Ozbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim

Fazodagi to’g’ri chiziq va tekislikka doir ba’zi formulalar.

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi :  A1x  B1y C1z  D1  0 (4) _A₂x  B₂y C₂z  D₂  0
berilgan bo’lsin. Bu holda (4) to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori s ni har biri berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan ⁿ1{A₁; B₁; C1) va ⁿ2 {A₂; B₂; C₂) ikki vektorning vektor ko’paytmasidan hosil bo’lgan [ⁿ₁ ⁿ2 ] vektor deb qarashmumkin:
s [n₁n₂] A
(5)
B erilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan o’tib, berilgan ^{x x0} = ^{y  y0} = ^{z  z0} to’g’ri
m n p
c hiziqqa parallel bo’lgan to’g’ri chiziq x x¹ = ^{y y1} = ^{z  z1} (6) formula bilan
m n p
aniqlanadi.
Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan o’tib , berilgan Ax+By+Cz+D=0 tekislikka
p erpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqning tenglamasi: x x¹ = ^{y y1} = ^{z  z1} (7)
A B C
Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan o’tib , Ax+By+Cz+D=0 tekislikka parallel bo’lgan hamma to’g’ri chiziqlar geometrik o’rni
A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0 (8) tekislikdan iborat bo’ladi.
5.Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan va berilgan
^{x  x0} = ^{y y0} = ^{z  z0} to’g’ri chiziqdan o’tgan tekislik tenglamasi: m n p
x  x₁ y  y₁ z  z₁
x₀  x₁ y₀  y₁ z₀  z₁ 0 (9) m n p
xx1 = y y1 = zz1 va xx2 = y y2 = zz2 to’g’ri chiziqlarning bir tekislikda m1 n1 p1 m2 n2 p2
yotish sharti:
x2  x1 y2  y1 z2  z1
m₁ n₁ p₁ 0 m2 n2 p2
^{x x0 = yy0 = z  z0} to’g’ri chiziqning Ax+By+Cz+D=0 tekislikda yotish m n p
sharti:
^_ ^{Am BnCp  0} (11)
_Ax₀  By₀ Cz₀  0

4-$.Mavzuga oid tipik masalalar.

1-misol. a) 2x+5y+4z-20=0, b) 3x+2y-6=0 c) 3y+z-3=0
d) 5x-10=0, e) 2y-4=0 f) 4x+z=4 tekislik tenglamalarini yasang.
Yechilishi.
2x+5y+4z-20=0 tenglamalarini tekislikning koordinata o’qlaridan ajratgan
x y z
kesmalarga nisbatan tenglamasi ko’rinishiga keltiramiz:   1
10 4 5

3x+2y-6=0  ^x  ^y 1 tenglama (15-rasm) Oz o’qqa parallel tekislikdan iborat.
2 3
3y+z-3=0  ^y ^z 1 tenglama (16-rasm)Ox o’qqa parallel tekislik
3
5x-10=0 _ x=2 (17-chizma) tekislik yOz tekislikka parallel, undan 2 masofa uzoqlikda yotgan tekislik tenglamasi.

