(x) tцrYmYsi цz iєarYsini dYyiєirsY, onda Yyrinin bu nцqtYsi YyilmY nцqtYsidir. 4. Asimptotlar. Bir зox hallarda dYyiєYn nцqtYnin absisinin, yaxud ordinatэnэn vY ya hYm absisinin, hYm dY ordinatэnэn birlikdY qeyri-mYhdud artdэрэ (mьtlYq qiymYtcY) yerlYrdY y = f (x) Yyrisinin formasэnэ vY demYli uyрun funksiyasэnэn dYyiєmYsinin xarakterini tYdbiq etmYk lazэm gYlir. Burada isY vacib xьsusi hal, dYyiєYn nцqtYnin sonsuzluрa getmYsi (yaxэnlaєmasэ) ilY hYmin Yyrinin mьYyyYn bir dьz xYttY sonsuz yaxэnlaєmasэdэr. TYrif. Џyri ьzYrindYki M dYyiєYn nцqtYsi sonsuzluрa yaxэnlaєarkYn, hYmin M nцztYsindYn A dьz xYttinY qYdYr olan d mYsafYsi sэfэra yaxэnlaєarsa, onda A dьz xYttinY hYmin Yyrinin asimptotu deyilir ( єYkil 1) y Asimptot d M (x,y) 0 x
( ЄYkil 1) Biz єaquli ЁC ordinat oxuna paralel olan vY maili ЁC ordinat oxuna paralel olmayan asimptotlarэ nYzYrdYn keзirYcik. I. Єaquli asimptotlar. Asimptotun tYrifinY YsasYn x = a dьz xYtti y = f (x) Yyrisinin asimptotudursa, onda µ §, vY ya µ § mьnasibYtlYrindYn biri цdYnilmYlidir vY YksinY, hYmin mьnasibYtlYrindYn biri цdYnildikdY x = a dьz xYtti asimptotdur. DemYli, єaquli asimptotlarэ tapmaq ьзьn elY x = a qiymYtlYrini tapmaq lazэmdэr ki, x bu qiymYtlYrY yaxэnlaєdэqda y = f (x) funksiyasэ sonsuzluрa yaxэnlaєsэn. Bu halda x = a dьz xYtti єaquli asimptot olar. II. Maili asimptotlar. Tutaq ki, y = kx + b dьz xYtti y = f (x) Yyrisinin maili asimptotudur. TYrif. y = kx + b dьz xYttinin x µ § єYrtindY y = f (x) Yyrisinin maili asimptotu olmasэ ьзьn µ § vY ya
f (x) = kx + b + a(x) , a(x) µ § (µ § єYrtinin цdYnilmYsi zYruri vY kafi єYrtdir. Teorem. y = kx + b dьz xYttinin x µ § єYrtindY y = f (x) Yyrisinin maili asimptotu olmasэ ьзьn µ § vY µ § limitlYrinin ikisinin dY varlэрэ zYruri vY kafi єYrtdir. Misal. y =µ § Yyrisinin asimptotlarэnэ tapmaq. ЏvvYlcY maili asimptotu axtaraq: µ § vY
olduрundan y = 3x + 1 dьz xYtti Yyrinin maili asimptoru olar. x = 1 dьz xYttinin isY hYmin Yyrinin єaquli asimptoru olmasэ µ § bYrabYrliyindYn alэnэr. єFunskiyanэn tYdqiqi vY qrafikinin qurulmasэnэn ьmumi sxemi. ЊЊ Funksiyanэn tYdqiqi ЊЊ dedikdY, adYtYn aєaрэdakэlarэ tapmaq nYzYrdY tutulur: 1) funksiyanэn tYyin oblastэnэ; 2) funksiyanэn kYsilmY nцqtYlYrini; 3) funksiyanэn artma vY azalma intervallarэnэ; 4) maksimum vY minimum nцqtYlYrini, elYcY dY funksiyanэn maksimum vY minimum qiymYtlYrini; 5) qabarэq vY зцkьklьk intervallarэnэ, YyilmY nцqtYlYrini; 6) funksiya qrafikinin asimptotlarэnэ. Aparэlmэє tYdqiqata YsasYn funksiyanэn qrafiki qurulur. Mцvzu 15
