Kafedra: Fizika vY riyaziyyat
Yüklə 1,68 Mb.
|
|
Diskret vY kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtlYrin Ysas YdYdi xarakteristikalarэ. 1. TYsadьfi kYmiyyYt. 2. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtlYri Ysas YdYdi xarakteristikalarэ. 3. KYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtlYrin ehtimallarэnэn paylanmasэ vY YdYdi xarakteristikalarэ. 1. TYsadьfi kYmiyyYt. TYcrьbYdY istifadY olunan kYmiyyYtlYrin зoxu mьxtYlif єYraitdY mьxtYlif qiymYtlYr alэr. Baєqa sцzlY, bu kYmiyyYtlYrin qiymYtlYri bir sэra sYbYblYrdYn asэlэ olaraq dYyiєir. ElmdY qiymYtlYri dYyiєYn kYmiyyYtlYr ьзьn tYsadьfi kYmiyyYt anlayэєэ tYtbiq olunur. TYsadьfi kYmiyyYt ehtimal nYzYriyyYsinin mьhьm anlayэєэdэr. TYsadьfi kYmiyyYtlYrdYn, onlarэn ehtimallarэnэn paylanma qanunlarэndan istifadY etmYklY elm vY texnikanэn mьxtYlif mYsYlYlYrini hYll etmYk mьmkьn olur. TYrif. ЏvvYlcYdYn nYzYrY alэnmasэ mьmkьn olmayan tYsadьfi sYbYblYrdYn asэlэ olan vY sэnaq zamanэ yalnэz bir mьmkьn qiymYt alan kYmiyyYtlYrY tYsadьfi kYmiyyYtlYr deyilir. MYsYlYn, zYri atdэqda 1, 2, 3, 4, 5 vY 6 rYqYmlYrindYn yalnэq biri dьєьr. Bu rYqYmlYrdYn hansэnэn dьєmYsini YvvYlcYdYn mьYyyYnlYєdirmYk mьmkьn deyildir. Odur ki, zYri atdэqda hansэ rYqYmin dYqiq dьєmYsi tYsadьfi kYmiyyYtdir. 1, 2, 3, 4, 5 vY 6 rYqYmlYri isY bu tYsadьfi kYmiyyYtin qiymYtlYridir. TYsadьfi kYmiyyYtlYr iki nцv olur: diskret(kYsilYn) vY kYsilmYz. MьYyyYn ehtimallэ izolY edilmiє, ayrэ-ayrэ qiymYtlYr ala bilYn tYsadьfi kYmiyyYtY diskret tYsadьfi kYmiyyYt deyilir. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtin mьmkьn qiymYtlYrinin sayэ sonlu vY ya sonsuz ola bilYr. Diskret(kYsilYn) tYsadьfi kYmiyyYtlYr X, Y, Z onlarэn mьmkьn qiymYtlYri isY x, y, z hYrflYri ilY iєarY edilir. HYr hansэ sonlu, ya sonsuz aralэqdan bьtьn qiymYtlYri ala bilYn tYsadьfi kYmiyyYtY kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYt deyilir. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtin mьmkьn qiymYtlYri ilY onlarэn ehtimallarэ arasэndakэ uyрunluрa diskret tYsadьfi kYmiyyYtin paylanma qanunu deyilir. Paylanma qanunu cYdvYl, analitik (dьstur єYklindY) vY qrafiki єYkillYrdY vermYk olar. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtin paylanma qanunu cYdvYl єYklindY verildikdY birinci sYtirdY onun mьmkьn qiymYtlYri, ikinci sYtirdY isY mьmkьn qiymYtlYrin uyрun ehtimallarэnэ gцstYrmYk lazэmdэr. CYdvYl єYkilindY paylanma qanunu aєaрэdakэ kimi verilir. X x1 x2 x3 . . . xn P p1 p2 p3. . . pn 2. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtlYri Ysas YdYdi xarakteristikalarэ. ЦyrYnilYn diskret tYsadьfi kYmiyyYti tam xarakterizY etmYk ьзьn onun YdYdi xarakteristikalarэnэ, yYni riyazi gцzlYmYsini, dispersiyasэnэ vY orta kvadratik meylini vY s. bilmYk lazэm gYlir. єRiyazi gцzlYmY. