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Outro grande contribuinte para, especialmente, o estudo da acústica foi Arquitas de Tarento, séc. IV 
a.C. (BOYER, 1996), a partir da análise da afinação da lira, embora Arquitas tivesse uma preocupação 
artística muito maior que os pitagóricos. 
Tanto Pitágoras quanto Arquitas, forma importantes não só na estruturação musical na Grécia 
Antiga, influenciada também por outros teóricos musicais bem como por povos do oriente, mas também na 
fundamentação científica que conduziu teóricos posteriores, especialmente no Renascimento a avançarem 
nas pesquisas matemáticas,  físicas e musicais. 
A Idade Média foi marcada por uma fundamentação da música como arte, do ponto de vista teórico. 
Vale ressaltar a notável contribuição de Gudo D’Arezzo que organizou e estruturou a música como 
linguagem. Nesse período foram importantes também os estudos de Polifonia (superposição de melodias) e 
Harmonia. 
A partir do Renascimento, a relação matemática e música recebeu atenção especial de importantes 
estudiosos, em pesquisas relevantes e aprofundadas no que diz respeito a Sério Harmônica e na 
consolidação do Temperamento. 
Giosette Zarlino (1517-1590), a partir dos estudos de Ludovico Fogliani (1470-1539), organizou a 
base da educação científico-cultural européia em sua obra Inztituzioni Armonique (1558). 
O padre e matemático francês Marin Mersenne (1588-1648), dedicaram-se ao estudo da acústica, 
fundamentando, Mersenne, o estudo de harmonia no fenômeno ressonância.  
Galileu Galilei (séc. XVII d.C.), através de experiências com cordas, iniciou os estudos de física na 
música, analisando freqüências por movimentos de onda em uma corda, o que contribuiu grandemente para 
o entendimento dos harmônicos musicais, e sua associação ao conceito de timbre. 
A concepção de que o som propagava-se como uma onda ganhou força nesse período, o que abriu 
caminho para o início da Teoria Ondulatória desenvolvida por Huygens (1629-1695), sendo ponto 
fundamental para concretização da relação entre matemática e música à luz da ciência, uma vez que 
compreendia-se melhor a natureza do som. 
Também foram importantes para o desenvolvimento científico da música nesse período, pensadores 
como Descartes, Wallis, Robartes e Fontenelle. 
Joseph Saveur (1653-1716), baseado em pesquisas anteriores, e na idéia subjacente ao Princípio 
da Superposição de ondas, no que se refere a harmônicos, foi o primeiro a calcular o número absoluto de 
vibrações de uma onda, sendo considerado o pai da acústica, uma vez que foi ele o primeiro também a 
explicar o aparecimento de “nós” e “ventres” de ondas em modos mais altos, introduzindo também o termo 
“sons harmônicos”. Assim como o matemático francês, Newton, Taylor e Rameau deram grandes 
contribuições no estudo da relação matemática – música no séc. XVIII. 
Os matemáticos Leonhard Euler (1707-1783), Jean Le Rond D’ Alembert (1717-1783) e Daniel 
Bernoulli (1700-1782) foram grandes responsáveis, no séc. XVIII, pela fundamentação da necessidade de 
um sistema de Temperamento, e por sua efetiva concretização, resolvendo então os problemas de afinação 
baseados em diferenças de freqüências e razões de freqüências, e que criavam dificuldades aos músicos 
de executar escalas musicais em qualquer tonalidade, em oitavas diferentes, com um único instrumento. 
Eles também discutiam a superposição de harmônicos de um som baseados no princípio da Superposição, 
harmônicos esses manifestavam-se organizados em séries de acordo com o Teorema de Fourier (séries de 
Fourier). 

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Assim sendo, já no séc. XIX, o Teorema de Fourier transformou-se no fundamento para análises de 
harmônicos, consonância/dissonância, batimentos dissonantes, bem como distintos conceitos musicais 
aparentemente dissociados da matemática (ABDOUNUR, 2003). 
 
Metodologia 
Dada a especificidade da situação de ensino de música, a abordagem utilizada foi o estudo de caso 
descrito por Lüdke e André (1986). 
Os sujeitos observados forma dois alunos de música que recebiam aulas de violão regularmente. 
No início do trabalho foi feita uma entrevista com cada um dos sujeitos a fim de verificar, entre 
outros dados, o nível de escolaridade dos indivíduos, o nível sócio-econômico, a aprendizagem de música 
anterior ao projeto e suas experiências musicais. 
Foram aplicados, então, testes de raciocínio lógico, no início do trabalho, após a realização das 
entrevistas, conforme proposto anteriormente, e também no final do projeto, a fim de se fazer uma aferição 
da capacidade de raciocínio lógico dos indivíduos, nas duas situações e comparativamente do primeiro com 
o segundo teste, se houve ou não uma evolução após o período das aulas de música. Ambos os testes 
apresentavam, aproximadamente o mesmo grau de dificuldade, embora fossem diferentes no formato, isto 
é, na apresentação das questões/proposições e das alternativas de respostas (VIANNA, 1976).  
O teste inicial propunha 13 questões de múltipla escolha, em geral com 5 alternativas de resposta. 
Já o segundo teste, realizado no final do trabalho, apresentava 20 proposições e de uma a três sentenças 
para serem classificadas, cada uma, como verdadeira ou falsa em relação à sua respectiva proposição, 
perfazendo um total de 48 sentenças a serem analisadas. 
Em ambos os testes havia questões e proposições capciosas, ou , que poderiam gerar dúvidas a 
partir de um possível sentido dúbio. Mesmo assim, todas as questões foram utilizadas nos testes.  
As aulas de música eram desenvolvidas individualmente, uma vez por semana, com duração de 
uma hora cada. Durante o desenvolvimento do projeto, o total de aulas, por aluno, foi de 34 horas, 
desenvolvidas no mês de março a outubro de 2004. Nas aulas são trabalhados: teoria e percepção musical, 
violão e guitarra nas áreas de MPB-Jazz. As aulas seguem um padrão bastante desenvolvido e difundido 
pelo renomado professor Mozart Mello, que busca a assimilação dos conceitos e elementos musicais, 
fundamentados em teoria, e de acordo com o nível musical do estudante, sempre através do raciocínio 
lógico-matemático. 
No transcorrer das aulas, desde o início do trabalho, foram abordados assuntos de cunho teórico, 
como o estudo de intervalos, formação de acordes e de Campo Harmônico como também a implementação 
desses e de outros conteúdos no instrumento (violão). 
Havia outros assuntos, como exercícios técnicos para uma melhor articulação dos dedos (tanto da 
mão esquerda quanto da mão direita), e que não necessitavam de teoria básica para sua execução. 
Também foram apresentadas músicas/canções, a fim de que fossem trabalhados em aulas e em 
casa, não só estimulando nos alunos o aspecto lúdico da música, como também exigindo a aplicação, em 
musicas, dos assuntos abordados. 
Os alunos trabalharam os tópicos abordados de forma distinta e independente um de outro, de tal 
maneira que, algumas vezes, um assunto era apresentado diferentemente para um aluno da forma que foi 
apresentada para o outro. Em alguns assuntos, essa diferenciação deu-se não só na apresentação do 
assunto como no nível de aprofundamento do assunto.  

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