Matematika informatika fakulteti

Bunday ob'ektlar giperplanlar deb ataladi (chiziq - tekislik uchun giper tekislik, tekislik - bo'shliq uchun giper tekislik). Lekin biz uchun bu unchalik muhim emas.
Ikki tekislikning kosmosdagi mumkin bo'lgan nisbiy holatini aniqlash uchun biz ushbu o'xshashlikdan foydalanamiz. Eslatib o'tamiz, tekislikdagi ikkita chiziq kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin.
Xuddi shunday, fazodagi tekisliklar ham kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin (18-rasmga qarang). Agar ularning umumiy nuqtalari bo'lmasa, tekisliklarni parallel deb ataymiz.

Guruch. 18. Samolyotlarning fazoda o'zaro joylashishi

Parallel chiziqlar va tekisliklarning belgilari

Keling, ilgari ko'rib chiqilgan aksiomalar va ta'riflardan kelib chiqadigan bir nechta muhim bayonotlarni ko'rib chiqaylik.
Planimetriyada uchta parallel chiziqlar teoremasi mavjud edi : agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular bir-biriga parallel. Ob'ektlarning bu xususiyati tranzitivlik deb ataladi, algebradan eslang:


Kosmosdagi to'g'ri chiziqlar va tekisliklarning parallelligi ham tranzitivlikka ega. Shunday qilib, agar fazodagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular bir-biriga parallel:

Ushbu bayonot parallel chiziqlar belgisi sifatida ishlatilishi mumkin.
Bu teoremani isbotlash uchun yordamchi teorema (lemma) kerak.

Lemma

Agar ikkita parallel chiziqlardan biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchi chiziq ham bu tekislikni kesib o'tadi (19-rasmga qarang).

Guruch. 19. Lemma uchun rasm
Garchi bu bayonot aniq ko'rinsa-da, lekin aksioma bo'lmagani uchun uni qat'iy isbotlash kerak. Buning isbotini quyida ko'rish mumkin.

Lemmaning isboti

Chiziqlar parallel bo'lsin va  tekislikni bir nuqtada kesishsin (20-rasmga qarang). Chiziq tekislikni ham kesib o'tishini isbotlaylik .

Guruch. 20. Isbot uchun rasm
Chiziqlar parallel bo'lgani uchun  ular ikkalasi ham yotadigan tekislik mavjud. Nuqta  ikkala tekislikka ham tegishli. Binobarin, tekisliklar  nuqtadan o'tuvchi qandaydir to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi  (21-rasmga qarang).

Guruch. 21. Isbot uchun rasm
Bu chiziq ikkala tekislikda joylashganligi sababli,  barcha uchta chiziq  ,  , , tekislikda yotadi  .  Ikki parallel chiziq for nuqtasidan o'ta olmagani uchun  u qaysidir nuqtada  kesishadi . Ammo keyin - ham chiziq , ham tekislik uchun umumiy nuqta .
Ma'lum bo'lishicha, chiziq  tekislikni kesib o'tadi  yoki unda yotadi. Ammo  ular tekislikda yotolmaydilar, aks holda u ikkala tekislikda yotadi va bizda allaqachon shunday to'g'ri chiziq bor - bu  . Shunday qilib, faqat bitta variant qoladi:  tekislikni kesib o'tadi  .
Tasdiqlangan.