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtin Yn mьhьm xarakteristikalarэndan biri onun gцzlYmYsidir. Riyazi gцzlYmY tYsadьfi kYmiyyYtin mьmkьn qiymYtlYrinin YdYdi ortasэndan fYrqlidir. O, kYmiyyYtin mьmkьn qiymYtlYri iзYrisindY Yn зox ehtimal olunan qiymYtinY yaxэn alэnэr vY ona gцrY dY o kYmiyyYti YdYdi ortadan daha dYqiqi xarakterizY edir. TYrif 1. X diskret tYsadьfi kYmiyyYtin x1, x2, ..., xn mьmkьn qiymYtlYrinin olnarэn uyрun p1, p2, ..., pn ehtimallarэna hasillYrinin cYminY tYsadьfi kYmiyyYtin riyazi gцzlYmYsi deyilir vY M(X) ilY iєarY olunur. M(X) = µ §. Riyazi gцzlYmYnin aєaрэdakэ Ysas xassYlYri vardэr. 1. Sabit kYmiyyYtin riyazi gцzlYmYsi sabitin цzьnY bYrabYrdir M(C) = C. 2. Sabit vuruрu riyazi gцzlYmY iєarYsi qarєэsэna зэxarmaq olar M(CX) = C M(X) 3. Эki asэlэ olmayan kYmiyyYtin hasilinin riyazi gцzlYmYsi onlarэn riyazi gцzlYmYlYrinin cYminY bYrabYrdir M(XY) = M(X) · M(Y). 4. Эki tYsadьfi kYmiyyYtin cYminin riyazi gцzlYmYsi bu kYmiyyYtlYrin riyazi gцzlYmYlYrinin cYminY bYrabYrdir M(X + Y) = M(X) + M(Y). єDispersiya. TYcrьbYdY зox vaxt tYsadьfi kYmiyyYtin mьmkьn qiymYtlYrinin riyazi gцzlYmY Ytrafэnda sYpYlYnmYsini bilmYk lazэm gYlir. Tutaq ki, X - tYsadьfi kYmiyyYt, M(X) isY onun riyazi gцzlYmYsidir. tYsadьfi kYmiyyYtlY onun riyazi gцzlYmYsinin fYrqi X ЁC M(X) meyl adlanэr. Teorem 1. ЭstYnilYn tYsadьfi kYmiyyYt ьзьn meylin riyazi gцzlYmYsi sэfra bYrabYrdir, yYni Mµ §. Эsbatэ. Doрrudan da, M(X) ЁC in sabit kYmiyyYt olduрunu nYzYrY alsaq: Mµ § TYrif 2. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtin meylin kvadratэnэn riyazi gцzlYmYsinY bu kYmiyyYtin dispersiyasэ(sYpYlYnmYsi) deyilir vY D(X) ilY iєarY edilir: D(X) = µ §2. Aydэndэr ki, tYsadьfi kYmiyyYtin dispersiyasэ sabitdir, yYni o hYmin kYmiyyYtin YdYdi xarakteristikasэdэr. ЏgYr X tYsadьfi kYmiyyYtin paylanma qanunu mYlumdursa, onda dispersiya aєaрэdakэ kimi hesablanэr D(X) = µ §2µ § = =µ §2 µ §2µ §2 µ §. Dispersiyanэ aєaрэdakэ teoremdYn istifadY etmYklY hesablamaq daha Ylveriєlidir. Teorem 2. Dispersiya tYsadьfi kYmiyyYtin kvadratэnэn riyazi gцzlYmYsi ilY onun riyazi gцzlYmYsinin kvadratэ fYrqinY bYrabYrdir. Dispersiyanэn aєaрэdakэ Ysas xassYlYri vardэr. 1. Sabit kYmiyyYtin dispersiyasэ sэfra bYrabYrdir D(C) = 0. 2. Sabit vuruрu kvadrata yьksYldYrYk dispersiya iєarYsini qarєэsэna зixarmaq olar D(CX) = C2D(X). 3. Эki asэlэ olmayan tYsadьfi kYmiyyYtin cYminin dispersiyasэ bu kYmiyyYtlYrin dispersiyalarэ cYminY bYrabYrdir D(X + Y) = D(X) + D(Y). 4. Эki asэlэ olmayan tYsadьfi kYmiyyYtin fYrqinin dispersiyasэ bu kYmiyyYtlYrin cYminY bYrabYrdir D(X ЁC Y) = D(X) + D(Y). єOrta kvadratik meyl. TYsadьfi kYmiyyYtin mьmkьn qiymYtlYrinin onun Ytrafэnda sYpYlYnmYsinin цyrYnmYk ьзьn dispersiyasэ ilY yanaєэ bir sцra baєqa xarakteristikalarэ da цyrYnmYk lazэm gYlir. Bu xarakteristikalarэn Yn vaciblYrindYn biri orta kvadratik meyldir. TYrif 3. TYsadьfi kYmiyyYtin dispersiyanэn kvadrat kцkьnY onun orta kvadratik meyli deyilir vY µ § ilY iєarY edilir: µ §
