Vzor závěrečné práce

1.4Determinanty pohybu výnosových křivek

Kapitola byla zpracována dle práce Úvod do problematiky výnosových křivek J. Bureše.²⁸

Dříve bylo v práci uvedeno, že průměrem krátkodobých sazeb jsou sazby dlouhodobé, přitom krátkodobé sazby jsou jednak spotové, a jednak forwardové. Investoři promítají svoje očekávání vývoje úrokové sazby do forwardové sazby. Bureš uvádí: „Logiku lze vyjádřit podle aproximované rovnice nominálního výnosu. Ten je roven součtu reálného výnosu a očekávané inflace.“²⁹ Následující vztah je známý pod označením Fisherova rovnice.

Pokud předpokládáme, že reálný výnos je stabilní, nominální výnos tedy zcela závisí na očekávané inflaci. Právě nominální výnosy leží na výnosové křivce. Očekávání investorů tedy podstatným způsobem ovlivňuje sklon výnosové křivky. Výnosová křivka v sobě tedy odráží očekávání a řadu aktuálních tržních informací, které jsou pro trh neočekávané. Tvar a sklon výnosové křivky je ovlivňovám velkým množstvím různých vlivů a faktorů.

Měnová politika

Určení významných úrokových sazeb je jedním z podstatných pravomocí, pomocí kterých centrální banka ovlivňuje výnosové křivky. Platí zde následující pravidlo. Nejvíce jsou kroky centrální banky, spojenými se změnami nejvýznamnějších úrokových sazeb, ovlivňovány úrokové sazby s krátkým horizontem. Centrální banka může tedy zcela ovlivňovat krátký konec výnosové křivky, úrokové sazby dluhopisů s delší dobou splatnosti je schopna ovlivnit pouze zprostředkovaně, pomocí inflačního očekávání. Je velice pravděpodobné, že se očekávání, spojená se změnami sazeb centrální bankou, budou do výnosové křivky promítat ještě před faktickou změnou, proto se někdy může zdát, že změny sazeb na výnosovou křivku nemají vliv a křivka na ně nijak nereaguje.

Hospodářský cyklus

Bureš zmiňuje: „Vývoj výnosové křivky je úzce korelován s hospodářským cyklem. Intenzita vzájemné závislosti je především odrazem rozvinutosti finančních trhů.“³⁰ Na vysoce likvidních trzích je vzájemná závislost hospodářského cyklu a pohybu výnosové křivky nejsilnější. Výnosová křivka může být užívána k predikci hospodářského cyklu, protože výnosová křivka reflektuje řadu významných faktorů.

Fiskální politika

Fiskální politika je schopna ovlivnit výnosovou křivku v zásadě třemi způsoby. Při zvyšujícím se vládním dluhu dochází k odlivu kapitálu, což se projevuje i na výnosové křivce. Další možností ovlivnění výnosové křivky je pomocí fiskální expanze, která se promítá do cenové hladiny. Posledním způsobem působení na výnosovou křivku je pomocí zdanění kapitálových výnosů investorů.

Vnější a vnitřní faktory

Mezi externími faktory si můžeme představit například ceny různých zahraničních komodit, importovaných do tuzemska, vývoj poptávky v okolních zemích, vývoj na světových trzích a panující nálada. Důležitým interním faktorem je vývoj reálné míry výnosu.

Ostatní faktory

Ostatními faktory jsou různá rizika, která jsou spojena s obchodováním na finančním trhu. Investorovi by měla být dobře známá, aby s nimi dokázal počítat a stanovil si adekvátní požadovaný výnos.

Výnosové křivky lze použít pro predikci vývoje situace na trhu. Při emisi dluhopisů emitent bere v potaz výnosovou křivku státních dluhopisů a oceňuje dluhopisy v závislosti na ní. Můžeme proto výnosovou křivku brát jako nástroj k ocenění ostatních dluhopisů. Investoři zkoumají tvar výnosové křivky pro predikci dopadu případných změn úrokových měr. Výnosová křivka je rovněž zkoumána centrální bankou, která díky ní může určit, kde se trh nachází a nastavit odpovídajícím způsobem úrokové sazby. Křivka je používána také správci portfolií a fondů, kteří mohou určit nejlepší návratnost investice při různých dobách splatnosti. Pokud zvažujeme investici do dluhopisu, může nám pomoci srovnání s bezkuponovou výnosovou křivkou. Srovnání může ukázat, které dluhopisy jsou podhodnocené a naopak nadhodnocené.