Funksiyanэn differensial 1. Diferensialэn tYrifi. 2. Diferensialэn hYndYsi mYnasэ. 3. Diferensialэn mexaniki mYnasэ. 4. Diferensiallarэn hesablanma dьsturlarэ. 5. YьksYk tYrtibli diferensiallar. 1. Diferensialэn tYrifi. µ § funksiyasэ ( a, b ) intervalэnda diferensiallanandэr. µ § TYrif . Diferensiallanan µ § funksiyasэnэn x nцqtYsindY ki, artэmэnэn baє hissYsinY yYni µ § -dYn xYtti asэlэ olan µ § ifadYsinY onun x nцqtYsindY diferensialэ deyilir. µ § funksiyasэnэn x nцqtYsindY diferensialэ µ §vY µ § µ § ilY iєarY olunur. µ § vY yaxud µ § 2. Diferensialэn hYndYsi mYnasэ. M(x, y) nцqtYsi gцtьrYk. Bu nцqtYdY funksiya qrafikinY зYkilYn toxunan MT dьz xYtti olsun . Absis oxu ьzYrindYki, µ § nцqtYsindYn ordinat oxuna paralel qaldэrэlan dьz xYtt MT toxunanэnэ M nцqtYsindY kYsYr. Dьzbucaqlэ NMQ µ §-da µ § µ § tцrYmYnin hYndYsi mYnasэna gцrY µ § olduрundan ; µ § (1) NQ kYmiyyYti, x absisi µ § artэmэnэ aldэqda MT toxunanэ ordinatэ- nэn aldэрэ artэmdэr. (1) bYrabYrliyindYn funksiya diferensialэnэn hYndYsi mYnasэ alэnэr. µ § funksiyasэnэn x nцqtYsindY diferensialэ , funksiyanэn qra- fikinY M(x,y) nцqtYsindY зYkilmiє toxunanэn toxunma nцqtYsinin absisi µ § artэmэ aldэqda ordinatэnэn aldэрэ artэma bYrabYrdir 3. Diferensialэn mexaniki mYnasэ. Tutaq ki, hYr hansэ cisim dьz xYtt boyunca hYrYkYt edir vY diferensiallanan µ § funksiyasэ onun hYrYkYt qanunudur. Aydэndэr ki, cisim t anэndan µ § anэna qYdYr olan mьddYtdY µ §
qYdYr yol gedYr. HYrYkYtin t anэnda sьrYtinin µ § olmasэ mYlumdur. DemYli YgYr hYrYkYt edYn cismin bьtьn µ § zaman fasilYsindY sьrYti sabit olub t anэndakэ, µ §sьrYtinY bYrabYr olsa idi, onda cisim hYmin mьddYtdY µ § (1)
qYdYr mYsafY getmiє olardэ . Bu , s(t) funksiyasэ diferensialэnэn mexaniki mYnasэnэ ifadY edir. 4. Diferensiallarэn hesablanma dьsturlarэ. HYm tцrYmY alma vY hYmdY diferensialэ tapma YmYllYrinY diferensiallama YmYli deyilir. Tutaq ki, diferensiallanan µ § vY µ § funksiyalarэ verilmiєdir. Onlarэn diferensialэ µ §
єYklindY olduрundan funksiyanэn cYminin , fYrqinin , hasilinin vY nisbYtinin diferensialэnэ hesablamaq ьзьn µ §
dьsturlarэnэ alarэq. 1. µ §
2. µ § µ §
3. µ § µ §
4. µ § µ §
5. µ § 6. µ §
µ § µ § µ § µ §