Teorem 3. Qarєэlэqlэ asэlэ olmayan tYsadьfi kYmiyyYtlYrin cYminin orta kvadratik meyllYrinin kvadratlarэ cYminin kvadrat kцkьnY bYrabYrdir: µ §
Misal. Эki asэlэ olmayan X vY Y diskret tYsadьfi kYmiyyYtlYri цz paylanma qanunlarэ ilY verilmiєdir. Z = 3X ЁC 2Y tYsadьfi kYmiyyYti ьзьn riyazi gцzlYmYni vY dispersiyanэ hesablayэn. X -6 8 9 10 P 0,1 0,1 0,6 0,2 Y-82P0,40,6 X vY Y diskret tYsadьfi kYmiyyYtlYri ьзьn riyazi gцzlYmYni vY dispersiyanэ hesablayaq: µ § µ §
X2 vY Y2 diskret tYsadьfi kYmiyyYtlYri ьзьn paylanma qanunu yazaq: X2366481100P0,10,10,60,2 Y2644P0,40,6 X2 vY Y2 tYsadьfi kYmiyyYtlYri ьзьn riyazi gцzlYmYni hesablayaq: M(X2) = µ § M(Y2) = µ § Buradan D(X) = M(X2) ЁC M2(X) = 78,6 ЁC (7,6)2 = 20,84; D(Y) = M(Y2) - M2(Y) = 28 ЁC (-2)2 = 24. NYhayYt, riyazi gцzlYmYnin vY dispersiyanэn xassYlYrini vY hYmзinin X vY Y tYsadьfi kYmiyyYtlYrin asэlэ olmadэqlarэ єYrtindYn istifadY edYrYk, alэrэq M(Z) = M(3X ЁC 2Y) = 3M(X) ЁC 2M(Y) = 3 · 7,6 ЁC 2 · (-2) = 26,8; D(Z) = D(3X ЁC 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 · 20,84 + 4 · 24 = 283,56. 3. KYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtlYrin ehtimallarэnэn paylanmasэ vY YdYdi xarakteristikalarэ. Diskret tYsadьfi kYmiyyYtin cYdvYl єYklindY verilmiє paylanma qanununda onun bьtьn mьmkьn qiymYtlYri vY bu qiymYtlYrin ehtimallarэ verilir. KYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtlYrin paylanma qanunu isY bu єYkildY vermYk olmaz, зьnki kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtin baxэlan aralэqdakэ qiymYtlYrinin sayэ sonlu deyildir. Odur ki, bьtьn tYsadьfi kYmiyyYtlYrinin paylanma qanununu vermYk ьзьn inteqral paylanma funksiyasэ daxil edilmiєdir. TYrif 1. HYt bir x YdYdi ьзьn X tYsadьfi kYmiyyYtinin x-dYn kiзik qiymYt almasэ ehtimalэnэ tYyin edYn F(x) funksiyasэna inteqral paylanma funksiyasэ deyilir, yYni F(x) = P(Xx). Зox vaxt “inteqral paylanma funksiyasэ” termini YvYzinY “paylanma funksiyasэ” termini eєlYdilir. Paylanma funksiyasэnэn qiymYtlYri µ § parзasэnda yerlYєir: µ §
2. Paylanma funksiyasэ azalmayandэr, yYni x2x1 olarsa, F(x2) F(x1). NYticY 1. X tYsadьfi kYmiyyYtinin (a,b) intervalэnda qiymYt almasэ ehtimalэ hYmin intervalda paylanma funksiyasэnэn artэmэna bYrabYrdir: P(aXb) = F(b) ЁC F(a). NYticY 2. X kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtinin mьYyyYn bir qiymYt, mYsYlYn x1, qiymYtini almasэ ehtimalэ sэfra bYrabYrdir: P(X = x1) = 0. 3. ЏgYr X tYsadьfi kYmiyyYtinin bьtьn mьmkьn qiymYtlYri (a,b) intervalэna daxildirsY, onda xa olduqda F(x) = 0 ; x0 olduqda F(x) = 1. NYticY 3. A.aрэdakэ limit mьnasibYtlYri doрrudur: µ §, µ §
4. Paylanma funksiyasэ soldan kYsilmYzdir: µ §
