Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

Analitik və qrafik üsul.
3. Tənliklərin parçanın yarıya bölünmə üsulu və iterasiya metodu ilə həlli.
1. Əksər mühəndis məsələlərinin riyazi modelləri tənliklərlə təsvir olunar və bu tənliklərin həlli praktik əhəmiyyət kəsb edir. Ümumi halda birdəyişənli tənlik aşağıdakı kimi göstərilə bilər: . Əgər qəbul etsək onda tənlik aşağıdakı şəkildə yazılar:
(1)
f(x) funksiyasının təyin olunduğu oblast (1) tənliyinin təyin oblastı adlanır. Dəyişənin (1) tənliyinin eyniliyə çevirən qiymətlən çoxluğuna həllər çoxluğu, bu çoxluqdan götürülmüş hər bir qiymətə isə tənliyin kökü deyilir. Aydındır ki, həllər çoxluğu (1)-in təyin oblastında yerləşir. Məsələn,
1. tənliyin həllər çoxluğudur. ədədlərinin hər biri tənliyin köküdür.
2. tənliyin həllər çoxluğu boş çoxluqdur.
3. x-5=0 tənliyinin həllər çoxlugu {5} bir elementdən ibarətdir.
4. x²+4=0, x=±2i tənliyinin həllər çoxluğudur. 2i və -2i kompleks ədədlərinin hər biri tənliyin köküdür.
(1)-də f(x) funksiyasından asılı olaraq tənliklər cəbri və tansendent kimi iki sinfə bölünür. Əgər f(x) funksiyasında hesab və qüvvətə yüksəltmə əməlləri iştirak edirsə, onda bu funksiya cəbri (rasional və irrasional) funksiya, (1) isə cəbri tənlik adlanır və ümumi halda belə yazılır.
a₀xⁿ+a₁x^n-1+ a₂x^n-2+.....+ a_n-lx+a_n =0 (2)
n-ci dərəcədən kökalma əməli də, dərəcədən qüvvətə yüksəltmə kimi göstərilə
bilər: Məsələn
(3)
Irrasional tənliyi çevirmələrdən sonra
(4)
tənliyinə gətirilir. Ancaq (3) və (4) tənliklərinin təyin oblastı eyni deyil. (3) tənliyi [1; 6] parçasında, (4) isə bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda təyin olunmuşdur. Əgər f(x)-də üstlü, loqarıfmik triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalardan heç olmazsa biri iştirak edərsə, onda (1) transendent tənlik adlanır.
Çox az hallarda təliyin kökünun dəqiq qiymətini tapmaq mümkün olur. (2) tənliyində n=2,3,4 olduqda hallar çoxluğunu tapmaq mümkündür. Məşhur Norveç riyaziyyatçısı Abel isbat etmişdir ki, n≥5 olduqda (2) tənliyinin həll düsturu yoxdur və bəzi xüsusi hallarda həllər çoxluğu tapıla bilər.
Bir çox hallarda (1) tənliyinə daxil olan əmsallar təqribi qiymətləndirilir və aydındır ki, bu halda tənliyin kökünün dəqiq qiymətinin tapılması mahiyyət kəsb etmir. Bəzi praktik məsələlərin həllində tənliyin dəqiq kökünün tapılması zəruri hesab edilmir. Ona görədə (1) tənliyinin köklərinin təqribi qiymətinin tapılması məsələsinin praktik əhəmiyyəti vardır. İndi təqribi kök anlayışını verək. Tutaq ki, x^* (1) tənliyinin dəqiq köküdür. Bu o deməkdir ki,
(5)
şərti ödənir. Bu halda (1) tənliyinin dəqiqliklə təqribi kökdür. Deməli (1) tənliyinin sonsuz sayda dəqiqliklə təqribi kökü var. Əgər və şərtləri ödənərsə, onda və | şərtləri də ödənər. Bu halda a və b qiymətləri uyğun olaraq tənliyin əksiyi ilə və artıqlaması ilə ε dəqiqliklə təqribi kökləri kimi qəbul edilə bilər. Daha doğrusu (1) tənliyinin ε dəqiqliklə təqribi köküdür. Bir çox hallarda tənliyin x^* kökünün yerləşdiyi və şərtini ödəyən [a,b] parçasını tapmaq olmur. Bu halda təqribi kökün qiymətləndirilməsi üçün digər meyarlardan istifadə olunur.
(1) tənliyinin təqribi köklərinin tapılması üçün tətbiq olunan üsullar tənliyin cəbri və transendent olmasından asılı deyil. Tənliyin tələb olunan dəqiqliklə təqribi kökünün tapılması iki mərhələdə yerinə yetirilir.
1. Tənliyin köklərinin ayrılması.
2. Tənliyin ayrılmış kökünün tələb olunan dəqiqliklə dəqiqləşdirilməsi.
2. Tənliyin köklərinin ayrılması:
Analitik və qrafik üsul.
Əgər (1) tənliyinin yalnız bir kökünü özündə saxlayan parça tapmaq mümkünsə onda deyirlər ki, verilən tənliyin kökü ayrılmışdır. Bu parçaların tapılması prosesinə köklərin ayrılması deyilir və 2 üsulla yerinə yetirilir: qrafik və analitik üsul.