-fesil-1: Info11-(1). qxd

FRAKTAL QRAFİKA
Ötən əsrin 70-ci illərində meydana çıxan “fraktal”, “fraktal həndəsə” və
“fraktal qrafika” anlayışları bu gün riyaziyyatçı və proqramçıların gündəlik həya -
tına çox sıx daxil olmuşdur. “Fraktal” sözü “fracrus” latın sözündən yaranıb və
“bölünmüş”, “parça lanmış”, yaxud “qırılmış” anlamını verir. Bu termin 1975-ci
ildə fransız riyaziyyatçısı Benua Mandelbrot [Benoit Mandelbrot] tərəfindən
perio dik olmayan, yalnız özünə bənzər strukturları bildirmək üçün təklif olunub.
Bu gün kompyuter qrafikasında fraktalların rolu çox böyükdür. Fraktal qra 
-
fikanın əsasında fraktal həndəsə dayanır. Burada görüntülərin yaradılması üsulu
varis-obyektlər tərəfindən həndəsi xassələrin “valideynlərdən” irsən alınmasına
əsaslanır. Fraktal elə strukturdur ki, hissələri müəyyən mənada onun özünə ox şayır. 
Fraktalın başlıca xassələrindən biri özünəoxşarlıqdır. Özünəoxşar obyektlər
elə obyektlərə deyilir ki, onların böyüdülmüş hissələri özünə və bir-birlərinə
bənzəyir. Başqa sözlə, fraktalın kiçik bir hissəsi bütöv fraktal haqqında infor-
masiyanı özündə saxlayır.  
Təbiətdə olan bir çox obyektlər fraktal xüsusiyyətlərinə malikdir: qar dənəci -
yi böyüdüldükdə fraktal olur; ağac və bitkilər fraktal alqoritmlər üzrə bö yüyür
(şəkil 4.11); dənizin sahil xətlərinə böyüdülmüş miqyasda baxdıqda əvvəlkilərə
bənzər yeni-yeni girinti-çıxıntılar üzə çıxır.                                             
Vektor və üçölçülü qrafika kimi, fraktal qrafika da hesablana biləndir. Başqa
sözlə, fraktal görüntü tamamilə tənliklər, yaxud tənliklər sistemi əsasında quru-
lur. Ona görə də hesablamaları aparmaq üçün kompyuterin yaddaşında düsturları
saxlamaq kifayətdir. Yalnız tənliyin əmsallarını dəyişməklə tamamilə fərqli
görüntülər almaq olar. Qurulma prinsipindən asılı olaraq fraktal görüntüləri üç
sin fə ayırmaq olar.
4.6.
Şəkil 4.11. Fraktal xassəsinə malik gül kələm
70

---

Həndəsi fraktallar. Fraktalların tarixi həndəsi fraktallardan başlayır. XIX
əsrdə riyaziyyatçılar tərəfindən tədqiq olunan fraktallar daha əyanidir. İkiölçülü
halda onlar generator adlandırılan hər hansı sınıq xəttin köməyi ilə alınır. 
Alqoritmin hər bir addımında sınıq xətti
təşkil edən hər bir parça uyğun miqyas-
da generatorla (sınıq xətlə) əvəz olunur.
Bu prosedurun sonsuz təkrarlanması
nəticəsində həndəsi fraktal alınır. Belə
fraktala misal olaraq Kox əyrisi və
Serpinski üçbucağını göstərmək olar
(şəkil 4.12, 4.13).
Əyrinin qurulmasına vahid uzunluqlu
par 
çadan – Kox əyrisinin sıfırıncı
nəslindən başlanılır. Bu parça üç
bərabər hissəyə bölünür və ortadakı
hissə bərabərtərəfli üçbucaqla əvəz
olunur. Oturacaq atıldıqdan sonra
nəticədə hər birinin uzunluğu
əvvəlkinin 1/3-nə bərabər olan dörd
parçadan ibarət sınıq xətt əmələ gəlir. Növbəti addımda göstərilən əməliy yat bu
dörd parçanın hər biri üçün təkrarlanır. Prosedur sonsuz sayda davam etdirildikdə
Kox əyrisi fraktal obyektə çevrilir. 
Kompyuter qrafikasında həndəsi fraktallardan ağacların, kolların, sahil xətləri -
nin təsvir olunmasında istifadə olunur. 
Cəbri fraktallar fraktalların ən böyük qrupudur. Belə adlandırılmalarının
səbəbi isə onların cəbri düsturlar vasitəsilə qurulmasıdır. Cəbri fraktalları bir neçə
üsulla almaq olar. 
Şəkil 4.13. Serpinski üçbucağının qurulması
Helge fon Kox [Helge von Koch] – İsveç riyaziyyatçısı (1870–1924). 
Vaslav Serpinski [Waclaw Sierpinski] – Polşa riyaziyyatçısı (1882–1969). 
Benua Mandelbrot [Benoit Mandelbrot] – Fransa riyaziyyatçısı (1924). 
Şəkil 4.12. Kox əyrisinin qurulması
4.
KOMPYUTER 
QRAFİKASI 
71

