Azərbaycan respublikasi təHSİl naziRLİYİ azərbaycan döVLƏt pedaqoji universiteti

TƏHSİLİN İNFORMATLAŞMASININ PEDAQOJİ VƏ PSİXOLOJİ ƏSASLARI 
 
21 
 
bir xassəlilərin cəmini çıxırıq, iki xassəlilərin cəmini əlavə edirik, 3 xassəlilərin cəmini çıxırıq 
və s. 
 


k
N



...
2
1
=
 
 
 
















k
k
k
N
N
N
N
N
N
N









1
3
1
2
1
2
1
...
....
 

















...
...
4
3
2
1
1
2
4
2
1
3
2
1













N
N
N
N
k
k
k


k
k
N



...
)
1
(
2
1


 
olar. 
Misal. 100 nəfər tələbədən 24 nəfəri nə ingilis, nə alman, nə də fransız dilini bilmir, 48 nəfər 
ingilis, 26 nəfər alman, 28 nəfər fransız dilini bilir, 8 nəfər ingilis və alman, 8 nəfər ingilis və 
fransız, 13 nəfər alman və fransız dilini bilir. Neçə nəfər hər üç dilini bilir? 


24
3
2
1




N
; 
 
 
 
28
  
;
26
  
;
48
3
2
1






N
N
N
 






13
   
;
8
  
;
8
3
2
3
1
2
1









N
N
N
; 


?
3
2
1




N
 


3
2
1
13
8
8
28
26
48
100
24



N








 


3
3
2
1




N
 alırıq. 
100  nəfərdən  3  dili  bilməsi  hadisəsinin  ehtimalı 
03
,
0
100
3


P
-ə  bərabərdir.  Test 
imtahanlarında belə məsələlər verilir ki, abituruyent həm prinsipi bilməlidir, həm də ehtimalı 
hesablamağı  bacarmalıdır,  bu  prinsiplərdən  istifadə  edərək  birləşmələri  asanlıqla  öyrətmək 
olur. 
Permutasionlar 
n



,...,
,
2
1
  kimi  n   müxtəlif  elementdən    qrupda  elementin  təkrarına  yol 
verməmək  şərti  ilə  qruplar  düzəldirik.  Bu  qruplar  biri-birindən  elementlərin  yerdəyişmsi  ilə 
fərqlənir, belə qruplarla permutasionlar deyilir  və bu sayı 
n
P -ilə işarə edirik. 
Teorem. 
!
 
n
P
n

 
İsbatı. Qrupda  n  yer tutulur. Birinci yeri  n  elementdən ixtiysari birisi tuta bilər, yəni birinci 
yeri  n  üsulla tutmaq olar, təkrara yol verilmədiyi üçün ikinci yeri 
),
1
(

n
üçüncü yeri 
)
2
(

n
 
və s.  n -ci yeri 1 üsulla tutmaq olar, onda  n  yeri vurma prinsipinə görə 
!
 
)
1
....(
3
2
1
1
...
)
2
)(
1
(
n
n
n
n
n
n











 alırıq. 
6  nəfəri  neçə  üsulla  növbəyə  düzmək  olar?  Birinci  yerdə  6  nəfərdən  ixtiyari  birisi  dayana 
bilər, yəni birinci yeri 6 üsulla tuta bilərik, ikinci yerdə qalmış 5 nəfərdən biri tuta bilər və s. 
Onda 6 ayrı  
720
!
6
1
2
3
4
5
6
6








P
 
 üsulla tutmaq olar. 
Təkrari  permutasionlar   
n



,...,
,
2
1
  kimi  n   element  var.  Bu  elementlər  arasında  təkrar 
olunanlar  ola  bilər.  Tutaq  ki,  bir  element 
1
n   dəfə,  başqa  bir  element 
2
n   dəfə  və  s. 
k -cı 
element 
k
n  dəfə təkrar olunur. Bu şərtlər daxilində  n  elementdən  n  elementli permutasionlar 
təkrarı  permutasionlar  adlanır.  Bu  qrupların  sayını 


!
...
!
!
!
,...,
,
2
1
2
1
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
P




  üsulla 
tapırıq. 

