Matematika informatika fakulteti

Kesishgan chiziqlar

Hozirgacha biz parallel va kesishgan chiziqlar haqida ko'proq gaplashdik. Keling, kesishgan chiziqlar haqida bir oz gapiraylik. Ular uchun oddiy va qulay belgi mavjud.

Teorema

Agar bitta chiziq ma'lum bir tekislikda yotsa va boshqa chiziq bu tekislikni birinchi chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tsa, u holda chiziqlar kesishadi (46-rasmga qarang).

Guruch. 46. ​​Teorema uchun rasm
Buni isbotlash uchun bu chiziqlar bir tekislikda yotmasligini ko'rsatishimiz kerak.
Isbot
Demak, ikkala chiziq yotadigan tekislik bor deb faraz qilaylik (47-rasmga qarang).

Guruch. 47. Dalil uchun rasm
Keyin bu tekislik chiziq  va nuqtadan o'tadi  , ya'ni birinchi tekislikka to'g'ri keladi, ya'ni chiziq  aslida kesishishi kerak bo'lgan tekislikda ham yotadi. Bizda qarama-qarshilik bor. Shunday qilib, chiziqlar bir tekislikda yotolmaydi, ya'ni ular kesishadi.
Tasdiqlangan.

Teorema

Ikki qiyshiq chiziqdan biri orqali ikkinchi qiyshaygan chiziqqa parallel tekislik va bundan tashqari, faqat bittasini chizish mumkin (48-rasmga qarang).

Guruch. 48. Teorema uchun illyustratsiya
Isbot
Haqiqatan ham, ikkita kesishuvchi chiziq bo'lsin  va  .  Bitta chiziq nuqtadan o'tadi  , chiziqqa parallel  (49-rasmga qarang).

Guruch. 49. Dalil uchun rasm
Ikki kesishuvchi chiziq tekislikni belgilaydi. Chunki  , bu tekislikda yotgan holda, keyin  .  Shunday qilib, biz o'tadigan va parallel samolyot qurdik  .
Nega u yagona? U orqali o'tadigan har qanday boshqa tekislik  chiziqni kesib o'tadi  , lekin keyin parallel lemma orqali u chiziqni ham kesib o'tadi  .
Chiziqqa parallel tekislik ham chiziqdan o'tadi  . Bu samolyotlar bir-biriga parallel bo'lishini ko'rish oson.
Keling, bu haqiqatni qarama-qarshilik bilan isbotlaylik.  Keling, tekislik orqali parallel chizamiz  (50-rasmga qarang).

Guruch. 50. Isbot uchun illyustratsiya
Agar u birinchi tekislikni kesib o'tadi deb faraz qilsak, u holda ular umumiy to'g'ri chiziqqa ega bo'ladi. Bu chiziq kesishishi mumkin emas  , aks holda tekislik bilan umumiy nuqta bo'ladi  va aslida u unga parallel. Bundan tashqari, bu chiziq chiziqning o'ziga parallel  , va shuning uchun ham  . Ya'ni, bu chiziq ikkala kesishuvchi chiziqlarga parallel bo'lib, bo'lishi mumkin emas.
Shunday qilib, kesishgan ikkita chiziqning har biri orqali bir-biriga parallel tekisliklar o'tadi.
Tasdiqlangan.
3-misol.
Parallelepipedda bir juft parallel tekislik kesishuvchi chiziqlar - chap va o'ng yuzlar orqali  o'tadi (51-rasmga qarang).

Guruch. 51. 3-misol uchun rasm
Qo'llaringizga ikkita qalam oling va ularni parallel joylashtiring. Ular qanday samolyotni qo'yganini ko'rish oson. Agar siz bitta qalamni ozgina aylantirsangiz, lekin ularning umumiy tekisligida bo'lmasa, unda qalamlar kesishadi (52-rasmga qarang). Biroq, ular hali ham parallelizmga juda yaqin. Qalamni ko'proq aylantirib, biz parallelizmdan tobora uzoqlashamiz.

Guruch. 52. O'zaro o'ralgan qalamlar
Shunday qilib, egri chiziqlar orasidagi burchak haqida savol tug'iladi. Unga rasmiy ta'rif berish uchun ko'p yo'nalishli tomonlar bilan burchaklar tengligidan foydalanamiz.