µ § µ § 5. YьksYk tYrtibli diferensiallar. Tutaq ki, µ § diferensiallanan funksiyalardэr vY x arqumenti sYrbYst dYyiєYndir. Onda funksiyanэn diferensialэ µ § (1)
olar. Funksiya diferensialэnэn diferensialэna hYmin funksiyanэn ikitYrtibli vY yaxud ikinci diferensialэ deyilir vY µ § vY s. iєarY olunur. µ § vY ya µ § µ §
DemYli ; µ §
Mцvzu 16 Kompleks YdYdlYr, onlarэn yazэlэє formasэ. 1. Nizamlэ YdYdlYr cьtlьyь vY onlar ьzYrindY YmYllYr. 2. Kompleks YdYd anlayэєэ. Kompleks YdYdin cYbri formasэ. 3. Kompleks YdYdlYr. Onlar ьzYrindY YmYllYr. 4. Kompleks YdYdin triqonometrik formasэ. 5. Muavr dьsturu. Eyler dьsturu. 1. Nizamlэ YdYdlYr cьtlьyь vY onlar ьzYrindY YmYllYr. HYqiqi a vY b YdYdlYrinin hansэnэn birinci hansэnэn ikinci olduрunu gцstYrYn (a, b) cьtlьyь nizamlanmэє adlanэr. MYsYlYn, (0,1), (2,3), (3,2). Qeyd edYk ki, eyni rYqYmlYrdYn tYєkil olunmalarэna baxmayaraq axэrэncэ iki cьtlьk mьxtYlifdirlYr. HYr bir cьtlьyь bir hYrflY iєarY edYrYk onlarэn bYrabYrliyi anlayэєэnэ, onlar ьzYrindY YmYllYri verYk. Эki nizamlэ cьtY baxaq. µ § (1) ЏgYr a = c vY b = d olarsa bu cьtlYr bYrabYr adlanэr. µ § (2) (1)-dYki nizamlэ cьtlYrin cYmi µ § (3) hasili isY µ § (4) (3)-dYn aydэndэr ki, µ § (5) istYnilYn cьtlY cYmi YvvYlki cьtY bYrabYrdir. µ § (5) sэfэr cьtlьk adlanэr vY nizamlэ cьtlYr ьзьn sэfэr rolu oynayэr. TYrif. µ § fYrqi elY nizamlэ µ § cьtьnY deyilir ki, µ § olsun. µ § (6)
TYrif. ЏgYr µ § isY vY µ § isY µ § nisbYti µ § (7)
formulu ilY tYyin olunur. Bu formuldan aydэndэr ki, YgYr µ § isY yYni µ § isY, onda µ §
demYli vahid rolunu µ § (8)
nizamlэ cьtь oynayэr. a = (a, 0) vY b = (b, 0) (9) nizamlэ cьtlYrinY baxaq. (9) єYkilli nizamlэ cьtlYr ьzYrindY hesab YmYllYri hYqiqi YdYdlYr ьzYrindY olduрu kimi aparэlэr. HYqiqi YdYdlYr (9) cьtlYri єYklindY verilir. 2. Kompleks YdYd anlayэєэ. Kompleks YdYdin cYbri formasэ. a vY b hYqiqi YdYdlYrindYn tYєkil olunmuє nizamlэ (a, b) cьtlьyь kompleks YdYd adlanэr. i = (0, 1) (10) nizamlэ cьtьnY baxaq. (4)-ь tYtbiq etsYk alarэq, µ §. µ § olduрu ьзьn µ § (11) (11)-i цdYyYn (10) nizamlэ cьtlьyь xYyali vahid adlanэr. XYyali vahidin kцmYyilY istYnilYn µ § kompleks YdYdi, yYni nizamlэ hYqiqi YdYdlYr cьtlYrini gцstYrmYk olar. µ §, onda µ § yYni µ § (12) µ §. DemYli, (12)-dY toplananlarэ yerini dYyiєmYk olar. µ § ЁC kompleks YdYdin cYbri formasэ adlanэr. a ЁC hYqiqi hissY, b ЁC xYyali hissY, µ §. TYrif. ЏgYr b = 0 olarsa µ § ЁC hYqiqi YdYd a = 0, µ §, bi ЁC tYmiz xYyali YdYd adlanэr. µ § kompleks YdYdlYri yalnэz a = c, b = d olduqda bYrabYr hesab edilir. µ §
