Ozbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim

Fazoda to’g’ri chiziq(FTCh)ning parametrik va kanonik tenglamalari.
→ → →
r = r₀+ t s (1)

tenglamada

→ → → →
r = x i + y j+ z k ,
→ → → →
₀ = x₁ i + y₁ j+ z₁ k ,
→ → → →
= m i + n j+ p k
bo’lganligi uchun (1) tenglamadan vektorlarning tengligiga asosan,
x = x₁ + tm,

y = y₁ + tn, (2)
 z = z₁ + tp
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bunga to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi, bunda t− parametr. (2)tenglamadan t parametrni yo’qotsak,
x − x y − y z − z
ya’ni x − x₁ =tm, ¹ =t, ¹ =t, ¹ =t m n p
bo’lib
x − x¹ = y − y¹ = z − z¹ (3)
m n p
tenglama kelib chiqadi. (3) tenglamaga to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
1-misol. M₀ (2; −3; 5) nuqtadan o’tib koordinat o’qlari bilan
α=π/ 4, β=π/3, γ=π/3 burchak tashkil etuvchi to’g’ri
chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini yozing. Yechish.To’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida
s k
vektorni olamiz. (3) tenglamaga asosan,

to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasini hosil qilamiz. Oxirgi tengliklarning har birini t bilan belgilab, y + 3 z −5 = t = t = t 1/2 1/2 x = t + 2; y = t −3; z = t + 5 to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasini hosil bo’ladi.	yoki

Fazoda to’g’ri chiziqning umumiy va proyeksiyalarga nisbatan tenglamalari.

Fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesimidan iborat deb ham qarash mumkin. Shuning uchun to’g’ri chiziqni analitik holda quyidagi sistema A1x + B1y + C1z + D1 = 0,  (4) A2x + B2y + C2z + D2 = 0 orqali ham ifodalash mumkin. (4) tenglamada ^A1 , ^B1 , ^C1 koeffisiyentlar mos ravishda ^A2 , ^B2 , ^C2 koeffisiyentlarga proporsional bo’lmasa u to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Bunga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. (4) sistemadan birinchi y noma’lumni, keyin x noma’lumni yo’qotsak, x = x1 + mz,  (5) y = y1 + nz tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bundagi birinchi tenglama OY o’qqa parallel bo’lgan tekislik, ikkinchisi OX o’qqa parallel bo’lgan tekislik bo’lib, berilgan to’g’ri chiziqni XOZ va YOZ koordinat tekisliklariga proyeksiyalaydi. (5) sistemaga to’g’ri chiziqning proyeksiyalarga nisbatan

tenglamasi deyiladi. 2x + y −5z + 3 = 0, 2-misol.  3x + 2y − 4z + 2 = 0 to’g’ri chiziqning proyeksiyalarga nisbatan va kanonik tenglamalarini yozing. Yechish. Berilgan tenglamalar sistemasidan oldin y ni yo’qotamiz, buning uchun birinchi tenglamani (−2) ko’paytirib tenglamalarni hadma-had qo’shib − x + 0 + 6z − 4 = 0, yoki x = 6z − 4 tenglamani hosil qilamiz. Endi x noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun birinchi tenglamani (3)ga ikkinchi tenglamani (−2) ga ko’paytirib hadma - had qo’shib − y −7z + 5 = 0 yoki y = −7z + 5 tenglamani keltirib chiqaramiz. Shunday qilib, x = 6z − 4,  y = −7z + 5 sistema to’g’ri chiziqning proyeksiyalarga nisbatan tenglamasi bo’ladi. Oxirgi tenglamalar sistemasini quyidagicha o’zgartiramiz: x + 4 = 6z x + 4 y −5 yoki = z , = z . y −5 = −7z 6 − 7 x + 4 y −5 z − 0 Demak, = = . 6 − 7 1 Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasidir.