Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

MÜHAZİRƏ 10.
DÜYÜN NÖQTƏLƏRİ BƏRABƏR MƏSAFƏDƏ YERLƏŞMƏYƏN HALDA NYUTONUN İNTERPOLYASİYA DÜSTURU.
TƏRSINƏ INTERPOLYASIYA.

Tutaq ki, x_i (i=0,1,2,...,n) düyün nöqtələrində f(x) funksiyasının y_i=f(x_i), (i=0,1,2, ...,n) qiymətləri məlumdur. Elə p(x) çoxhədlisi axtarılır ki,

P(x_i) = y_i = f(x_i), (i=0,1,2,...,n)
şərti ödənsin. p(x) çoxhədlisinin birinci tərtib ayrılan fərqini yazaq.

İkinci tərtib ayrılan fərqlərdən istifadə edib [x;x₀] ayrılan fərqi tapaq və p(x)-in ifadəsində yerinə yazaq.


Bu prosesi davam etdirsək:

Nəticədə ixtiyari düyün nöqtələri üçün Nyutonun interpolyasiya düsturunu aldıq.


Tərsinə interpolyasiya
Tutaq ki, [a,b] parçasında x_i (i=0,1,2...n) düyün nöqtələrində f(x) funksiyasnın y_i=f(x_i) (i=0,1,2...,n) qiymətləri məlumdur. Funksiyanın məlum qiymətinə görə arqumentin qiymətinin tapılması tələb olunur. Laqranjın interpolyasiya düsturunu yazaq.

Funksiyanın y_i (i=0,1,2...n) qiymətlərini arqumentini qiymətləri və arqumentin x_i (i=0,1,2...n) qiymətlərini isə funksiyanın qiymətləri kimi qəbul edib. Laqranjın interpolyasiya düsturunu yazaq:

(15)-də y-ə qiymət verməklə x-i tapa bilərik. Tərsinə interpolyasiyadan cədvəl şəklində verilmiş funksiyanın sıfrının tapılmasında istifadə etmək olar. Funksiyanın cədvəlində y_i*y_i+1<0 şərtini ödəyən parça tapılır. Tərsinə interpolyasiya düsturunda y=0 yazılır və x-in qiyməti tapılır.
MÜHAZİRƏ 11.
ƏDƏDİ İNTEQRALLAMA VƏ DİFERENSİALLAMA
Məlumdur ki, əgər f(x)funksiyası [a.b] parçasında kəsilməzdirsə, ouda
f(x)dx (1)
müəyyən inteqralı var və onun qiyməti F(b)-F(a) fərqinə bərabərdir. Burada F(x) inteqralalrı f(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Əksər hallarda F(x) ibtidai funksiyasını elementar funksiyalarla göstərmək mümkün olmur. Məsələn:
.
Digər tərəfdən praktik məsələlərin həllində inteqralaltı funksiya çox vaxt cədvəl şəkilində verilir. Ədədi inteqrallamanın əsas mahiyyəti [a.b] parçasında cədvəl şəklində verilmiş funksiyanın müəyyən inteqralını hesablamaqdan ibarətdir. Müəyyən inteqralın tərifinə görə onun qiyməti tələb olıuıan dəqiqliklə inteqral cəmin köməyi ilə hesablamla bilər.

Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması üsulları f(x) inteqralaltı funksiyasının φ(x) interpolyasiya çoxhədlisi ilə əvəz edilməsinə əsaslanır. Müəyyən inteqralın təqribi üsullarla hesablanması düsturları kvadratura düsturları adlanır. Tutaq ki,
p(x)f(x)dx (2)
inteqralını hesablamaq lazımdır. Burada p(x) [a,b] parçasında müsbət məlum funksiyadır (çəki funksiyası). Aydındır ki, f(x)= φ(x)+R(x) şəklində göstərilə bilər. Burada R(x) interpolyasiyanın qalıq həddidir. Onda (2) inteqralı
(3)
şəklində yazıla bilər. (3)-də birinci inteqral ədədi inteqrallama düsturunu, ikinci isə qalıq həddi göstərir. Digər tərəfdən φ(x) funksiyası
(4)
Şəklində yazıla bilər (3)-də (4)-ü nəzərə alıb

işarələməni aparsaq

alarıq. Göründüyü kimi c_i-lər f(x) funksiyasından asılı deyil və əvvəlcədən hesablanıla bilər.

fərqi kvadratura düsturlarının qalıq həddi adlanır.