µ § isY µ § ѓС-nэn qoєmasэ adlanэr vY -lY iєarY olunur. µ § µ §. i simvolunu 1777-ci ildY Eyler daxil etmiєdir. єKompleks YdYdlYr ьzYrindY YmYllYrin xassYlYri. µ § µ §
1) µ § 2) µ §, 3) µ §, 4) µ §, 5) µ §. є Kompleks YdYdlYrY, µ § tYnliyinY baxmaqla baєlayaq. Aydэndэr ki, bu tYnliyin hYqiqi kцkь yoxdur. Bu tYnliyin kцkь kompleks YdYddir. µ § (1) ifadYsi kompleks YdYd adlanэr. Burada x, y ЁC hYqiqi YdYdlYr, i ЁC xYyali vahid adlanэr vY µ § bYrabYrliyi ilY tYyin olunur. x, y hYqiqi YdYdlYri z kompleks YdYdinin uyрun olaraq hYqiqi vY xYyali hissYlYri adlanэr vY µ § (Re ЁC realis hYqiqi. Im ЁC imaginaris ЁC xYyal). µ § hYqiqi YdYdlYri gцstYrir, yYni hYr bir hYqiqi YdYdY xYyali hissYsi sэfэr olan kompleks YdYd kimi baxmaq olar. µ § єYklindY kompleks YdYdY sэrf xYyali YdYd deyilir. z YdYdinin qoєmasэ µ § kompleks YdYdinY deyilir. µ § olduрu ьзьn z vY µ § YdYdlYri qarєэlэqlэ qoєma kompleks YdYdlYr adlanэr. 1„a) µ § vY µ § kompleks YdYdi yalnэz vY yalnэz, µ § vY µ § olduqda bYrabYr hesab edilir. 2„a) µ § yalnэz vY yalnэz o vaxt olur ki, µ § olsun. 3. Kompleks YdYdlYr. Onlar ьzYrindY YmYllYr. єCYbri formada verilmiє kompleks YdYdlYr ьzYrindY YmYllYr.1. µ § vY µ § kompleks YdYdlYrinin cYmi 1)µ § ilY tYyin edilir. Kompleks YdYdlYrin toplanmasэ ьзьn yerdYyiєmY vY quruplaєma xassYlYri doрrudur. µ §, µ §.
2)µ §. 3) Vurulmasэ ikihYdlilYri vurulma qaydasэ ilY yerinY yetirin, bu zaman µ § vY s. nYzYrY almaq lazэmdэr ki, µ §. µ §.
µ §. YerdYyiєmY, quruplaєdэrma vY paylama qanunlarэ doрrudur. 4) BцlьnmYsi: z1 = a1+ib1, z2 = a2+ib2, µ §=µ § µ §. Onda µ §
4. Kompleks YdYdin triqonometrik formasэ. HYr bir µ § kompleks YdYdini Oxy mьstYvisindY koordinatlarэ a, b olan µ § nцqtYsi kimi gцstYrmYk olar. TYrsinY, mьstYvidY hYr bir µ § nцqtYsinY µ § kompleks YdYdi uyрundur. Kompleks YdYdlYr tYsvir edilmiє mьstYvi z dYyiєYni kompleks mьstYvi adlanэr. Kompleks mьstYvi ьzYrindY absis oxuna hYqiqi ox, ordinat oxuna isY xYyali ox deyilir. Ox oxu ьzYrindY yerlYєYn nцqtY (b = 0) hYqiqi YdYd oy oxu ьzYrindYki nцqtY isY sэrf xYyali YdYdi gцstYrir. A(a, b) nцqtYsini koordiqnat baєlanрэcэ ilY birlYєdirsYk µ § vektorunu alэrэq. HYndYsi olaraq µ § kompleks YdYdini µ § vektoru ilY gцstYrmYk olar. Koordinat baєlanрэcэnэ polyus, ox-in mьsbYt istiqamYtini polyar ox qYbul edYrYk, A(a, b) nцqtYsinin polyar koordinatlarэnэ ѓЪ vY µ § ilY iєarY edYk, onda aєaрэdakэ bYrabYrliklYri yaza bilYrik. µ §, nYticYdY µ § (2)