---

Bu üsullardan biri aşağıdakı Z dəyişəninin qiymətini iterativ olaraq hesabla-
maqdan ibarətdir:
Z
n + 1
= f (Z
n
), 
burada  Z – kompleks ədəd,  f isə hər hansı funksiyadır.
Bu funksiyanın hesablanması müəyyən şərt ödə 
ni 
-
lənədək davam edir. Həmin şərt ödə nil dikdə isə ekrana
nöqtə çıxarılır. Bu zaman kompleks müstəvinin müxtəlif
nöqtə lərində funk siyanın qiyməti müxtəlif ola bilər:
• zaman ötdükcə sonsuzluğa yaxınlaşa bilər;
• 0-a yaxınlaşır;
• bir neçə qeyd olunmuş qiymət alır və onlardan kə -
na ra çıxmır;  
• heç bir qanunqauyğunluq olmadan özünü xaotik apa -
rır.   
Mandelbrot çoxluğu bu növ fraktallara misal ola bilər (şəkil 4.14).  
Stoxastik fraktallar. Kox əyrisi sahil xətlərinə nə qədər bənzəsə də, onun mo deli
kimi götürülə bilməz. Çünki onun hər yeri eynidir, bir-birinə bənzəyir, o, həd-
dindən artıq “düzgündür”. Təbiətdə olan bütün obyektlər təbiətin şıltaqlıqlarına
məruz qalıb, bu prosesdə həmişə müəyyən təsadüfilik var. Fraktalın qurulma
prosesində iterativ sistemdə hər hansı parametr təsadüfi dəyişərsə, alınan fraktal-
lar stoxastik fraktallar adlanır. Stoxastik fraktallar təbii obyektlərə – simmetrik
olmayan ağaclara, girintili-çıxıntılı sahil xətlərinə və s. çox bənzəyir (şəkil 4.15).
Yer səthinin relyefini və dəniz səthini modelləşdirən zaman ikiölçülü stoxastik
fraktallardan istifadə olunur.
Şəkil 4.15. Fraktal rəsmlər
Şəkil 4.14. Mandelbrot
çoxluğu
72

---

Maşın qrafikası baxımından fraktal həndəsə süni buludların, dağların, dəniz
səthinin generasiyası zamanı əvəzsizdir. Fraktal qrafika əsasında təbiətdəki
obyekt lərə çox bənzəyən mürəkkəb obyektlər qurmaq olur (şəkil 4.16). Fraktal
rəsmlərlə yanaşı fraktal animasiya və fraktal musiqi yaradılmışdır.  
Fraktal qrafikanın yaradılması üçün müxtəlif proqramlar mövcuddur: Art
Dab bler, Ultra Fractal, Fractal Explorer, ChaosPro, Apophysis, Mystica. 
Fraktal qrafikanın yaradıcısı həm rəssam, həm heykəltəraş, həm fotoqraf, həm
ixtiraçı, həm də alim olmalıdır. Onun özü riyazi düsturla rəsmin formasını verir,
onun parametrlərini dəyişdirir, görüntünün növünü və rənglər palitrasını seçir,
başqa sözlə, rəsmi “sıfırdan” yaradır. Fraktal qrafik redaktorların (məsələn,
Painter proqramının) başqa qrafik proqramlardan bir fərqi də məhz bundadır.
Məsələn, Adobe Photoshop proqramında görüntü, adətən, “sıfırdan” yaradılmır,
yalnız emal olunur, redaktə edilir. Fraktal qrafik proqramların başqa bir özəlliyi
də ondadır ki, hər hansı bir rəssam fırça və karandaş vasitəsi ilə heç zaman bu
proqramlardakı dəqiqliyə nail ola bilməz.
B u   d ə r s d ə   ö y r ə n d i n i z :  
Fraktal elə strukturdur ki, hissələri müəyyən mənada onun özünə oxşayır. 
Qurulma prinsipindən asılı olaraq fraktal görüntüləri üç sinfə ayırmaq olar:
həndəsi, cəbri və sto xastik fraktallar. 
Cəbri fraktallar cəbri düsturlar vasitəsilə qurulur.
İterasiya prosesində onun hər hansı parametrini təsadüfi dəyişdikdə stoxastik
fraktallar alı nır.
Fraktal rəsmlərlə yanaşı, fraktal animasiya və fraktal musiqi də vardır.  
1. Fraktal nədir?
2. Qurulma prinsipinə görə fraktallar necə təsnif olunur?
3. Mandelbrot çoxluğu fraktalların hansı sinfinə aiddir?
Şəkil 4.16. Fraktal günəbaxan və fraktal kaktus
4.
KOMPYUTER 
QRAFİKASI 
73

---