---

TƏHSİLİN İNFORMATLAŞMASININ PEDAQOJİ VƏ PSİXOLOJİ ƏSASLARI 
 
22 
 
Məsələn,  5  ədəd  ağ,  6  ədəd  qırmızı  və  7  ədəd  göy  muncuqdan  neçə  müxtəlif  boyunbağı 
düzəltmək  olar?  Aydındır  ki,  elementlərin  sayı 
18
7
6
5




n
-dir,  burada  bir  element  5 
dəfə, ikinci element 6 dəfə, 3cü element 7 dəfə təkrar olunur. Onda 


!
7
!
6
!
5
!
18
7
,
6
,
5
18



P
 alınır. 
Aranjemanlar 
n



,...,
,
2
1
  kimi  n   müxtəlif  element  var.  Bu  elementlərdən  təkrara  yol 
vermədən hər qrupda  m  
)
(
n
m

 element olmaqla qruplar təşkil edilir. 
Aydındır ki, bu qrupların arasında həm elementlərin yer dəyişməsinə fərqlənən  qruplar olar. 
Belə 
 Iki  xassəli  qruplara  aranjemanlar  deyilir.  Məsələn,  1,  2,  3,  4  kimi  4  elementdən  3  rəqəmli 
ədədlər (təkrara yol verməməklə) təşkil etmək tələb olunur. 
123, 132,213,....,234,134,... 
Bu  üçlüklər  arasında  yerdəyişməyə  görə  və  elementinı  görə  fərqlənənlər  var,  deməli  bu 
qruplar aranjemanlardır.  n  elementdən,  m  elementli aranjemanların sayını 
m
n
A
 ilə işarə edək. 


)
1
(
)...
2
)(
1
(






m
n
n
n
n
A
T
m
n
-dir. 
İsbatı.  Hər  qrupda  m   element  var,  yəni  m   yerin  tutulması  əməliyyatı  aparılır.  Birinci  yeri 
verilmiş birinci  n  elementdən ixtiyari birisi tuta bilər, yəni birinci yeri  n  üsulla tuta bilərik, 
təkrara yol verilmədiyindən ikinci  yeri 
)
1
(

n
, üçüncü yeri 
)
2
(

n
,...,  m -ci yeri 
)
1
(


m
n
 
üsulla  tutmaq  olar.  Vurma  prinsipinə  görə  m   yeri 


)
1
(
...
)
2
)(
1
(







m
n
n
n
n
  üsulla 
tutmaq  olar,  yəni  aranjemanların  sayını  tapırıq.  Misalda  verilmiş  4  ədəddən  təşkil  olunan  3 
rəqəmli  ədədlərin  sayı  (təkrara  yol  vermədən) 
24
2
3
4
3
4




A
  olar.  Hesablamada  n   və  m  
qiymətcə böyük ədədlər olsa  


)!
(
!
)!
(
1
2
)....
2
)(
1
(
)
1
(
)...
2
)(
1
(
m
n
n
m
n
n
n
n
m
n
n
n
n
A
m
n












 
yazılışından 
istifadə 
edilir. 
Təkrari  aranjemanlar  .  n   elementdən  təkrara  yol  verməklə  m   elementli  qruplara  təkrari 
aranjemanlar deyilir. Təkrari aranjemanların sayını 
m
n
A
 ilə işarə etsək 
 
Teorem. 
m
m
n
n
A

~
 olar. 
İsbatı. Birinci  yerdə  n  üsulla, təkrara yol verildiyi üçün ikinci yeri də  n  üsulla və s.  m -ci 
yeri  də  n   üsulla  tutmaq  olar.  Onda 
m
m
n
n
n
n
n
n
A






...
~
  alınır.  Məsələn,  2  və  3-dən 
istifadə edərək neçə 6 rəqəmli ədəd düzəltmək olar? 
 
222222, 333333, 223333, 222233,.... 
 
64
2
~
6
6
2


A
 alırıq. 
 
Kombinezonlar. 
n



,...,
,
2
1
 kimi  n  elementdən  m  elementli təkrarsız aranjemanları 
təşkil  edirik.  Bu  aranjemanlardan  heç  olmazsa  bir  elementlə  fərqlənən  aranjemanlara 
kombinezonlar deyilir. 
 
Kombinezonların sayını 
m
n
С
 ilə işarə edək. Onda 
m
m
n
m
n
P
C
A


 olduğunu alırıq. 


)!
(
!
!
!
)
1
(
)...
2
)(
1
(
m
n
m
n
m
m
n
n
n
n
P
A
С
m
m
n
m
n








;          
56
3
2
1
6
7
8
3
8






С
;  

---