1.5Konstrukce výnosových křivek

V této kapitole představím způsoby, které lze použít pro konstrukci výnosových křivek. Ve všech metodách je podstatné vyhlazení výnosové křivky. K vyhlazení výnosové křivky jsou využivány takové techniky, aby výsledná křivka v sobě zahrnovala všechny investorovy předpoklady uvedené níže. Metody vyhlazování jsou odvozovány ze souboru diskontních faktorů, který souhrně nazýváme diskontní funkcí.

Investor předpokládá, že míra likvidity určitého dluhopisu je dána velikostí emise, prací tvůrců trhu, poptávkou ze strany investorů, nestandardní dobou splatnosti atd. Dluhopisy nejsou obchodovány průběžně, proto by si měl být investor vědom možnosti existence novějších a starších cen různých dluhopisů. Daňový režim cash-flow dluhopisu a vliv zdanění na cenu samotného dluhopisu je dalším z aspektů, na který by měl investor upřít svoji pozornost.
V literatuře se můžeme setkat s konstrukcí výnosových křivek pomocí interpolace, polynomických modelů, kubického splinu nebo regresních modelů.³¹
Lineární interpolace

Široce známou technikou je lineární interpolace, která však nebývá moc doporučována. Důvody, proč tomu tak je, si uvedeme později. Lineární interpolace je nejjednodušší metodou konstrukce výnosové křivky. Principem je vytvoření lineární křivky, která prochází všemi známými body. Každý bod představuje výnosovou míru dluhopisu s jinou splatností.

Chybějící výnosové míry dluhopisů je možné vypočítat pomocí následujícího vzorce:

kde rm_t je neznámý výnos,

n je doba (v letech) do splatnosti dluhopisu,

t je maturita dluhopisu,

rm_i je výnos dluhopisu s nejbližší kratší maturitou,

rm_i+1 je výnos dluhopisu s nejbližší delší maturitou.

K výpočtu použijeme dvě nejbližší známé výnosové míry podle maturity. Pokud zjišťujeme výnosovou míru 8letého dluhopisu, použijeme například výnosové míry 6letého a 10 letého dluhopisu. Nevýhodou této metody bývá výskyt ostrých vrcholků výnosové křivce, což způsobuje neopodstatněné skoky ve forwardových výnosových mírách. Spotová a forwardová výnosová míra, které jsou z výnosové křivky získány, se tedy nechovají v souladu se skutečností a bývají dosti nereálné. Analytici proto lineární interpolaci příliš neužívají a raději užívají vícenásobnou regresi nebo metody využívající spline.³² Druhou nevýhodou je předpoklad plynoucí z podstaty lineární metody. Zjišťovaná výnosová míra musí být vyšší než ta s nejbližší kratší splatností, pokud se jedná o rostoucí výnosovou křivku.
Logaritmická interpolace

Logaritmická interpolace představuje další možný způsob konstrukce výnosové křivky. Technika je založena na užití metody interpolace s tím, že je pro výpočet použit přirozený logaritmus každého diskontního faktoru. Pokud počítáme se dvěma diskontními faktory, vzorec pro výpočet lze zapsat následovně:

Při výpočtu postupujeme podle stejné metodologie jako v případě lineární interpolace. Pro výpočet výnosu dluhopisu s 8letou maturitou použijeme diskontní faktory dluhopisů s maturitou 6 a 10 let, tedy nejbližší kratší a delší maturita, které zlogarizmujeme. Výsledek poté stačí pouze matematicky zbavit logaritmu, abychom získali diskontní faktor dluhopisu s 8letou maturitou. Z diskontního faktoru pak dopočítáme hledanou výnosovou míru. Metoda vyhlazuje ostrosti vyskytující se u lineární interpolace, ostatní nedostatky interpolace však zůstávají.

