Microsoft Word Sessão de Pôsteres doc

 
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Geralmente os alunos de cursos de licenciatura (futuros professores) aceitam as demonstrações 
contidas em alguns livros-textos, tendo como complemento, a exposição dos professores. Aceita-se assim, 
o autoritarismo herdado da prática científica da Matemática, do qual o aluno torna-se cúmplice e reprodutor, 
admitindo, então, uma verdade matemática absoluta. 
 
Hanna (1996), declara que “
a demonstração é um elemento chave para uma imagem autoritária da 
Matemática
”. Esta declaração coincide com as argumentações de Lakatos (1976) no seu 
Proof and 
Refutation: the logic of mathematical discovery
 quando desafia o programa euclidiano. 
 
Essas abordagens às demonstrações, quase ritualísticas, estão presentes, hegemonicamente no 
dia-a-dia das salas de aula e, por isso, são exigidas nas avaliações às quais são submetidos os alunos. 
Impera a reprodução de algo que seja aceito somente se satisfazer o “modelo” conhecido. A repetição 
desse esquema caracteriza os cursos universitários. 
Não existem, entretanto, estudos nacionais sobre quais são os significados dos alunos em 
demonstrações matemáticas por eles atribuídos. Esta ausência de trabalhos de pesquisa sobre as provas 
rigorosas ou demonstrações no panorama nacional é flagrante embora, algumas sinalizações foram 
apontadas no I Seminário sobre 
Demonstração
, realizado na Unesp de Rio Claro, em 2002, sob o título 
“
Como a demonstração é considerada em diversas áreas do conhecimento
”. Nesse contexto, investigamos 
os possíveis significados dos nossos alunos. 
 
Nesta busca dos significados, atribuídos aos alunos da licenciatura sobre demonstração, utilizamos 
alguns testes, de geometria, produzidos pela pesquisadora Hoyles
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 e um questionamento sobre a própria 
demonstração. No entanto, acreditamos que um levantamento histórico, sobre demonstrações se faz 
necessário.  
 
2. Pesquisa e debates 
Desde Tales de Mileto (600 a.C.), quando demonstra que o diâmetro de um círculo o divide em 
duas partes iguais, não se sabia que o exemplo quase óbvio para alguns, construiria uma ciência com 
tamanho rigor e complexidade. Mas, foi mesmo com Euclides (300 a.C.) que a demonstração contida no 
célebre 
The elements
, e toda sua abstração, formalização, axiomatização e dedução tomou forma. 
Galileu Galilei (1564-1642), faz renascer o espírito dos filósofos gregos dando início à ciência 
moderna com o método da experimentação e a linguagem da matemática. Mas foi somente no final do 
século XIX, que alguns matemáticos, como Peano (1858-1932) e Frege (1848-1925), tiveram a intenção de 
tornar as demonstrações em matemática mais rigorosas, introduzindo a linguagem formal. 
Algumas obras a partir do início do século XX, como a produzida por Russell (1872-1970) e 
Whitehead (1861-1947),
 Principia Mathematica
, e 
Der de Grundlagen Geometrie
 (Fundamentos da 
Geometria) em 1899, de David Hilbert (1862-1943), matemático alemão, tornaram-se obras 
incompreensíveis para muitos. 
Andrew Wiles, em 1995, concluiu a demonstração do Teorema de Fermat que desde o século XVII, 
matemáticos do mundo todo se debruçavam a resolvê-lo.  Essa demonstração utiliza uma quantidade muito 
grande de teoremas e sua linguagem pode ser compreendida por pouquíssimos matemáticos. 
Histórica ou não, na comunidade matemática, a prova tem hoje um papel indispensável. Muito se 
tem discutido sobre a sua natureza, o seu papel nas atividades de matemática e alternativas em torno dos 
métodos empregados na validação. O fato é que, a demonstração entre os estudantes é um caminho de 
                                                 
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 Prof. Dra. Celia Hoyles é docente do Departament of Mathematical Sciences – Institute of Education - University of London. 

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sofrimento a se percorrer, seja em parte porque requer coordenação de uma série de competências para 
identificar suposições ou organizar argumentos lógicos, ou ainda, porque prova sugere sempre uma 
ambigüidade, seja ela uma verificação ou ainda uma explicação. 
A literatura acerca de provas e demonstrações, nada ou pouco dizem a respeito sobre suas 
diferenças, entretanto, é possível perceber nas salas de aula o predomínio do “mostrar” que admite o 
sentido de expor à vista e também, nos remete a uma visualização, por exemplo, do desenho. Esse tipo de 
“demonstração”, embora torne acessível o conteúdo de um teorema não é possível confiar sempre na 
percepção visual. 
A Matemática em seu campo fértil cultiva uma linguagem própria, cuja complexidade de 
entendimento, por vezes parece ser impossível de compreender, inclusive dentro da própria comunidade.  
O matemático inglês George Boole, em 1854, fundamenta em sua obra 
An investigation of the laws 
of thought
, antiga aspiração de muitos estudiosos: a lógica simbólica. Sua idéia fundamental englobava as 
proposições lógicas, representadas por símbolos bem determinados e ligadas por meio de relações, que 
também eram representados por meio de sinais ou marcas.  
Outros nomes vieram a contribuir para essa construção, os também ingleses Alfred N. Whitehead e 
Bertrand Russell com a intenção, ou não, de não deixarem dúvida, utilizaram símbolos com significados 
determinados.  
Nesta seara, onde a linguagem dos símbolos e sinais se apresentam, encontram-se matemáticos 
como Hilbert, que tentou traduzir a matemática por meio de sistemas formais incompreensíveis. Neste ponto 
também encontramos uma concepção de Carnap (1937 apud Lakatos, 1978) que radicaliza quando requer 
que: 
1. “A filosofia seja substituída pela lógica da ciência [...]”, 
2. “Que a lógica da ciência nada mais seja que a sintaxe lógica da linguagem da ciência 
[...]”, 
3. “Que a metamatemática seja a sintaxe da linguagem matemática”. 
Neste sentido ele sugere que a filosofia da matemática deva ser substituída pela metamatemática. 
A metamatemática aqui empregada é descrita por Lakatos (1978), como sendo a “
abstração das teorias 
matemáticas na qual são substituídas por sistemas formais
”. 
Uma das mais severas críticas ao formalismo é possível encontrar na introdução da obra de 
Lakatos em seu 
Proofs and Refutations
. Ele considera que o formalismo dispõe de uma poderosa técnica 
de sistemas de abreviações, mas é incapaz de resolver problemas que não são abordados pela abstração 
matemática. Ainda para Lakatos, 
“O formalismo nega o status de matemática à maioria das coisas que normalmente são 
consideradas como tais e nada pode dizer sobre o seu progresso”.
 
É possível encontrarmos, além de Imre Lakatos, muitos outros críticos provenientes, principalmente 
da área da Educação Matemática.
 
 
Considerando a falta de pesquisas na linha de provas e demonstrações, como mostram algumas 
literaturas (Lorenzato e Fiorentini, 2001), pesquisadores como Bell (1976), Tall (1989), Radford (1994), 
Hanna (1997),  Otte (1998), De Villiers (2001),  Balacheff (1999) entre alguns dos autores pesquisados, têm 
discutido em seus artigos sobre o papel e função da prova na comunidade matemática. 
 
Bell (1976) argumenta principalmente sobre os processos que levam a aproximação dos estudantes 
a provar. Segue a pesquisa 
A arte da descoberta
, de Polya para que os estudantes tenham convicção de 

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