Ozbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim

m1 n1 p1 m2 n2 p2
chiziqlar orasidagi eng qisqa masofani topish uchun bu to’g’ri chiziqlarning bir tekislikda yotishi yoki yotmasligini tekshirib ko’riladi.
Agar berilgan to’g’ri chiziqlar bir tekislikda yotmasa, izlanayotgan masofa mos ravishda (11)va (12) to’g’ri chiziqlar orqali o’tuvchi parallel tekisliklar orasidagi eng qisqa masofagan iborat bo’ladi.
Izlanayotgan masofa: determinant yordamida:

va vektorial formada esa,
d _ (r^{2  r1)[n1n1]} (14) formulalar yordamida topiladi.

13-misol. Kesishmaydigan ^{x 9} = ^{y  2} = ^z va ^x = ^y7 = ^z2 to’g’ri chiziqlar
4 3 1 2 9 2
orasidagi eng qisqa masofani toping.
Yechish. Berilgan to’g’ri chiziqlarning bir tekislikka yotish yoki yotmasligini tekshirib ko’ramiz:
x₂  x₁ y₂  y₁ z₂  z₁9 5 2 m₁ n₁ p₁ 0 4 3 1 245 0 m₂ n₂ p₂ 2 9 2
Demak, berilgan to’g’ri chiziqlar bir tekislikda yotmaydi.
1-usul. (13) formuladan foydalansak:

2-usul. Agar r₁ veckor M₁(9;-2;0) nuqtaning radius vektori, r₂ esa
M₂(0;7;2) nuqtaning radius vektori bo’lsa: r₁-r₂={-9;-5;2}
So’ngra n₁n₂= 4 1 =-15i -10 j +30k => n₁n₂=35,
(r₂  r₁)n₁n₂ 9;5;215;10;30 245
(14) formuladan: d= _ 7
14-misol M₁(1;-2;3) nuqtadan o’tuvchi va s ={-2;3;-4} vektorga parallel to’g’ri chiziqning kanonik va umumiy tenglamasini tuzing.
Yechish. (3) formuladan foydalanib to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi topamiz:
x 1= y  2 = z 3
2 3 4
Agar bu tenglamalarni sistema ko’rinishda yozsak, to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini hosil qilamiz:
x1 y2
y22 z33 34xy23yz11 00
 3 4
15-misol. Ox o’qqa parallel va A(2;1;3) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish. To’g’ri chiziqning s yo’naltiruvchi vektori Ox o’qqa parallel bo’lgani uchun uning Oy va Oz o’qlardagi proeksiyalari nolga teng.
s vektor mumkin bo’lgan ikki yo’nalishdan istalganiga ega bo’lishi va uning
uzunligi istalgancha bo’lishi mumkin. |s |=2 deb olamiz va Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan bir xil bo’lgan yo’nalishni tanlaymiz; u holda s =(2;0;0). To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi:
^{x  2} = ^{y 1}= ^{z 3} ;
2 0 0
Umumiy tenglamasi: ^_^{y 1 0}
_z 3  0
16-misol ^_^{x  2y 3z 6  0} to’g’ri chiziqni yasang.
_2x  y  2z 8  0
Yechish. Berilgan tenglamalar sistemasining har biri o’zaro parallel bo’lmagan tekislik tenglamasini tasvirlaydi. Bu tekisliklarning kesishishi natijasida to’g’ri chiziq hosil bo’ladi. To’g’ri chiziqni yasash uchun berilgan tekisliklarning har birini alohida yasab, kesishish nuqtalarini birlashtirsak, izlanayotgan to’g’ri chiziq hosil bo’ladi. Har
ikkala tekislikni yasash uchun, ularning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalarini
x y z
a niqlaymiz: 6x  3y  2z 1
   1
4 8 4
17-misol M(2;4;-3) nuqtadan o’tuvchi va koordinata o’qlari bilan mos ravishda
_ ;_; _ ^2 burchaklar tashkil etuvchi to’g’ri chiziqning kanonik va parametrik
3 3
tenglamalarini tuzing.
Yechish. Agar izlanayotgan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektorini s {m,n,p) desak, bu vektorning koordinatalari:
s (cos_; cos_; cos_) Masala shartiga asosan: _cos^_m_¹ ; cosn1;
2
cos2^ _ p _{ }¹ ; x₀=2; y₀=4; z₀=-3
2