Soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski
EXISTE-T-IL UNE MASSE VOLUMIQUE ÉQUIVALENTE POUR L’AIR TRAVERSÉ
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EXISTE-T-IL UNE MASSE VOLUMIQUE ÉQUIVALENTE POUR L’AIR TRAVERSÉPAR NOS FUSÉES ?http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/rho_equiv.pdf ainsi que : LE CX DES FUSÉES http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/cx_fusees.doc CARACTÉRISTIQUES DES FUSÉES MOYENNÉES ÉTUDIÉES DANS CE TEXTE Voici les caractéristiques des fusées évoquées tout au long de ce travail, à savoir Fusée à Eau type 1,5L de différents temps de propulsion, Wapiti moyenné, Isard moyenné et Fusée de 22 t (les caractéristiques non moyennes sont entre parenthèse) :
Les Débits Massiques moyennés indiqués sont le quotient de la Masse d’Appui sur la durée de Propulsion ; Les vitesses d’éjection moyennées indiquées sont le quotient de la Poussée moyenne par le Débit Massique moyenné ; D’une façon générale, il faut remarquer que les caractéristiques faciles à mesurer lors des essais au banc d’un moteur pyrotechnique sont la durée de fonctionnement T, l’Impulsion Totale I, et bien sûr la Masse d’Appui Q. De l’Impulsion Totale I et de la durée de fonctionnement T on tire la Poussée Moyenne P = I/T. Du quotient de la Masse d’Appui Q avec la durée de fonctionnement T, on tire le Débit Massique moyen q =Q/T. Du quotient de cette Poussée Moyenne P avec ce Débit Massique moyen q, on tire la Vitesse d’Éjection moyenne Véject = P/q . Remarquons cependant qu’en toute rigueur la Poussée P = qVéject - (Péject – Patmos)STuy . Les loi de la Physique imposent en effet que la poussée P vaut le produit qVéject diminué de l’action de la pression résiduelle (Péject – Patmos) à l’aval de la tuyère d’éjection sur la section STuy de la tuyère en ce point. La Vitesse d’éjection par nous calculée qVéject est donc quelque peu théorique dans la mesure où la tuyère des moteurs pyrotechniques n’est jamais parfaitement adaptée. Mais pour théorique qu’elle soit elle reste un très bon ordre d’idée… Au demeurant on n’est pas obligé de faire appel à cette Vitesse d’Éjection théorique et on peut fort bien, dans tous nos calculs, s’en tenir à un terme P/q que l’on ne nommerait pas… 1 Nous préférons parler de Masse d’Appui au sens de Tsiolkovski (justement) plutôt que de parler de masse d’ergol éjecté par la tuyère. En effet, dans les moteurs plasmiques et ioniques, comme dans les fusées à eau, la masse éjectée n’est pas un ergol… 2 Nous verrons qu’il existe d’autres Rapports de Masses que le Rapport de Masses Final ; en particulier le Rapport de Masses Instantané, que nous utiliserons beaucoup. 3 Le Débit Massique est le nombre de Kg de Masse d’Appui projeté à chaque seconde par la fusée. 4 En fait, les mêmes lois de la dynamique imposent de retrancher du produit qVéject l’action de la différence entre la pression résiduelle des gaz éjectés et la pression atmosphérique locale sur l’aire aval de la tuyère. Cependant, lorsque la tuyère est parfaitement adaptée, cette différence est nulle. Dans ce texte nous considèrerons que les tuyères sont parfaitement adaptées… 5 Nous écrirons souvent ‘‘logarithme’’ tout court, mais il s’agira bien sûr toujours du logarithme népérien, fonction qui, en physique, naît souvent de l’intégration d’une variable placée au diviseur. Le logarithme décimal, noté ‘‘log’’ est peu usité dans les travaux de physique. 6 Un modèle démonstratif de fusée à eau dont le temps de propulsion serait poussé jusqu’au quart d’heure accélérerait autant que la même fusée à eau développant sa poussée durant un dixième de seconde. 7 Ils consomment donc très parcimonieusement leur masse d’appui. 8 Cette grande efficacité étant due à leur énorme Vitesse d’Éjection. 9 Autrement dit la formule ne s’intéresse qu’à l’historique de la propulsion et non à son avenir éventuel 10 Même si le Rapport de Masses le plus souvent utilisé est le Rapport de Masses Final (appelons-le ainsi), établi d’après la Masse de Fin de Propulsion de la fusée. 11 Nous reprenons ici les chiffres de la ‘‘fusée de 20 t’’, tirés de l’excellent ouvrage L’exploration spatiale, de Bertrand Manuali, éd. Marabout. La courbe présentée ici représente plus particulièrement la phase propulsive du seul premier étage, surmonté cependant des étages suivants. 