Microsoft Word Sessão de Pôsteres doc

 
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Bibliografia
 
• 
Abdounur, Oscar J
. 
Matemática e música. 
Editora Escrituras. 1
a
 edição, 2000, 352 pág. 
• 
Bachelard, Gaston
. 
A formação do espírito científico
. Rio de Janeiro. Ed. Contraponto, 1996. 
• 
Bachelard, Gaston. Novo espírito cientifico
. Lisboa. 1986.
 
• 
Boyer, C
.B 
História da Matemática
. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 1996. 
• 
Cohen, H.F. Quantifying music: the science of music at the first stage of the scientific revolution, 
1580-1650.
 Kluwer Academic Publishers. 1984. 
• 
Eco, Humberto
. 
Como se faz uma tese
. 18ª Edição - 2003 - 192 pág. Editora Perspectiva. 
• 
Eves, H
., 
Introdução à história da matemática.
Campinas. Editora Atual.  
• 
Galilei, Vincenzo
. 
Dialogo di vincentio galilei nobile fiorentino della musica a et della moderna. 
In 
Fiorenza. M.D.LXXXI.  Roma, Biblioteca Nazionale. 
• 
Hall, A. R. Revolução na ciência 1500-1750.
 Coleção saber da filosofia. Ed. Edições 70. Lisboa 1988. 
496 pág.
 
• 
Zarlino, Gioseffo
. 
Le istitutioni harmoniche. 
In Venetia. MDLVIII.  Roma, Biblioteca Nazionale. 
 

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DESENVOLVIMENTO DA SÉRIE HARMÔNICA SOB UMA 
ÓTICA ACÚSTICO-MATEMÁTICA DURANTE A REVOLUÇÃO CIENTÍFICA: 
UM ESTUDO DE HARMONIA 
 
Rafael Andrade Pereira 
[e-mail]
 
Instituto de Matemática e Estatística da 
Universidade de São Paulo ( IME-USP) 
Orientador: Oscar João Abdounur 
[e-mail]
 
Apoio: FAPESP 
 
1.0 Introdução 
Os Gregos tiveram grandes contribuições para o desenvolvimento de uma ciência que uniria a 
matemática e a música. Pitágoras foi o grande protagonista dos estudos matemático-musicais através da 
experiência do monocórdio. Ele estabeleceu relações entre o comprimento da corda e intervalos musicais, 
que vigoraram como leis gerais até que Vincenzo Galilei o criticasse mostrando que tais relações variavam 
segundo outros parâmetros – tensão ou densidade  da corda... -- 
Além da importância histórica do experimento do monocórdio, faz-se necessária à exploração de 
suas principais conseqüências - às consonâncias perfeitas 8
a
, 5
a
 e 4
a
 subjazem as frações simples 1/2, 
2/3 e 3/4 - culminando com a construção da escala Pitagórica. Sob uma ótica mais ampla, um 
importante legado do experimento de Pitágoras consiste na percepção de que 
subir
 ou 
descer
 um 
intervalo musical corresponde respectivamente a 
multiplicar
 ou 
dividir
 o comprimento da corda produtor 
da nota 
mais grave
 ou 
mais aguda 
pelo fator correspondente ao intervalo referido.  
O trabalho ainda inclui a realização de experimentos que visam esclarecer o conceito de Série 
Harmônica, utilizando recursos modernos e uma análise de tratados teórico-musicias do Renascimento à luz 
da relação entre a Série Harmônica com a Série de Fourier. 
 
 
2.0   Evolução da Pesquisa 
É parte da filosofia do projeto trazer em paralelo tanto uma abordagem técnica quanto uma relação 
histórico-epistemológica do tema. Além disso, existe forte preocupação com o desenvolvimento da 
divulgação consistente dos resultados obtidos, portanto, por uma questão principalmente organizacional o 
trabalho foi dividido desde seu início em três partes, sendo estas: abordagem histórica, estudo do tratado de 
Rameau e sua respectiva relação com os conceitos de consonância e dissonância e finalmente uma 
abordagem pedagógica, na qual as atenções estão voltadas para o desenvolvimento da exposição didática. 
Buscando não fazer uma abordagem demasiadamente superficial, a análise da evolução da 
pesquisa será dividida nas três frentes. No entanto, vale ressaltar que apesar de tratar cada uma das 
frentes independentemente, todas elas estão intimamente relacionadas. A seguir procurarei detalhar o que 
foi feito em relação a cada uma das frentes descritas acima. 
 