Yuxarэda biz kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYti inteqral paylanma funksiyasэnэn kцmYyi ilY verdik. Qeyd edYk ki, bu yeganY verilmY ьsulu deyil. KesilmYz tYsadьfi kYmiyyYt hYmзinin ehtimallarэn diferensial paylanma funksiyasэnэn kцmYyi ilY dY verilY bilYr. TYrif 2. KYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtin inteqral paylanma funksiyasэnэn birinci tYrtib tцrYmYsinY ehtimallarэn diferensial paylanma funksiyasэ deyilir: f (x) = FЊ(x). Зox vaxt “diferensial funksiya” termini YvYzinY “paylanma sэxlэрэ” termini iєlYdilir. X kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtinin (a,b) intervalэnda qiymYt almasэ ehtimalэ aєaрэdakэ bYrabYrliklY tYyin olunur: P(aXb) = µ §. Diferensial funksiya mYlum olduqda, inteqral funksiyanэ aєaрэdakэ dьstur vasitYsilY tapmaq olar F(x) = µ §. Diferensial funksiya aєaрэdakэ xassYlYrY malikdir: 1. Diferensial funksiyasэ mYnfi deyil, yYni f(x)0; 2. Diferensial funksiyanэn qeyri-mYxsusi inteqralэ vahidY bYrabYrdir µ §
TYrif 3. Bьtьn YdYd oxunda qiymYt ala bilYn X kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtinin riyazi gцzlYmYsi aєaрэdakэ bYrabYrliklY tYyin olunur: M(x) = µ §, burada f (x) funksiyasэ X tYsadьfi kYmiyyYtin diferensial funksiyasэdэr. Xьsusi halda, YgYr tYsadьfi kYmiyyYtin bьtьn mьmkьn qiymYtlYri (a,b) intervalэna daxildirsY, onda M(x) = µ § Diskret tYsadьfi kYmiyyYt ьзьn riyazi gцzlYmYnin yuxarэda gцstYrilYn bьtьn xassYlYri kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYt ьзьn dY doрrudur. TYrif 4. Bьtьn YdYd oxunda qiymYt ala bilYn X kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtinin dispersiyasэ D(X) = µ §2 f(x)dx, vY ya eynigьclь D(X) = µ §2 f(x)dx - µ §2 bYrabYrliyi ilY tYyin olunur. Xьsusi halda, YgYr X tYsadьfi kYmiyyYtinin bьtьn mьmkьn qiymYtlYri (a,b) intervalэna daxildirsY, onda D(X) = µ §2 f(x)dx, vY ya
D(X) = µ §2 f(x)dx - µ §2. Diskret tYsadьfi kYmiyyYt ьзьn dispersiyanэn yuxarэda gцstYrilYn bьtьn xassYlYri kYsilmYz kYmiyyYtlYr ьзьn dY doрrudur. KYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYtin orta kvadratik meyli diskret halda olduрu kimi tYyin edilir: µ §
Misal. X kYsilmYz tYsadьfi kYmiyyYti paylanma funksiyasэ ilY verilmiєdir: 0, µ §
F(x) = µ §2 , µ § 1, µ §
X tYsadьfi kYmiyyYtinin: a) µ § intervalэnda qiymYt almasэnэ; b) ehtimallarэn paylanma sэxlэрэnэ; c) riyazi gцzlYmYsini tapэn. a) X tYsadьfi kYmiyyYtinin µ § intervalэnda qiymYt almasэ ehtimalэ hYmin intervalda paylanma funksiyasэnэn artэmэna bYrabYrdir: µ §2 µ §2 = µ § . b) X tYsadьfi kYmiyyYt ьзьn ehtimallarэn paylanma sэxlэрэnэ f (x) = FЊ (x) dьsturu vasitYsilY hesablayaq. Alэrэq ki, 0, µ § f (x) = µ §2 , µ § 0, µ § c) X tYsadьfi kYmiyyYtin riyazi gцzlYmYsini aєaрэdakэ dьstura YsasYn tapэrэq M(x) = µ § Alэrэq ki, M(X) = µ § µ §. Mцvzu 43
Riyazi statistika haqqэnda anlayэє. Yэрэm anlayэєэ. Emprik paylama funksiyasэ. 1. Riyazi statistika mYsYlYlYri haqqэnda. 2. Baє yэрэm vY seзmY anlayэєэ. 3. Emprik paylama funksiyasэ; poliqan vY histoqram. 1. Riyazi statistika mYsYlYlYri haqqэnda. Ehtimal nYzYriyyYsindY цyrYnilYn qanunlar riyazi abstraksiya olmayэb, bir зox kьtlYvi hadisY vY proseslYrY xas olan qanuna uyрunluqlardэr. HYr bir belY qanunauyрunluрu mьYyyYn etmYk ьзьn kifayyYt gYdYr tYcrьbY vY mьєahidYlYr aparэlэr. Bu tYcrьbY vY mьєahidYlYrin nYticYlYri vY hYm dY baєqa yolla alэnmэє statistik mYlumatlar Ytraflэ цyrYnilir, analiz edilir vY belYliklY dY baxэlan Yr ьзьn sYciyyYvi olan qanunauyрunluqlar kYєf edilir. KьtlYvi tYsadьfi hadisYlYr ьzYrindY aparэlan mьєahidYlYrin nYticYsini qeyd etmYk, onlarэ qruplaєdэrmaq vY analiz etmYk ьsullarэ riyazi statistika elmindY mьYyyYn edilir. Riyazi statistikada mьxtYlif mYsYlYlYr цyrYnilir. Bunlardan statistik mYlumatlarэn toplanma vY qruplaэrэlmasэnэ, namYlum paylanma funksiyasэnэn vY paylanma parametrlYrinin qiymYtlYndirilmYsini (onlarэn mьnasib tYqribi qiymYtlYrinin tapэlmasэnэ), bir tYsadьfi kYmiyyYtin baєqa tYsadьfi kYmiyyYtlYrdYn asэlэlэрэnэn qiymYtlYndirilmYsini, namYlum paylanmanэn nцvь vY nцvь mYlum olan paylanmanэn parametrlYrinin qiymYtlYri haqqэnda fYrziyyYlYrin statistik yoxlanmasэnэ vY baєqalarэn gцstYrmYk olar. 2. Baє yэрэm vY seзmY anlayэєэ. Tutaq ki, sonlu vY ya sonsuz eyni nцv obyektlYr зoxluрuna baxэlэr vY bu зoxluрu tYєkil edYn elementlYrin mьYyyYn YlamYti (vY ya xassYni) цdYmYsi tYdqiq edilir. Baxэlan YlamYt tYsadьfi kYmiyyYtdir vY onun qiymYti bir elementdYn baєqasэna keзdikdY dYyiєir. MYsYlYn, bir zavodda hazэrlanmэє detallarэn tYlYb olunan standarta uyрun olmasэ YlamYti, detallarэ mьYyyYn цlзьlYrinin dYqiqliyi YlamYti vY s.tYdqiq edilY bilYr. Зoxluрu tYєkil edYn elementlYrin sayэ az olduqda onun bьtьn elementlYrinin hYmin YlamYti цdYyib-цdYmYmYsini yoxlamaq olar lakin elementlYrin sayэ зox bцyьk olduqda bu mьmkьn deyildir. Зoxluрun baxэlan elementlYrinin tYlYb olunan YlamYti цdYmYsini yoxlamaq bYzYn bцyьk зYtinliklYrlY baрlэ olur vY ya bu iє bцyьk xYrc tYlYb edir. Buna gцrY dY, зox zaman baxэlan зoxluрun bьtьn elementlYri deyil, ondan tYsadьfi olaraq seзilYn mYhdud sayda elementlYr tYtqiq edilir vY alэnan nYticYyY YsasYn ьmumi зoxluq elementlYrinin tYlYb edilYn YlamYti цdYmYsi haqqэnda mьYyyYn fikir irYli yьrьdьlьr. Bu halda, mьєahidY vY ya tYtqiq olunan зoxluq baє yэрэm vY ondan tYsadьfi halda seзilYn kiзik hYcmli зoxluq isY tYsadьfi seзmY yэрэm vY ya qэsaca seзmY adlanэr. Yэрэmэ tYєkil edYn elementlYrinin sayэna onun hYcmi deyilir. MYsYlYn, 10.000 elementi olan зoxluqdan tYsadьfi 100 element seзilmiєdirsY, onda: N = 10.000 ЁC baє yэрэmin hYcmi; n = 100 ЁC tYsadьfi seзmY yэрэmэn hYcmi olacaq. Burada baxэlan baє yэрэm vY tYsadьfi seзmY yэрэm anlayэєlarэ yeni olsa da, onlar mahiyyYtcY paylanma qanunu tYtqiq edilYn mьYyyYn tYsadьfi kYmiyyYtin aldэрэ qiymYtlYr зoxluрudur. Tutaq ki: F (x) ЁC paylanma funksiyasэ, X ЁC tYsadьfi kYmiyyYti sinaqlar nYticYsindY x qiymYtlYrini alэr. X