Polynomické modely

Výnosová míra do splatnosti se určí jako součet čtverců polynomu, který může být až n-tého řádu.³³ Je nezbytné minimalizovat chybový člen (reziduum) v součtu čtverců, abychom zjistili jednotlivé koeficienty polynomu s co největší přesností. Modely jsou běžně používány v ekonometrické praxi. Model s využitím polynomu N-tého stupně lze zapsat jako:

kde rm_i představuje výnosovou míru do splatnosti i-tého dluhopisu,

N_i je doba do splatnosti i-tého dluhopisu,

α, β₁ představuje koeficienty polynomu,

u_i je chybou reziduí i-tého dluhopisu.
Součet čtverců reziduí, o jehož minimalizaci se snažíme, lze získat za pomoci vzorce:

,

kde T je počet dluhopisů použitých k výpočtu.

Výsledná křivka je funkcí polynomu F. Číselný hodnota F nás informuje o průběhu a vypovídací schopnosti sestrojené výnosové křivky. Pokud F nabývá vysokých hodnot, výnosová křivka nebude mít vyhlazený průběh, ale za to bude probíhat všemi známými body. V případě nízkých hodnot ztrácí vypovídací schopnost a její vyhlazený tvar nekoresponduje se skutečnými výnosovými měrami.
Nevýhodou polynomických metod jsou prudké výkyvy v průběhu křivky. Výnosová míra, která se podstatně liší od zbytku, může způsobit oscilace v odpovídající forwardové výnosové míře. Výsledkem může být dokonce i záporná dlouhodobá forwardová výnosová míra.
Kubický spline³⁴

Spline metoda je více komplexní než předešlé metody a patří mezi nejpoužívanější v obchodní praxi. Kubický spline propojuje jednotlivé body, kde každý bod zastupuje výnos dluhopisu pro danou maturitu. Každé dva body propojuje pomocí kubické rovnice. Celá křivka je tak tvořena řadou kubických rovnic.³⁵ Pokud známe čtyři výnosové míry pro dluhopisy s různou splatností a chceme sestrojit křivku pro délku splatnosti 0 - nejvyšší známá, budeme pracovat se třemi kubickými rovnicemi. Každá rovnice spojuje dva známé body.

Soustavu tří rovnic o dvanácti neznámých můžete vidět níže:

	, spojuje bod n0 s n1 (první a druhý bod),
	, spojuje bod n1 s n2 (druhý s třetím bodem),
	, spojuje bod n2 s n3 (třetí se čtvrtým bodem),

kde, a, b, c, d jsou neznámé.

Výsledek je možné získat po vyřešení všech dvanácti neznámých. Každá neznámá představuje právě jeden předpoklad. K samotné křivce jsou stanoveny také určité předpoklady. Předpoklady nám pomáhají k vyřešení celé soustavy. Výsledná křivka má hladší průběh jak pro tržní, tak pro forwardovou výnosovou křivku.
Regresní modely

Regresní analýza je obměnou užití polynomu. Cena dluhopisu závisí na kupónu plynoucím z dluhopisu a finální výplatě. Popsaný vztah lze zapsat:

kde, P_d je celkovou cenou³⁶ i-tého dluhopisu,

C_ni je kupón i-tého dluhopisu v n-tém období,

β_n je koeficientem regresní rovnice,

u_i je chybou reziduí i-tého dluhopisu.
Jednotlivé koeficienty jsou odhady diskontního faktoru a mohou být použity k sestrojení křivky spotové úrokové míry.

Kupóny různých dluhopisů jsou vypláceny v navzájem různé době, proto tedy dochází k tomu, že v polovině roku se na trhu vyskytuje více kuponu něž samotných dluhopisů. Z toho důvodu je nutné rovnici (1.7) upravit. V praxi se na časové struktuře po celé její délce vymezí časové body.³⁷ Výplata kupónu probíhá v intervalu určeném dvěma vytyčenými body. Součásná hodnota kupónu musí přitom zůstat nezměněna. Nejvíce časových bodů je vymezeno na krátkém konci časové struktury, protože je dostupné velké množství dat a emisí. Se zvyšujícím se časem časových bodů ubývá z důvodu chybějících emisí a nedostatku informací. Odhad křivky bývá na delším konci značně nepřesný. Níže je uvedena upravená regresní rovnice sloužící pro analýzy:

kde, označuje jednotlivé časové body.

Odhadnout časovou strukturu lze obecně dvěma způsoby, a to užitím par výnosové křivky nebo pomocí diskontních faktorů