2.1 Abordagem Histórica  
 
Do ponto de vista, histórico é importante ressaltar que a medida em que os textos para a realização 

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da exposição são lidos e que a análise do tratado de harmonia de Rameau vai sendo analisado, uma série 
de discussões a respeito da questão histórica do trabalho vão sendo retomadas.  
 
Portanto a análise histórica que será apresentada é, de certa forma, guiada pelo desenvolvimento 
da exposição que procura reunir cronologicamente uma série de obstáculos epistemológicos e suas 
respectivas soluções.  
 
Sob esta perspectiva podemos dizer que o primeiro, ou um dos primeiros capítulos da história da 
acústica foi a experiência do Monocórdio, que consistia em esticar uma corda e com um cavalete alterar o 
comprimento da mesma. Tal experimento permitiu relacionar intervalos musicais com razões ligadas a 
fração da corda cujo cavalete está colocado. 
 
Na tradição Pitagórica, essa idéia foi generalizada erroneamente para diferentes tipos de fontes 
acústicas com base num simbolismo numérico por exemplo, batendo-se num copo cheio d’água, e em 
seguida num copo com água até a metade seria produzido o som de uma oitava, ou martelando um prego, 
e depois repetindo o procedimento com um martelo com 3/2 do tamanho seria produzida uma quinta. No 
entanto, como a nota produzida depende da natureza física da fonte, tais afirmações não são verdadeiras. 
Tais análises só vieram a ser criticadas por Vincenzo Galilei, que colocava que a nota emitida por uma fonte 
tinha uma freqüência definida pelos atributos físicos da mesma.  
O desenvolvimento da ciência acústica sem sombra de dúvidas deu um salto no século XVII durante 
a revolução científica, quando a visão da ciência mudou sua ótica, deixando mais de lado os dogmas 
aritiméticos e dando mais enfoque as evidências experimentais. Nesse período, grandes físicos e 
matemáticos começaram a dar mais atenção ao tema, tais como Marin Mersenne, John Wallis (1616-1703), 
Johannes Kepler (1571-1630), Vincenzo Galilei, Galileu Galilei (1554-1642), René Descartes (1596-1650), 
Christiaan Huygens (1629-1695), Joseph Saveur, Isaac Newton(1642-1727)... 
Neste período Mersenne juntamente com Galileu concluíram que a freqüência emitida por uma 
corda vibrante dependia não só de seu comprimento, mas também de sua densidade linear, da tensão a ela 
aplicada.... 
Por volta de 1673, Christiaan Huygens, que era filho de músico, influenciado por Mersenne, adquiriu 
interesse por harmônicos. Ele estimou freqüências absolutas e estabeleceu a relação entre comprimento de 
onda e comprimento da corda. Em 1677, o matemático John Wallis publicou um artigo mostrando 
experimentalmente que os harmônicos gerados por uma corda estavam relacionados com seus nós. 
A experiência descrita por Wallis consistia em esticar uma corda e com uma fonte de freqüência 
variável procurar a freqüência de ressonância da corda, e  quando esta começava a vibrar, Wallis analisava 
os modos de vibração da corda. Desta forma, Wallis constatou que uma corda tem simultaneamente 
diversos modos de vibração, criando assim um paradoxo importante na história da acústica.  
Tal paradoxo só pode ser resolvido quando Joseph Saveur propôs o princípio da superposição que 
consiste em dizer que a forma de onda representante da  emissão de dois ou mais sons simultaneamente é 
a soma das formas de onda representantes de cada um dos sons envolvidos. Particularmente, a freqüência 
de uma nota dada é a somatória das freqüências de cada um de seus harmônicos. 
Uma outra análise histórica importante é a composição de escalas e sua respectiva relação com o 
temperamento igual. A questão da composição de escalas será explanada no próximo item, já que este 
analisará o Tratado de Rameau, que foi escrito em 1722. Quanto ao temperamento igual, podemos dizer 
que os doze semitons não “cabem” exatamente em uma oitava, assim como 12 meses de trinta dias não 
“cabem” exatamente em 365 dias. Desse modo, tanto no calendário quanto na teoria musical, simetria e 

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