ЁC tYsadьfi kYmiyyYti sinaq nYticYsindY alan x1, x2, ..., xn зoxluрu baє yэрэmdan tYsadьfi seзilYn yэрэm adlandэra bilYrik vY n YdYdi hYmin yэрэmэn hYcmini gцstYrYn bir parametrdэr. Riyazi statistikanэn Ysas mYsYlYsi baє yэрэmdan tYsadьfi ayrэlan (x1, x2, ..., xn ) seзmY yэрэmэn xassYlYrinY YsasYn baє yэрэmэn uyрun xassYlYri haqqэnda dьzgьn elmi nYticYlYr almaqdэr. Qeyd edY ki, seзmY yэрэm mьxtYlif ьsullarla dьzYldilY bilYr. єTutaq ki, baє yэрэmэn elementlYrindYn birini tYsadьfi seзilir tYtqiq edilir vY yenidYn X baє yэрэma qaytarэlэr. Bu prosesi n dYfY tYkrar etdikdY, hYcmi n olan tYkrarlэ seзmY yэрэm alэnэr. є Baє yэрэmэn tYsadьfi seзilYn elementlYri yenidYn X baє yэрэma qaytarэlmэrsa, onda nYticYdY tYkrarsэz seзmY yэрэm alэnэr. Praktikada YsasYn tYkrarsэz seзmYdYn istifadY olunur. Зьnki tYkrarsэz seзmYdY daha зox fYrgli element mьєahidY olunur vY alэnan nYticYlYrbaє yэрэmэn uyрun xassYlYrinin daha dьzgьn Yks etdirir. ЬmьmiyyYtlY, seзmY yэрэm elY olmalэdэr ki, o baє yэрэmэn uyрun xassYlYrini mьmkьn gYdYr dьzgьn Yks etdirsin. Buna seзmY yэрэmэn nьmayYndYli (reprezentativ) olmasэ xassYsi deyilir. 3. Emprik paylama funksiyasэ; poliqan vY histoqram. єTutaq ki, paylanma funksiyasэ F(x) olan baє yэрэmdan x1, x2, ..., xn tYsadьfi seзmY yэрэm ayrэlmэєdэr. SeзilYn bu xk qiymYtlYrinY variantlar, hYmin qiymYtlYrin artan ardэcэllэq єYklindY µ § (1)
yazэlэєэna isY variasiya sэrasэ deyilir: µ §
SeзmYnin Ysas xarakteristikalarэndan biri onun paylanmasэdэr. Tutaq ki, seзmYni tYєkil edYn µ § qiymYtlYrini eyni µ § ehtimalэ ilY ala bilYn kцmYkзi diskret tYsadьfi kYmiyyYt X* Y iєarY edilmiєdir: µ §
Diskret tYsadьfi X* kYmiyyYtinin paylanmasэna µ § YdYdlYrinin x-dYn kiзik olanlarэnэn sayэna µ § ilY iєarY etsYk, onda µ § (2)
olar. Bu ifadYyY seзmYnin paylanma funksiyasэ vY ya emprik paylanma funksiyasэ deyilir vY µ § ilY iєarY edilir: µ § . (3) HadisYnin baєvermY tezliyi onun ehtimalэnэn tYqribi qiymYti olduрu kimi tYsadьfi kYmiyyYt olan µ § funksiyasэ da baє yэрэmэn F(x) paylanma funksiyasэnэn (buna bYzYn baє yэрэmэn nYzYri paylanma funksiyasэ da deyilir) tYqribi qiymYti hesab oluna bilYr. (3) empirik paylanma funksiyasэnэn baє yэрэmэn F(x) paylanma funksiyasэnэn xassYlYrinY oxєar xassYlYri vardэr: azalmayandэr, qiymYtlYri µ § parзasэnda yerlYєir vY µ § bYrabYrliklYrini цdYyir. Bununla belY µ § funksiyasэ µ § hadisYsinin ehtimalэnэ yox , onun tYsadьfi seзmYdY baєvermY tezliyini gцstYrir. Bernulli teoreminY gцrY µ § єYrtindY seзmYnin µ § empirik paylanma funksiyasэ ehtimala gцrY baє yэрэmэn F(x) paylanma funksiyasэna yэрэlэr, yYni istYnilYn µ § vY µ § YdYdlYri ьзьn µ § (4) mьnasibYti цdYnilir. Bu gцstYrir ki, seзmYnin µ § empirik paylanma funksiyasэnэ baє yэрэmэn F(x) paylanma funksiyasэnэn tYqribi qiymYti kimi gцtьrmYk olar. єSeзmYni vY onun paylanmasэnэ Yyani tYsYvvьr etmYk ьзьn qrafiklYrdYn istifadY