Paul karl feyerabend 13 Ocak 1924'te Viyana'da doğdu. Avusturya asıllı abd'li filozof. Bilimsel gelişmenin ancak yeni kuramların eskilerini yadsımasıyla sağlanabileceğini ileri

12. Farklı fiziksel varlıklardan (ve farklı matematiksel varlıklardan)
ayırmak   suretiyle   aynı   türde   matematiksel   varlıklar,   yani   doğrular   ve
alanlar   elde   edilebilir   fakat   bu,   farklı   fiziksel   varlıkların   (ve   farklı
matematiksel   varlıkların)   karşılaştırılabilir   olduğu   anlamına   gelmez.
Gerek eğri gerekse düz açılar lineer kon- tinyum üzerine eşlenebilirler
(mapped onto) (Şekil 4) (ya da Aristoteles’in terminolojisiyle, ikisinden
de lineer bir kontinyum “ayrılabilir”), fakat belli bir eğri açının bir düz
açıdan küçük, büyük ya da eşit olduğunu hiçbir şekilde söyleyemeyiz
(hiçbir şekilde bir düz açı bir eğri açıya yedirilemez [Euclid, 
Elemanlar
iii, 16]). Aynı şekilde bir dairenin alanı bir poligonun alanına eşit, ondan
küçük   ya   da   büyük   olamaz,   Bryson’un   dairenin   alanını   poligonun
alanıyla   ölçme   girişimi   (bir   daire,   kendi   çevresinde   çizilecek   bir
poligondan   küçük,   içine   çizilecek   bir   poligondan   ise   büyüktür;   aynı
şeyden   daha   büyük   ya   da   daha   küçük   olan   şeyler   bir   birine   eşittir;
dolayısıyla alan olarak belli bir daireye eşit bir poligon vardır) tanı da bu
nedenden dolayı Aristoteles tarafından eleştirilmiştir. “Eşit, ne büyük ne
de küçük olan, fakat  
doğası   gereği
  büyük ya da küçük olabilecek  bir
şeydir”  (1056a23 vd.). Aristoteles’e göre  Bryson,  gerek daire gerekse
poligondan ayrılarak elde edilmiş bir şeye gönderme yapan “ortak bir
orta  terim”  
(Anal.   Post
  75b42  vd)  -“alan”-   kullanır.  Fakat  bu   ayırma
işleminden önce bu şeyin her iki durum için farklı ve bir karşılaştırmayı
engelleyebilecek daha başka niteliklerle birlikte var olup var olmadığını
araştırmayı aklına getirmez: “ele alman konuyla”, yani 
dairenin
 alanıyla,
“uğranmaz”  
(Soph.   Ref.
  171bl7   vd.).   (Geometri   açısından,   der
Aristoteles,   Antiphon’un   daireyi   poligonlarla   “tüketmesi”   düşünmeye
bile   değmez.   İzlenen   usûl   yalnızca   hatalı   değildir,   konusunu   da
şaşırmıştır. [185al6].)

---

13. Bu tür düşünceler Aristoteles’in niçin niteliksel değişimi uzunlukla
ölçmeyi reddettiğini ve niçin lineer ve dairesel hareketlerin kıyaslan amaz
olduğunu   düşündüğünü   açıklıyor   (227bl5   vd.;   248al0   vd.).   Ve   ayrıca
matematiksel orantılarla ilgili Euclidci tanımın  
{Elemanlar
  V, Tanım 3)
niçin açıkça “homojen” niceliklerle sınırlı tutulduğunu ve gerek Yunan
gerekse Galile’ye kadar -Galile dahil- diğer matematikçilerin -uzamsal ve
zamansal   büyüklüklerin   birbirine   bölümü   olarak   tanımlanan-   hız   gibi
“karma”   nicelikleri   niçin   asla   işe   karıştırmadıklarını   da   anlamamızı
sağlıyor.  Fakat alan  gibi  belirli  şeylerin  hem daire  hem de  poligondan
ayrılabiliyor olması, onların belli nitelikleri paylaştıkları ve onlar hakkında
birtakım   ortak,   genel   ifadelerin   telaffuz   edilebileceğini   gösterir.
Aristoteles’e göre bu tür genel ifadeler matematikte önemli bir rol oynar:
“[özel] tözlerle sınırlı olmayan belirli matematiksel genel ifadeler vardır”
(1077a9). Örneğin,
Orantıda iç terimlerin karşılıklı değiştirilebilir olduğu, daha önceden sayılar,
uzunluklar, cisimler  (bodies)  ve zaman için ayrı ayrı kanıtlanıyordu; oysa bu
hepsi için tek bir ispatla da gösterilebilir Fakat tektip bir işaretleme sisteminin
olmaması   ve   sayı,   uzunluk,   zaman   ve   cisimlerin   bir   birinden   çok   farklı
görünmeleri   nedeniyle   bunların   her   biri   için   ayrı   bir   ispat   verme   yoluna
gidilmişti. Şimdiki ispat, gösterdiği şey yalnızca şu uzunluklar ya da şu sayüar
için değil aynı zamanda -uzunluk, sayı, zaman ve cisimlerden oluşmuş- bütün
için ge- çerli olduğu kabul edilen şey için de doğru olduğundan, genel bir ispattır
{An. Pr.
 74al7 vd.)
Aynı şekilde, bazı ilkeler çeşitli bilimler için geçerlidir. Eşitlerden eşit
çıktığında geriye kalanlar da eşittir ilkesi buna bir örnektir  
{An.   Post.
76a38   vd.).   Fakat   genelleme   peşinen   doğru   kabul   edilemez,   özel
argümanlarla doğruluğunu araştırmak gerekir.
14. Aristoteles lineer kaplam  (extension),  zaman ve hareket için
bu   tür   özel   argümanlar   verir.   Lineer   kaplam,   zaman   ve   hareket
arasında birçok farklı yön vardır.  Euclid  V, Tanım 3’teki (bkz. 12)
anlamıyla “homojen” değillerdir. Bununla birlikte ortak