12 Dans ce cas des fusées à eau la vitesse d’éjection est éminemment variable. mais des travaux annexes nous ont prouvé qu’on peut prendre comme vitesse d’éjection la vitesse d’éjection initiale de l’eau (au décollage du pas de Tir). Cette curiosité découle de l’importance de la propulsion due à l’air comprimé résiduel, propulsion qui intervient au moment où la fusée connaît son allègement maximum. En acceptant cette vitesse d’éjection constante, on commet cependant une erreur liée à la répartition des pertes de vitesse par Traînée lors de la phase propulsive : lesdites pertes intervenant dans la réalité sont moins fortes que celle que nous prendrons en compte : dans la réalité, en effet, la non-négligeable Impulsion donnée par l’air résiduel l’est en un temps très bref, ce qui minimise les Pertes par Traînée… 13 On dit souvent que les vraies fusées ne sont que d’immenses réservoirs remplis d’énergie. Ce n’est donc pas le cas des fusées d’amateurs (même si la quantité d’énergie contenue dans un moteur de minifusée peut quand-même suffire à vous emporter la tête si, d’aventure, celle-ci est placée au mauvais endroit au mauvais moment… 14 Ce sera la vitesse instantanée d’une fusée lancée depuis un corps ne développant une gravité sensible : une station spatiale, par exemple. 15 On peut également dire que cette courbe est un logarithme tracé de droite à gauche et inversé par la négation. 16 Cette intégration n’est justifiable que parce que la propulsion à réaction accélère la fusée par cumul des vitesses, c-à-d qu’à chaque instant le gain instantané de vitesse procurée par la poussée vient s’ajouter à la vitesse déjà acquise par la fusée depuis le départ et que la poussée ne dépend pas de la vitesse déjà acquise par la fusée. La même estimation de la perte de vitesse finale causée par l'aérodynamique ne pourrait se faire de la même façon pour un autre mode de propulsion (en particulier pour un véhicule routier, où la poussée à la roue dépend de la vitesse de l’engin, par le rapport de la boîte de vitesse qui est enclenché). 17 Par la méthode rapide consistant à sommer la surface des trapèzes qui prennent place entre la courbe et l’axe des X… 18 Nous simplifions ici la physique de cette fusée à eau en supposant que sa vitesse d’éjection est constante et égale à 50 m/s. Nous avons choisi également dans cet exemple une tuyère légèrement réduite (et donc un temps de propulsion un peu plus grand que le temps standard : 1 seconde) parce que cet allongement du temps de la propulsion augmente l’écart entre les courbes de vitesses du graphe. Pour un temps de propulsion standard (de ~0,1’’), la formule de Tsiolkovski fournit une très bonne estimation de la vitesse de fin de propulsion, c-à-d que la traînée atmosphérique s’avère effectivement négligeable (les 3 courbes sont alors confondues)… 19 Comme on le sait, cette équation différentielle complète ne se possède pas de solution analytique. Par contre, il est très aisé de l’intégrer pas à pas à l’aide d’un tableur comme Excel. 20 Cette masse supposée constante gagnant sans doute à être choisie en fonction du Rapport de Masses Final 21 Mais elle existe surtout en fin de propulsion, car c’est là que la fusée, allégée, acquière le maximum de vitesse. 22 Les deux vitesses de Tsiolkovski (pour ces durées de propulsion de 1 et 4 secondes) différent alors de (4 – 1) g , soit ~30 m/s… 23 Le Vol de la Fusée de Gil Denis opère de même en prenant la poussée moyenne du moteur. On sait que c’est une simplification dans la mesure où la plupart des moteurs pyrotechniques produisent, en tout début de fonctionnement, un surplus de poussée destiné à conférer à la fusée une vitesse suffisante en sortie de rampe, suffisante du moins pour que les rafales de vent aient un effet négligeable sur sa trajectoire. 24 Ce logiciel est très facile à construire en utilisant un tableur. On n’a d’ailleurs même pas besoin de la formule de Tsiolkovski pour l’établir. 25 Gageons cependant que sur la fin de sa propulsion, la fusée aura atteint des altitudes où la densité réduite de l’air limite sensiblement le freinage aérodynamique… 26 On peut en effet l’effectuer de 0 à t pour estimer par excès, à chaque instant t, la perte de vitesse instantanée causée par la Traînée. Cela donnera ce que nous appellerons par la suite la Vitesse Instantanée de Tsiolkovski. 27 Mais elle constitue un exercice de difficulté moyenne, en particulier dans ceci qu’elle nécessite de classiques changements de variable… 28 En agriculture, l’amendement d’un sol est l’amélioration de ce sol. En politique, un amendement apporté à une loi est une modification de cette loi, étant sous-entendu que cette modification va dans le sens de l’amélioration. 29 Nous verrons en cours de texte que pour les fusées d’amateurs les plus couramment utilisées (fusées à feu et à eau) on peut la simplifier notablement. 