olunur. ЏvvYlcY seзmYnin empirik paylanma funksiyasэnэn qrafikini quraq. µ § funksiyasэ seзmYnin iki qonєu elementi arasэnda µ § ЁC nэn mislinY bYrabYr olan, yYni µ § єYklindY sabit qiymYt alэr. SeзmYnin µ § nцqtYlYri hYmin funksiyanэn sonlu sэзrayэєlэ kYsilmY nцqtYlYridir vY bu nцqtYlYrdY onun sэзrayэєa µ § (vY ya m dYnY µ § nцqtYsi ьst-ьstY dьєdьkdY µ §) YdYdinY bYrabYrdir. µ § µ § funksiyasэnэn qrafiki 1-ci єYkildY gцstY- rildiyi kimi pillYvari xYtdir. x1 x2 0 x3 x4 x ЄYkil ЁC 1 SeзmYnin baєqa bir hYndYsi gцstYriliєi dY onun qistoqramэdэr. SeзmYnin qistoqramэnэ qurmaq ьзьn YdYd oxu ьzYrindY sonlu sayda µ § (k = 0, 1, 2, ..., n) parзalarэ gцtьrьlьr. SeзmYnin bu parзalarda yerlYєYn µ § nцqtYlYrinin sayэ uyрun olaraq (k = 0, 1, 2, ..., n) olsun. y хk
ЄYkil ЁC 2 Эndi hYr bir µ § parзasэ ьzYrindY, oturacaрэ hYmin parзa hьndьrlьyь хk olan dьzbucaрlэ quraq. Alэnan pillYvarэ fiqur (єYkil ЁC 2) µ § seзmYsinin qistoqramэ adlanэr. SeзmYnin qistoqramэ vY onun empirik paylanma funksiyasэnэn qrafiki baє yэрэmэn namYlum F(x) paylanma funksiyasэnэn зYkli haqqэnda mьYyyYn fikir sцylYmYyY imkan verir. Mцvzu 44
Korrelyasiya nYzYriyyYsinin Ysaslarэ. 1. Poliqon vY qistoqramma aid misal tYhlili. 2. XYtti korrelyasiya. 3. ЏyrixYtli korrelyasiya. 1. Poliqon vY qistoqramma aid misal tYhlili. єX YlamYtinin diskret paylanmasэ. (x1, n1), (x2, n2), ЎK, (xk, nk) nцqtYlYrini birlYєdirYn sэnaq xYtti tezliyin poliqonu deyilir, burada xi seзmYnin variantlarэ vY ni onlara uyрun tezliklYrdir. (x1, щ1), (x2, щ2), ЎK, (xk, щk) nцqtYlYrini birlYєdirYn sэnaq xYtti nisbi tezliyin poliqonu deyilir, burada xi seзmYnin variantlarэ vY ni onlara uyрun nisbi tezliklYrdir. є X YlamYtinin kYsilmYz paylanmasэ. ЏlamYtin paylanmasэ kYsilmYz olduqda, YlamYtin qiymYtlYri mьєahidY olunan bьtpv interval uzunluрu h olan xьsusi intervallara bцlьnьr, vY i-ci intervala dьєYn variantlarэn tezliklYri cYmi ni tapэlэr. Oturacaрэn uzunluрu h, vY hьndьrlьyь µ § olan (tezliyin sэxlэрэ) pillYvari dьzbucaqlэlardan dьzYldilmiє fiqura tezliyin qistoqramэ deyilir. i-ci dьzbucaрэn sahYsi µ § i-ci intervala dьєYn variantlarэn tezliklYrin cYminY bYrabYrdir. TezliklYrin qistoqramasэnэn sahYsi bьtьb tezliklYrin cYminY, yYni seзmYnin n hYcminY bYrabYrdir. Oturacaрэ xьsusi intervallarэn h uzunluрuna, hьndьrlьyь isY µ § olan pillYvari dьzbucaqlara nisbi tezliklYrin qistoqramэ deyilir. i-ci dьzbucaрэn sahYsi µ § i-ci intervala dьєYn nisbi tezliklYrin cYminY bYrabYrdir. Nisbi tezliklYrin qistoqramэnэn sahYsi bьtьn nisbi tezliklYrin sahYlYri cYminY, yYni vahidY bYrabYrdir. Misal 1. Verilmiє seзmYnin paylanmasэna gцrY tezliklYrin poliqonunu qurun: µ §
µ § variantlarэnэ absis oxu ьzYrindY, uyрun µ § tezliklYrini isY ordinat oxu ьzYrindY ayэraq; (µ § nцqtYlYrini dьz xYtlYrlY birlYєdirdikdY, axtarэlan tezliklYrin poliqonunu alэrэq (єYkil ЁC 1). µ §
20 14 (ЄYkil ЁC 1) 10 6