---

, nitelikleri de vardır. 
Aristoteles’in sürekli lineer yayılımlar (manifolds)
teorisi
  bu  nitelikleri  tanımlayarak  çeşitli  sonuçlara  varır.  Makalemizin
geriye kalan kısmını bu teoriye ayırdık.
Uzunluk, zaman ve hareket arasında ortak nitelikler bulunduğu, üstü
kapalı   olarak   sağduyuda   zaten   geçer.   Örneğin,   “yolculuk   uzunsa   yol
uzun, yol uzunsa yolculuk uzun deriz -yine hareket [uzunsa] süre, süre
[uzunsa]   hareket  [uzun   deriz]” (220b29   vd.).  Yine sağduyuda  yapılan
“berisinde”   ve   “ötesinde”   ayrımının   yere,   dolayısıyla   da   kaplama
uygulanan   bir   ayrım   olduğunu   ve   “ikisinin   [kaplam   ve   hareketin]   bir
denklik sergilemeleri  (correspond)  nedeniyle, aynı ayrımın hareket için
de geçerli olması gerektiğini” görüyoruz. Fakat durum böyleyse, zaman
ve hareket de hep bir denklik sergilediklerinden, zaman için de aynı şey
[önce ve sonra] geçerlidir” (219al5 vd.; krş. 218b21 vd.). Aristoteles’e
göre bu analojiler “akla yatkuTdır (220b24), çünkü kaplam, zaman ve
hareketin üçü de 
sürekli
 ve 
bölünebilir niceliklerdir 
(24 vd.) ve biri için
doğru olan bir şey hepsi için doğru olacak şekilde biribiriyle ilişkilidirler
(231bl9   vd.).   Şimdi,   geometride   tanımlandıkları   şekliyle   “sürekli”,
“bölünebilir”   ve   “nicelik”   terimleri   teknik   terimlerdir.   Aristoteles’in
süreklilik   teorisi   ise   aksine   ayrıntılarla   yüklü   bir   teoridir.   O   yüzden,
dikkatimizi   çeken   bu   analojilerin   bu   teknik   şeyler   için   de   geçerli
olduğunu göstermek ve varsa sınırlarını ortaya çıkarmak istiyorsak özel
argümanlara ihtiyaç vardır.
15.
“Sürekli ile”, der Aristoteles, “sonu gelmez bir şekilde hep daha
öte bölünebilir parçalara bölünebilir olmayı” (232b25 vd.) ve parçaların
“birbirlerinden   bulundukları   yer   itibarıyla   ayır-   dedilebilir   olduğu   [bir
durumu] kastediyorum” (23 lb6 vd.).
Tanımın ikinci kısmı (ve onun çevresindeki argümanlar) tartışmayı
lineer   kaplamlı   kontinyumlarla   sınırlar.   Sesler   gibi   başka   kontinyum
tiplerinden (226b29) ve yerle ilişkisi olmayan başka niteliklerden de (31
vd.)   bahsedilir   ama   bunlar   ele   alınmaz.   Tanım,   günümüzdeki   bir
okuyucuya apaçık gelebilecek ama o dönemde öyle apaçık ya da sıradan
bir   şey   gibi   görülmemiş   ve   analize   ihtiyaç   duyan   belli   varsayımlar
barındırır: (1) ne kadar küçük olursa olsun herhangi bir aralıkta ya da
herhangi bir noktasından

---