30 Rappelons que nous ne considérons dans cette étude que des moteurs (à eau, Wapiti et Isard) dont les caractéristiques propulsives sont moyennées. Nous ne connaissons donc ces moteurs que par leurs caractéristiques moyennes, à savoir Poussée Moyenne et Débit Moyen. Cette approche simplificatrice est également celle du Vol de la Fusée dans son intégration de la Vitesse en phase propulsive. 31Attention : Rpip est d’autant plus faible que la Poussée Initiale de la fusée est plus forte relativement à son poids, c-à-d que l’accélération initiale est plus forte. 32 Rpip est d’autant plus faible que la Poussée Initiale de la fusée est plus forte relativement à son poids, c-à-d que l’accélération initiale est plus forte. 33 En particulier le Deuxième Terme. 34 Cette plage intègre donc le Rapport de Masses d’une fusée Wapiti qui au mieux est de 1,11. 35 On peut même juger que ces évolutions pourraient être rapprochées encore par de simples pondérations. 36 Rpip est d’autant plus faible que la Poussée Initiale de la fusée est plus forte relativement à son poids, c-à-d que l’accélération initiale est plus forte. 37 Insistons sur le fait que cet amendement régressé n’est pas issu d’un calcul mathématique mais d’un travail de régression quelque peu visuel des différents termes de notre Premier Amendement. Sa qualité d'être toujours excessif n’est donc pas une certitude mathématique, mais une estimation raisonnable d’ingénieur… De plus, on ne peut pas savoir si ce libellé est plus ou moins excessif que le libellé intégral de notre Premier Amendement. 38Bien qu’elle ne soit pas démontrée mathématiquement, la qualité de ce Premier Terme d’être excessif subsiste pourtant dans la pratique pour toutes les fusées d’amateurs que nous envisageons dans le courant de cette étude. 40 Ici la courbe jaune est un tout petit peu plus haute que la courbe rouge, ce qui constitue un artefact de notre tableau Pas à Pas puisque notre Premier Amendement , qui est excessif, doit donner une vitesse amendée très légèrement plus faible que la vraie… 41 Et même dès les premières lignes de son calcul. 42 Cette rétroaction d’un phénomène sur ses causes est typique des équations différentielles. 43 Sauf que la courbe marron se prolonge plus ou moins à droite selon la valeur de la Masse Initiale, donc du Rpip… 44 Nous verrons cependant que par une chance extraordinaire une pondération basée sur le Rpip permettra de l’utiliser. 45 Dans le cas précédent où existe une gravité (laquelle limite la vitesse atteinte), la courbe violette est encore plus proche de l’arc en ciel… 46 Cette formule, contrairement à nos calculs Pas à Pas, ne prend pas en compte la variation de la Masse Volumique de l’air. Mais cette divergence d’options réduit plutôt l’écart entre les deux résultats. 47 Rpip est d’autant plus faible que la Poussée Initiale de la fusée est plus forte relativement à son poids, c-à-d que l’accélération initiale est plus forte. 48 Même si elle reste à démontrer, cette convergence des séries nous paraît certaine. 49 Pour la raison que la physique étudie des phénomènes qui existent et qui ont donc leur propre logique interne… 50 Dans notre réflexion, nous considèrerons que cet abaque est une bonne représentation de la réalité. Le faible nombre de points dessinant les trois courbes ne peut créer de suspicion dans la mesure où le phénomène physique étudié est un phénomène exempt de discontinuité (si l’on néglige les variations, assez peu significatives, du Cx)… 51 Comme le nombre π et tous les autres nombres mathématiques ou physiques (Reynolds et nombre de Mach), la Distance balistique dont nous faisons la promotion est une notion universelle. Ce qui ne signifie nullement que nous soyons prêts nous-mêmes à agir dans le Cosmos lointain… 52 C’est évidemment fortuit de leur part. 53 Pour notre Distance Balistique, ce nombre est e, base des logarithmes népériens. 54 Nous pourrions dire que nous avons universalisé ce paramètre puisqu’il ne fait plus alors référence à la gravité existant sur notre planète… 55 Si l’on devait aller plus loin dans cette étude il suffirait cependant de doter notre valeur de la Poussée (qVéject) d’un coefficient multiplicateur rendant compte du défaut d’adaptation de la tuyère à la Pression atmosphérique… 56 Chaque type d’ergol possède une Impulsion Spécifique (~250 sec pour les poudres au perchlorate d'ammonium). Par définition, la vitesse d’éjection qui en résulte n’est autre le produit de cette Impulsion Spécifique par g (cette définition de l’Impulsion Spécifique est strictement terrestre). 57 Rappelons que ce premier ordre produit des résultats valables tant que le corps se tient suffisamment loin de sa Vitesse Limite de Montée 58 Les irrégularités des courbes, en particulier de la bleue, sont dues à nos erreurs de saisies… |