Misal 2. Aєaрэda verilmiє seзmYnin apylanmasэna gцrY nisbi tezliklYrin poliqonunu qurun: a)µ § b) µ § c) µ §
Absis oxu ьzYrindY µ § variantlarэnэ, uyрun µ § nisbi tezliklYrini isY ordinat oxu ьzYrindY ayэraq; (µ § nцqtYlYrini dьz xYtlYrlY birlYєdirdikdY, axtarэlan nisbi tezliklYrin poliqonunu alэrэq (єYkil ЁC ). µ §
0.45 (ЄYkil ЁC 2) 0 2 4 5 7 10 µ § 2. XYtti korrelyasiya. Y-эn X-Y vY X-эn Y-Y nYzYrYn hYr iki reqressiya xYtti dьz xYtlYrdirsY, onda korrelyasiyanэ xYtti adlandэrэrlar. Y-эn X-Y nYzYrYn seзmY reqressiya dьz xYttinin tYnliyi aєaрэdakэ kimidir: µ §
burada µ § єYrti orta; µ § vY µ § YdYdlYri X vY Y YlamYtlYrinin seзmY ortalarэ; µ § vY µ §- seзmY orta kvadratik meyllYr; µ § ЁC korrelyasiyanэn seзmY Ymsalэdэr, belY ki, µ § . (*) X-эn Y-Y nYzYrYn seзmY reqressiya dьz xYttin tYnliyi aєaрэdakэ kimidir: µ § (**)
ЏgYr X vY Y YlamYtlYri ьzYrindэ mьєahidYlYr bYrabYraddэmlэ variantlarla korrelyasiya cYdvYli єYklindY verilmiєsY, onda aєaрэdakэ єYrti variantlara keзmYk mYqsYdYuyрundur: µ §
burada µ § YdYdi X1 variantlarэnэn “yalan sэfrэdэr” (hesablamanэn yeni baєlanрэcэ); yalan sэfэr olaraq tYqribYn variasiya sэrasэnэn ortasэnda yerlYєYn variantэ qYbul etmYk Ylveriєlidir (єYrtlYєYk ki, Yn bцyьk tezliyY malik olan variant yalan sэfэr olaraq qYbul edilir); µ § addэm, yYni ki qonєu X variantlarэ arasэndakэ fYrgdir; µ § YdYdi Y variantlarэnэn addэmэdэr. Bu halda korrelyasiyanэn seзmY Ymsalэ µ § olar, belY ki, µ § toplananэnэ 3-cь cYdvYldYn hesablamaq Ylveriєlidir. µ § , µ § , µ § kYmiyyYtlYri ya hasil ьsulu ilY (verilYnlYrin sayэ зox olduqda) vY ya µ §
dьsturlarэndan bilavasitY tapэla bilYr. Bu kYmiyyYtlYri bilYrYk (*) vY (**) reqressiya tYnliklYrinY daxil olan kYmiyyYtlYri µ § dьsturlarэndan YsasYn tapmaq olar. XYtti korelyasiya rabitYsinin gьcьnь qiymYtlYndirmYk ьзьn korrelyasiyanэn µ § seзmY Ymsalэndan istifadY edilir. Miqdari YlamYtlYr arasэnda YlaqYnin olmasэ haqda Ysaslэ demYk ьзьn korrelyasiya Ymsalэnэn qiymYtiniyoxlamaq lazэmdэr. Misal 1. Verilmiє 1-ci korrelyasiya cYdvYlinY YsasYn Y-эn X-Y nYzYrYn seзmY reqressiya dьz xYttinin tYnliyini tapэn. CYdvYl - 1 YX ny202530351646---1026-810--1836--32394446--41262256---156nx14461620n-100 Yalan sэfэrlarэ µ § vY µ § (bu variantlardan hYr biri uyцun variyasiya sэrasэnэn ortasэnda yerlYєir) qYbul etmYklY єYrti variantlarda 2-ci korrelyasiya cYdvYlini tYrtib edib: CYdvYl - 2 vu nv-2-1012-246---10-1-810--180--3239441--4126222---156nu415451620n = 100 µ § vY µ § tapaq: µ §
µ § KцmYkзi µ § vY µ § kYmiyyYtlYrini tapaq: µ § µ § µ § µ §
µ § vY µ §- nэ tapaq: µ §
µ § µ § ЁC nэ tapmaq ьзьn 3-cь hesablama cYdvYlini tYrtib edYk. 3-cь cYdvYlin axэrэncэ sьtunundakэ YdYdlYri cYmlYsYk alэrэq: CYdvYl ЁC 3 v u --1012µ §v · U-2 -8 4 -8
Ytjkjhhkjg 4 -8 4 -6 Ytjkjhhkjg 6 -12
-1428-1- 4 -8
Ytjkjhhkjg 8 -8 4 0 Yüklə 1,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|