2y-4 =0_ y=2 tekislik xOz tekislikka parallel, undan 2 masofa uzoqlikda
yotgan (18-rasm) tekislik tenglamasi
4x+z=4 ^y  ^z  0tenglama Oy o’qqa parallel (19-rasm) tekislik.
4
2-misol. Ox o’q hamda A(2;-1;3) nuqta orqali o’tuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish. Bu masalani yechish uchun (13) formuladan foydalamiz. Ox o’q orqali o’tuvchi tekislik tenglamasi:
By+Cz=0(a). Bu tekislik A(2;-1;3) nuqta orqali o’tganligi uchun bu nuqtaning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirishi kerak, ya’ni –B+3c=0 _ B=3c. Buni (a) tenglmaga qo’yib, c ga qisqartirsak, izlanayotgan tenglama hosil bo’ladi: 3y+z=0
3-misol. B (3;-2;-3) nuqta orqali o’tib, yOz tekislikka parallel bo’lgan tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish.yOz teikslikka parallel bo’lgan tekislik tenglamasi: Ax+D=0 (b). Bu tekislik B (3;-2;-3) nuqta orqali o’tganligi uchun,bu nuqtaning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirishi kerak, ya’ni: 3A+D_D=-3A. Buni (b) tenglamaga qo’yib, A ga qisqartirsak, izlanayotgan tenglama hosil bo’ladi: Ax-3A=0 yoki x-3=0
4-misol. M(2;-2;1) nuqtadan o’tgan va 3x-4z+2=0 tekislikka parallel bo’lgan tekislik tenglamasni tuzing.
Yechish. (28) formuladan foydanalamiz: 3(x-2)-4(z-1)=0=>3x-4z-2=0
5-misol. A(4;-2;3) nuqtadan o’tib, 2x-y+4z-1=0 va x+2y-3z+4=0 teksliklarga perpendikulyar bo’lgan tekslik tenglamasini tuzing.
2 1 4
Yechish. (30) formulaga asosan [n₁,n₂ ] AM = 1 2 3=0_
x 4 y  2 z 3
 4(z-3)+3(x-4)+4(y+2)-8(x-4)+(z-3)+6(y+2)=0 yoki x-2y-z-5=0
6-misol. M₁(1;2;0), M₂(-3;0;1), M₃(1;-1;1) nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
x 1 y  2 z 0
Yechish (26) formuladan foydalanamiz: 31 0 2 10=0_
11 1 2 10
x 1 y  2 z
  4  2 1=0_-2(x-1)+12z+4(y-2)+3(x-1)=0_x+4y+12z-9=0
0 3 1
7-misol. M₁(1;2;0), M₂(2,1,1) nuqtalardan o’tib, -x+y-1=0 tekslikka perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasini tuzing.
x 1 y  2 z  0
Yechish (29) formulaga asosan : 2 1 1 2 10=0_x+y-3=0
1 1 0
8-misol. a) 2x+4y+4z-2=0 va x-2y+2z-4=0
b) x-y-2z+5=0 va 2x-2y-4z+6=0 teksliklar orasidagi burchakni toping.
Yechish. (18) formuladan foydallansak:
cos_ 21 4(2) 42 _ 2 _ 1 _ arccos1
41616 1 4 4 63 9 9
(19) formulaga asosan : ¹ = ^1 = ^2 shartdan teksliklar parallel ekanligini ular
2 2 2
orasidagi burchak 0 bo’ladi.
9-misol. M(4;3;-5) nuqtadan 2x-3y+6z-4=0 tekslikgacha bo’lgan masofa topilsin.
Y echish. Ma’lumki M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtadan Ax+By+Cz+D=0 tekislikkacha bo’lgan masofa d _ ^{A x0  B y0 C z0  D} formula bilan topiladi. Berilgan misolda A=2, B=-3,
 A2  B2 C2
C=6, D=-4 bo’lganidan d  243565 4  849  41  56
4936 7 7 7
10-misol. M₁(-1;0;0) va M₂(0;0;1) nuqtalardan o’tib 2x+y-2z+2=0 tekslik bilan 60⁰ burchak tashkil qiladigan tekslik tenglamasi tuzilsin.
Yechish. M₁(-1;0;0) nuqtadan o’tuvchi tekslik tenglamasi: A(x+1)+By+Cz=0(*).
Bu tekslik M₂(0;0;1) nuqtadan o’tsa, uning koordinatalari tekslik tenglamasini qanoatlantiradi.
A(0+1)+B^.0+C^.1=0 => C=-A(**)
Berilgan tekslik bilan izlanayotgan tekslik orasidagi burchak 60⁰ bo’lgani uchun cos_=cos60⁰=
Ikki tekislik orasidagi burchakni topish formulasi va (**) ga ko’ra
 A2 B1C (2) 1
cos A2  B2 C2 22 12  22  2   2A2 B 2 2A 2  1 
C _{ }A 3 A  B C 2
_ 2(4A+B)=3 2A²  B² 2A² 32AB5B²  0 A  (3 3 4)B (***)
( *) tenglamada A va C larning o’rniga (**) va (***) tengliklardagi qiymatlarini qo’yib B ga qisqartirib soddalashtirsak: _ (3 3 -4)x+2By=0 tekslik tenglamalari hosil bo’ladi
11-misol. 4x+3y-5z-8=0 va 4x+3y-5z+12=0 teksliklar orasidagi masofani toping.
Yechish. Izlanayotgan masofani topish uchun teksliklarning birida nuqta olish va bu nuqtadan ikkinchi tekslikkacha bo’lgan masofani aniqlash kerak. Berilgan teksliklardan birinchisining tenglamasida y=0, z=0 deb faraz qilib, 4x-8=0=> x=2 ga ega bo’lamiz, ya’ni M(2;0;0) nuqtani hosil qilamiz. Bu nuqtadan 4x+3y-5z+12=0 tekislikkacha
bo’lgan masofa d  42305012  20  4  2 2
 42 32 52 5 2 2
12-misol A(7;9;7) nuqtadan x2  y 1  z to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani
4 3 2
toping.
Yechish. Berilgan nuqta orqali o’tuvchi tekislik tenglamasi:
A(x-7)+B(y-9)+C(z-7)=0 (*)
A:B:C=4:3:2 munosabatni (*)ga qo’ysak: 4(x-7)+3(x-9)+2(z-7)=0 yoki 4x+3y+2z-
69=0. Bu tekislik bilan berilgan to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalarini aniqlaymiz.
Buning uchun berilgan to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasini parametrik ko’rinishga keltiramiz, ya’ni x=4t+2, y=3t+1, z=2t (**)
Bu qiymatlarni tekislik tenglamasiga qo’yib, parametr t ning qiymatini aniqlaymiz:
4(4t+2)+3(3t+1)+2^.2t-69=0=> t=2
t ning bu qiymatini (**)ga qo’yib, berilgan to’g’ri chiziq bilan tekislikning
kesishish nuqtasini aniqlaymiz: x=10, y=7, z=4 ya’ni B(10;7;4)
A va B nuqtalar orasidagi masofa berilgan A nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofadir, ya’ni d=|AB|= 22
Kesishmaydigan ^xx1 = ^{y y1} = ^zz1 (11) ^xx2 = ^{y y2} = ^zz2 (12) to’g’ri