Δ-simvolu operatordur və aşağıdakı xassələrə malikdir:
Xassə 1.
Xassə 2. C-sabitdir
Xassə 3. m və n mənfi olmayan tam ədədlərdir və
(1) düsturundan yəni:
Δf(x)=f(x+Δx)-f(x)
f(x+Δx)=f(x)+Δf(x)
f(x+Δx)=(1+Δ)f(x) (2)
n dəfə tərtib etsək, alarıq:
f(x+nΔx)=(1+Δ)nf(x)
və sonda
(3)
Burada
(3) düsturundan müxtəlif tərtibdən sonlu fərqləri hesablamaq mümkündür.
Ümumiləşmiş tərtib.
Tərif: n sayda vuruqlarıq hasilinə ümumilşmiş tərtib deyilir ki, onun I vuruğu x, hər hansı sonraki vuruq h addımı ilə qabaqkı vuruqdan kiçikdir:
(1)
Dərəcə göstəricisi [ ] şəklində göstərilir.
hesab edilir. h=0 olduqda . hesab edərək sonlu fərqləri ümumiləşmiş tərtiblə hesablayaraq.
II fərq isə
Deməli:
k=1,n.
MÜHAZIRƏ: 9
NYUTONUN BİRİNCİ VƏ İKİNCİ İNTERPOLYASİYA ÇOXHƏDLİSİ
Nyutonun birinci interpolyasiya çoxhədlisi
Tutaq ki, interpolyasiyasinın x0+ih (i=0,1,2,...n) düyün nöqtələri bərabər məsafədə yerləşib.
Bu düyün nöqtələrində f(x) funksiyasının qiymətləri
m əlumdur. Elə n dərəcəli Pn(x) çoxhədlisi qurmaq tələb olunur ki, interpolyasiyanın düyün nöqtələrində şərtləri ödənsin. Pn(x) çoxhədlisini aşağıdakı şəkildə axtaraq:
x =x0 nöqtəsində Pn(x) funksiyasının qiymətini hesablasaq Pn(x0)=a0 alarıq. Digər tərəfdən şərtini nəzərə alsaq a0=y0 olar. a1 əmsalını müəyyən etmək üçün Pn(x) çoxhədlisinin birinci tərtib sonln fərqini yazaq.
Pn(x) çoxhədlisinin x0, x1 nöqtələrində birinci tərtib x0 nöqtəsində isə ikinci tərtib sonlu fərqlərini hesablayaq və a1,a2 əmsallarını tapaq:
Ümumi halda Pn(x) çoxhədlisinin əmsalları
d üsturu ilə hesablanır. Bu əmsalları Pn(x)-də nəzərə alsaq, Nyutouun birinci inteıpolyasiya çoxhədlisini aşağıdakı kimi yaza bilərik:
(1).
Nyutonun ikinci interpolyasiya çoxhədlisi
Tutaq ki, [a, b] parçasında f(x)fuksiyasınm x0, x1, x2,..., xn qiymətlərində
məlumdur. İnterpolyasiya addımı h sabitdir xi+1+h (i=0,1,2,...-1-n). İnterpolyasiya çoxhədlisini aşağıdakı şəkildə axtaraq:
(12)
a i,(i= 0,1,2,...,n) əmsallarını elə seçək ki, şərtləri ödənsin. (12)-də x=xn yazsaq Pn(xn)=yn= f(xn)=a0 alarıq. Nyutonun birinci interpolyasiya düsturunda olduğu kimi a1,a2,...,an əmsallarını tapmaq üçün Pn(x)
çoxhədlisinin birinci tərtib ΔPn(x) sonlu fərqini yazaq.
Bu ifadədə x=xn-1 yazsaq a1 əmsalını tapa bilərik.
Nyutonun birinci interpolyasiya düsturunda olduğu kimi Pn(x) çoxhədlisinin x=xn-1 nöqtəsində ikinci tərtib sonlu fərqini yazıb a2 əmsalını tapaq.
Ümumi halda a1 əmsalları aşağıdakı düsturla tapılır.
Əmsallarm bu qiymətlərini (12)-də nəzərə alsaq Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturunu alarıq:
(13)
( 13)-də n=6 götürüb, hesablanmış soulu fərq qiymətlərini nəzərə alaq. §5.6-da (Sonlu fərqlər dərsində) verilən misalda hesablanmış sonlu fərqlərə (A matrisində diaqonal üzrə yerləşən elementlərin birincisi funksiyanın x=x0 düyün nöqtəsində qiyməti, yerdə qalanları isə ardıcıl olaraq x5 , x4 , x3, x2, x1, x0 düyün nöqtələrində sonlu fərqlərdir) görə Nyutonun ikinci interpolyasiya çoxhədlisini tərtib edək:
Dostları ilə paylaş: |