vY ya µ § (3)
alarэq. (3) kompleks YdYdin triqonometrik єYkli adlanэr. r ЁC kompleks YdYdinin modulu, ѓЪ ЁC arqumenti adlanэr vY belY iєarY edilir. µ § (4)
r vY ѓЪ, a vY b ilY µ §, belYliklY µ § vY µ § (5) (3)-dY µ § gцtьrьlьr. ѓЪ kYmiyyYti isY µ § (µ § tam YdYddir) hYddinY qYdYr dYqiqliklY tYyin olunur. µ § µ § kYmiyyYti зoxqiymYtlidir. Buna gцrY dY зox vaxt µ §-in baє qiymYtini ayэrmaq lazэm gYlir. µ §-in µ § (5)-nэn mьYyyYn qiymYtini onun baє qiymYti deyilir vY µ § ilY iєarY olunur. z YdYdi mьsbYt hYqiqi YdYd olduqda µ §, mYnfi hYqiqi YdYd olduqda isY µ § olar. Qeyd. µ § vY µ § qoєma kompleks YdYdlYri ьзьn µ §, arqumentlYri isY µ §. A hYqiqi YdYdi (3) єYklindY yazэla bilYr. µ §
µ § olar. Kompleks 0 YdYdin modulu 0-dэr. µ §, arqument isY µ § bucaрэ gцtьrьlY bilYr. µ §. єFYrz edYk ki, µ §, onda hasil ьзьn alэrэq: µ § olar.
єTriqonometrik єYkildY verilibsY, onda qismYt ьзьn alэrэq: µ §.
Qeyd. Kompleks YdYdlYrin ьzYrindY YmYllYr nYticYsindY kompleks YdYd alэnэr. єQьvvYtY yьksYltmY ьзьn alэrэq: µ § є Kцkalma ьзьn alэrэq: µ § 5. Muavr dьsturu. Eyler dьsturu. єQьvvYtY yьksYltmY dьsturunda r=1 olan halda, hYmin dьstura Muavr dьsturu deyilir. . Misal. µ § єEyler dьsturu. Kompleks YdYdlYr ьзьn Eyler dьsturu (1) mьnasibYtinY deyilir. Bu dьsturun doрruluрu gYlYcYkdY sэralar nYzYriyYsindY isbat edilYcYk. (1)-dYn istifadY edYrYk (2) mьnasibYtini (3) kimi yaza bilYrik vY ya (4) (3) ifadYsi z kompleks YdYdin ьstlь єYkli adlanэr. (5) olar.
(1) vY (5) „± vY (6)
(6) dьsturlarэ kompleks YdYdin triqonometrik vY ьstlь formalarэn arasэndakэ YlaqYni Yks etdirir. Mцvzь 17
ЗoxhYdlinin vuruрlara ayrэlmasэ. 1. ЗoxhYdli anlayэєэ vY kцklYr haqqэnda Ysas teoremlYr. 2. ЗoxhYdlinin tYkrarlanan kцklYr haqqэnda. 3. HYqiqi Ymsallэ зoxhYdlinin hYqiqi vuruqlara ayrэlmasэ. 1. ЗoxhYdli anlayэєэ vY kцklYr haqqэnda Ysas teoremlYr. (1) funksiyasэ n dYrYcYli зoxhYdli (polnom) adlanэr. n зoxhYdlinin dYrYcYsidir. ЁC hYqiqi vY ya kompleks YdYdlYrdir. x ЁC dYyiєYni hYm hYqiqi vY hYm dY kompleks qiymYtlYr ala bilYr. x dYyiєYninin зoxhYdlini 0-a зevirYn qiymYtinY зoxhYdlinin kцkь deyilir. Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|